Distribuzione campionaria PDF

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Distribuzione Campionaria...

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Standardizzazione −→ Definisce il passaggio da X ∼ N (µ, σ 2 ) a Z ∼ N (0, 1). X −µ σ =⇒ P (x1 < X < x2 ) = P (z1 < Z < z2 ) dove: Z=

z1 =

x1 − µ x2 − µ e z2 = σ σ

Distribuzione della media campionaria     2 • Se X ∼ N µ, σ 2 =⇒ µ b ∼ N µ, σn   σ2 • Se n ≥ 30 =⇒ µ b ∼ N µ, n     2 • Se n ≤ 30 e X ∼? µ, σ 2 =⇒ µ b ∼? µ, σn •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Distribuzione della proporzione campionaria −→ Carattere di tipo qualitativo. −→ Ci si concentra su una determinata modalit` a del carattere, e, in particolare, sulla pop n sua frequenza relativa o proporzione in popolazione Ni∗ = fi∗ = pi∗ , indicata pi` u semplicemente con p. −→ Per un campione di numerosit` a n (estratto con campionamento casuale semplice con ripetizione) la statistica campionaria corrispondente e` la proporzione campionaria nni∗ = pbi∗ , indicata pi` u semplicemente con pb = nx (dove x rappresenta a di interesse). il numero di unit`a statistiche nel campione che presentano la modalit` −→ Si associa a ciascuna proporzione campionaria pb osservabile nei possibili campioni la sua probabilit`a:

pb pb1 pb2

P (pb) P (pb1 ) P (pb2 )

.. .. . pbSn P (pbSn ) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Distribuzione della proporzione campionaria Caratteristiche:

• µpb: media aritmetica delle possibili proporzioni campionarie p: proporzione di popolazione (incognita) µpb = p

• σp2b: varianza delle possibili proporzioni campionarie

• pb ∼ Bin (p, n)

σpb2 =

p(1 − p) n

Distribuzione Binomiale 



x n px (1 − p)n−x P (ˆ p= )= x n   n n! Coefficiente binomiale: = x!(n− x)! x n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1, x! = x · (x − 1) · . . . · 2 · 1, (n − x)! = (n − x) · (n − x − 1) · . . . · 2 · 1





• Se n ≥ 30 =⇒ pb ∼ N p, p(1n−p)

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Inferenza statistica −→ θ : parametro di popolazione di interesse e incognito (µ, p, σ 2 , σxy ,βb1 , etc.). −→ Supponiamo che N → ∞ e il meccanismo di campionamento sia casuale semplice (con o senza ripetizione). −→ Campione probabilistico di numerosit` a n. 2 −→ s: statistica campionaria (b µ, pb, σb , σbxy , b1 , etc.).

1. Stima puntuale: individua la statistica campionaria s pi` u adeguata per stimare il parametro di popolazione θ =⇒ le possibili statistiche campionarie s diventano lo stimatore T , =⇒ la statistica campionaria s osservata su un campione diventa una stima, ovvero una realizzazione dello stimatore.

2. Stima intervallare: individua un intervallo in cui mi aspetto, con una certa a fiducia, vi sia θ , a partire dalla stima (dati campionari) e sfruttando le propriet` dello stimatore T . 3. Verifica di ipotesi: valuta la plausibilit`a di una certa ipotesi su θ , a partire dalla stima (dati campionari) e sfruttando le propriet` a dello stimatore T . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Stima puntuale −→ Definisce le propriet` a di cui un buon stimatore T dovrebbe godere:

1) Correttezza o non distorsione: la media dello stimatore, ovvero la media di a fissata n, coincide tutte le stime generate dai possibili campioni di numerosit` col parametro di popolazione di interesse θ :

µT = θ b e` uno stimatore corretto. • media campionaria µb: µµb = µ =⇒ µ • proporzione campionaria pb: µpb = p =⇒ pb e` uno stimatore corretto. n b 2 e` uno stimatore dis6= σ 2 =⇒ σ • varianza campionaria σb2 : µσb 2 = σ 2n−1

torto. • varianza campionaria corretta Pn 1 n b 2 = (n−1) b2 (x − σ sb2 = n−1 µ) u u=1 1 Pk n σ sb2 = n−1 b 2 ni = (n−1) b2 i=1 (xi − µ) µsb2 = σ 2 =⇒ sb2 e` uno stimatore corretto.

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Stima puntuale 2) Consistenza: all’aumentare della dimensione campionaria n lo stimatore T tende a coincidere con θ . Uno stimatore T corretto e` anche consistente se la sua varianza si riduce all’aumentare di n:

σT2

• media campionaria µ b: σµb2 =

σ2 n

−→ n→∞

0

=⇒ µ b e` uno stimatore corretto e consistente.

• proporzione campionaria pb: σpb2 = 2

p(1−p) n

=⇒ pb `e uno stimatore corretto e consistente.

• varianza campionaria corretta b s : stimatore corretto e consistente.

3) Efficienza: uno stimatore T1 e` pi`u efficiente di uno stimatore T2 rispetto al medesimo parametro θ se la sua varianzae` inferiore a quella di T2 :

σT21 < σ 2T2 • media campionaria µ b: stimatore corretto, consistente e il piu` efficiente (in un’ampia classe di stimatori alternativi). • proporzione campionaria pb: stimatore corretto, consistente e il piu` efficiente (in un’ampia classe di stimatori alternativi).

u efficiente (in un’ampia classe • varianza campionaria corretta b s2 : stimatore corretto, consistente e il pi` di stimatori alternativi).

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Stima puntuale Schema riassuntivo Parametro Stimatore µ

µ ˆ

p

pˆ

σ2

sˆ2

a Propriet`

Distribuzione

 2 corretto µ ˆ ∼ N µ, σn consistente il pi`u efficiente

Assunzioni se il carattere nella popolazione ha una distribuzione normale (o se n e` sufficientemente elevato)

  corretto pˆ ∼ Bin p, n consistente oppure  p(1−p) il pi`u efficiente pˆ ∼ N p, n se n e` sufficientemente elevato corretto consistente il pi`u efficiente -

-

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Stima intervallare −→ Definisce come individuare un intervallo in cui mi aspetto, con una certa fiducia, vi sia θ , a partire dalla stima (dati campionari) e sfruttando le propriet` a dello stimatore T . ⇒ A partire da tutti i possibili risultati campionari. −→ Livello di confidenza 1 − α: grado di fiducia nel trovare il parametro θ

nell’intervallo individuato. ⇒ E’ una percentuale prefissata di possibili risultati campionari che soddisfano tale condizione.

P (v1 ≤ T ≤ v2 ) = 1 − α

−→ Devo individuare v1 e v2 , fissato 1 − α e conoscendo la distribuzione campionaria di T . 0.90

1 − α= 0.95

0.99

−→ v1 e v2 rispecchiano il livello di confidenza fissato 1 − α. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Stima intervallare per la media µ dove:

P (v1 ≤ µˆ ≤ v2 ) = 1 − α

σ2 µ ˆ ∼ N (µ, ) n 2 se X ∼ N (µ, σ ) oppure n ≥ 30.

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Stima intervallare per la media µ Standardizzazione:

P

−zα/2

µˆ − µ ≤ p 2 ≤ zα/2 σ /n



!

= 1−α



σ σ P µˆ − zα/2 √ ≤ µ ≤ µˆ + zα/2 √ = 1−α n n =⇒ Intervallo di confidenza per la media µ: µb ± zα/2 √σn .

Assunzioni:

• se X ∼ N (µ, σ 2 ) oppure se n ≥ 30;

• se la varianza di popolazione σ 2 e` nota. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit...