Dynamik der Drehbewegung PDF

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Prof. Mos...

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Dynamik der Drehbewegung 1.1.1 Bewegungsgleichungen Für die gleichmäßig beschleunigte Rotation gelten analoge Bewegungsgleichungen wie für die gleichmäßig beschleunigte Translation. Allgemein ist 𝛼=

𝑑𝜔 𝑑𝑡

die Winkelbeschleunigung (Einheit: rad/s2 oder s-2). Für eine gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung gilt entsprechend: 1 𝜑(𝑡) = 𝛼 𝑡 2 + 𝜔0 𝑡 + 𝜑0 2 𝜔(𝑡) = 𝛼 𝑡 + 𝜔0 M 8.1 Eine Zentrifuge wird in 5 s gleichmäßig von null auf 5000 min-1 beschleunigt. a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung? {105 s-2} b) Wie viele Umdrehungen finden in dieser Zeit statt? {208} 1.1.2 Drehmoment An die Stelle der Kraft tritt in der Dynamik der Rotation das Drehmoment M als Ursache für die Winkelbeschleunigung. Das dynamische Grundgesetz der Rotation lautet: M=J· Die Einheit des Drehmoments ist das Newtonmeter: 1 Nm = 1 N · 1 m. Eine Kraft F, deren Wirkungslinie im Abstand r (Hebelarm) an der Drehachse vorbeiläuft, verursacht das Drehmoment M=F·r Hebelarm und Kraft stehen senkrecht aufeinander. Die Einheiten von Drehmoment und Energie sind formal in gleicher Weise aus den SI-Grundeinheiten aufgebaut. Zur Unterscheidung schreibt man beim Drehmoment: 1 N · 1 m = 1 Nm (Newtonmeter), bei Arbeit und Energie: 1 N · 1 m = 1 J (Joule)

M 8.2 Eine 2 kg schwere Schleifscheibe von 20 cm Durchmesser soll in 10 s auf die Drehzahl von 3000 min-1 gebracht werden. Welches Drehmoment braucht der Motor dazu? {0,314 Nm} M 8.3 Ein dünner Stab, der am einen Ende drehbar gelagert ist, wird mit dem anderen Ende um 90° ausgelenkt und losgelassen. Mit welcher Beschleunigung (a = r · ) setzt sich dieses Ende in Bewegung? {1,5 g = 14,7 m/s²} Eine Torsionsfeder ist eine Feder, die auf Drehung belastet wird (z. B. eine Spiralfeder) und darauf mit einem zum Drehwinkel  proportionalen rücktreibenden Drehmoment M reagiert (HOOKEsches Gesetz der Drehbewegung): M = - D* ·  Der Proportionalitätsfaktor heißt Winkelrichtgröße D* (Einheit: Nm/rad).

M 8.4 Um das Federwerk einer Spieluhr mit einer vollen Umdrehung aufzuziehen, wird ein Drehmoment von 0,2 Nm benötigt. a) Wie groß ist die Winkelrichtgröße? {0,03 Nm/rad} b) Welche Energiemenge ist in dem Federwerk gespeichert, wenn es mit 5 vollen Umdrehungen aufgezogen ist? Anleitung: Formulieren Sie hierzu eine Formel, die analog zur Formel für die elastische Energie einer Schraubenfeder ist. {16 J}

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Zusammenstellung der Analogien zwischen den Translationsgrößen und den Rotationsgrößen Rotation

Translation Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Gleichförmige Bewegung s(t )  vt  s0 Beschleunigte Bewegung s (t ) 

2 1 2 at

s v a

Winkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Gleichförmige Bewegung ( t)  t   0 Beschleunigte Bewegung

 (t )  12 t 2   0 t   0

 v0 t  s 0

v( t)  at  v0

Masse Kraft Impuls

 ( t)   t   0 Trägheitsmoment J Drehmoment M Drehimpuls L=J·  Dynamisches Grundgesetz M=J· Kinetische Energie E rot  12 J 2

m F p=m·v Dynamisches Grundgesetz F=m· a Kinetische Energie

E trans  12 mv 2 Federkonstante HOOKEsches Gesetz F = -D · s Elastische Energie E elast  12 D s

  

D

Winkelrichtgröße HOOKEsches Gesetz M = -D* ·  Elastische Energie E elast  12 D* 2

2

D*

Beziehungen zwischen den Translationsgrößen auf der Kreisbahn und den Rotationsgrößen Bahnlänge (=Bogenlänge) Bahngeschwindigkeit (Bahn- Beschleunigung

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s (= b) = r ·  v=r· a=r·...