E02-Trasformazioni - esercizi PDF

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Esercitazione 02

2. Trasformazioni elementari per il gas perfetto. Trasformazioni composte in gas ideali. 2.1. [base] In un sistema cilindro-stantuffo è contenuto idrogeno H2 (gas ideale con Mm = 2 kg/kmol) alla temperatura T1 = 50 °C ed alla pressione P1 = 10 bar. Il gas viene fatto espandere isotermicamente fino alla pressione P2 = 2 bar. Si calcoli la variazione di volume specifico e di energia interna specifica. [∆𝒗𝟏𝟐 = 𝟓. 𝟑𝟕𝟐 𝐦𝟑⁄𝐤𝐠 ; ∆𝒖𝟏𝟐 = 𝟎 𝐉]

2.2. [base] Calcolare il lavoro di espansione di una massa di ossigeno (gas ideale con Mm = 32 kg/kmol), nell’ipotesi che il gas esegua una trasformazione politropica (𝑃𝑣 𝑛 = cost). La trasformazione è eseguita tra lo stato iniziale P1 = 10 bar e T1 = 50 °C e lo stato finale P2 = 3 bar e T2 = 20 °C. [𝒍→ = 𝟖𝟖. 𝟓𝟑 𝐤𝐉⁄ 𝐤𝐠]

2.3. [intermedio] Si consideri di avere 2 kg di azoto (N2) nello stato iniziale: P1 = 1 bar e T1 = 20 °C. Dopo una trasformazione adiabatica reversibile, si raggiunge uno stato di equilibrio per cui P2 = 30 bar. A seguito di una ulteriore trasformazione quasi-statica, questa volta isobara, si raggiunge il nuovo stato di equilibrio a T3 = 1000 °C. Si chiede di: ▪ ▪ ▪ ▪

Tracciare le due trasformazioni sui diagrammi P-v e T-s. Determinare il volume nelle tre condizioni di equilibrio. Calcolare la variazione di energia interna, entalpia ed entropia tra stato iniziale e finale. Calcolare il calore scambiato ed il lavoro prodotto tra lo stato iniziale e finale.

[𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟕𝟒 𝐦𝟑 ; 𝑽𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑 𝐦𝟑; 𝑽𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟏 𝐦𝟑 ; ∆𝑼𝟏𝟑 = 𝟏𝟒𝟓𝟓 𝐤𝐉; ← = 𝟏𝟎𝟑𝟔 𝐤𝐉; 𝑳→ ∆𝑯𝟏𝟑 = 𝟐𝟎𝟑𝟕 𝐤𝐉; ∆𝑺𝟏𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟑 𝐤𝐉⁄ 𝐊 ; 𝑸𝟏𝟑 𝟏𝟑 = −𝟒𝟏𝟗 𝐤𝐉]

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Esercitazione 02 2.4. [avanzato] Una massa di anidride carbonica (CO2) è contenuta all’interno di un cilindro chiuso da un pistone, entrambi adiabatici. La pressione, il volume e la temperatura del gas sono inizialmente P1 = 1 bar, V1 = 3 dm3, T1 = 30 °C. Il pistone viene caricato improvvisamente con un peso che fa scendere istantaneamente il pistone comprimendo, con una trasformazione non quasi-statica, il gas fino ad una pressione P2 = 14.9 bar e un volume V2 = 1 dm3. Determinare le variazioni di energia interna, entalpia, entropia del gas a seguito della compressione. Lo stesso gas viene in seguito messo in contatto con un serbatoio di calore a temperatura TS = 1700 °C e si riscalda fino a portarsi in equilibrio con il serbatoio. Sapendo che la corsa del pistone viene limitata superiormente da un fermo (Vmax = 1.2 dm3), determinare temperatura, volume, pressione del gas nello stato finale e calore e lavoro scambiati durante la trasformazione. [∆𝑼𝟏𝟐 = 𝟐𝟗𝟖𝟎 𝐉; ∆𝑯𝟏𝟐 = 𝟒𝟏𝟕𝟏 𝐉; ∆𝑺𝟏𝟐 = 𝟐. 𝟖𝟖 𝐉⁄ 𝐊 ; 𝑻𝟑 = 𝟏𝟗𝟕𝟑. 𝟏𝟓 𝐊; → = 𝟐𝟗𝟖 𝐉; 𝑸← 𝑽𝟑 = 𝟏. 𝟐 𝐝𝐦𝟑 ; 𝑷𝟑 = 𝟏𝟔. 𝟏𝟔 𝐛𝐚𝐫; 𝑳𝟐𝟑 𝟐𝟑 = 𝟏𝟒𝟐𝟏 𝐉] 2.5. [intermedio] Una bombola di volume V = 50 dm3 contiene metano CH4 (gas ideale con Mm = 16 kg/kmol) alla pressione iniziale di 200 bar e alla temperatura di 20 °C. Ad un certo istante la bombola viene appoggiata ad una piastra (M = 8 kg, c = 400 J/kgK) che si trova inizialmente alla temperatura di 250 °C. Ha luogo un processo fino a quando la bombola e la piastra raggiungono una condizione di equilibrio. Trascurando la capacità termica della bombola e le dispersioni termiche verso l’ambiente, determinare: ▪ ▪ ▪

Temperatura e pressione del gas all’equilibrio. Calore e lavoro scambiato dal gas della bombola. La variazione di entropia del gas.

[𝑻 = 𝟕𝟒. 𝟖 °𝐂; 𝑷 = 𝟐𝟑𝟕. 𝟒 𝐛𝐚𝐫; 𝑸← = 𝟓𝟔𝟎. 𝟕 𝐤𝐉; 𝑳→ = 𝟎 𝐉; ∆𝑺 = 𝟏. 𝟕𝟓 𝐤𝐉⁄ 𝐊] 2.6. [avanzato] Una bombola è suddivisa in due parti da un setto mobile impermeabile, inizialmente bloccato da un fermo. In entrambe le parti vi è ossigeno (gas perfetto biatomico con Mm = 32 kg/kmol), ma in una è alla temperatura TA1 = 40 °C e alla pressione PA1 = 8.547 bar, e nell'altra a TB1 = 20 °C e PB1 = 6 bar con VB1 = 2VA1. Ad un certo istante, il pistone viene sbloccato, e il sistema evolve spontaneamente portandosi in uno stato di equilibrio caratterizzato dalla temperatura finale T2 = 28 °C. È noto che nel sottosistema A è presente una massa MA = 4 kg di gas, e che il processo subito complessivamente dall’ossigeno avvenga senza scambi termici con l’ambiente. Dopo aver rappresentato schematicamente il sistema e aver scritto l’equazione di bilancio energetico del sistema, si chiede di: ▪ ▪ ▪ ▪

Determinare la massa di gas presente nel sottosistema B. Valutare il volume complessivo della bombola. Valutare la pressione P2 nello stato finale. Valutare l’entropia prodotta per irreversibilità nel processo.

[𝑴𝑩 = 𝟔 𝐤𝐠; 𝑽𝑻𝑶𝑻 = 𝟏. 𝟏𝟒𝟐 𝐦𝟑 ; 𝑷𝟐 = 𝟔. 𝟖𝟓 𝐛𝐚𝐫; ∆𝑺𝑻𝑶𝑻 = 𝟐𝟖. 𝟒 𝐉⁄ 𝐊] Esercitazioni – Corso di Fisica Tecnica

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Esercitazione 02

Alcune soluzioni 2.1. [base] In un sistema cilindro-stantuffo è contenuto idrogeno H2 (gas ideale con Mm = 2 kg/kmol) alla temperatura T1 = 50 °C ed alla pressione P1 = 10 bar. Il gas viene fatto espandere isotermicamente fino alla pressione P2 = 2 bar. Si calcoli la variazione di volume specifico e di energia interna specifica. [∆𝒗𝟏𝟐 = 𝟓. 𝟑𝟕𝟐 𝐦𝟑 ⁄𝐤𝐠 ; ∆𝒖𝟏𝟐 = 𝟎 𝐉] Lo schema del sistema è rappresentato in figura iniziale (1)

Dati: Gas ideale H2 con 𝑀𝑚 = 2 kg/kmole 𝑇1 = 50 °C 𝑇1 = 323.15 K 𝑃1 = 10 bar 𝑃1 = 106 Pa Espansione isoterma quindi 𝑇2 = 𝑇1 𝑇2 = 50 °C 𝑇2 = 323.15 K 𝑃2 = 2 bar 𝑃2 = 2 ⋅ 105 Pa

finale (2)

Si chiede di determinare le variazioni di volume specifico (𝑣2 − 𝑣1 ) e di energia interna specifica (𝑢2 − 𝑢1 ). Dello stato iniziale abbiamo una coppia di variabili indipendenti (𝑃, 𝑇 ) e perciò, con l’equazione di stato possiamo determinare il valore assunto da qualsiasi altra proprietà termodinamica. 8314 ⋅ 323.15 𝑅 ∗ 𝑇1 = 1.343 m3 /kg 𝑣1 = 𝑣1 = 2 10 ⋅ 105 𝑃1 Per determinare lo stato finale occorre fare riferimento alla trasformazione presente (isoterma). Essendo la trasformazione isoterma una trasformazione politropica si ha: 𝑃1 𝑣1 = 𝑃2 𝑣2 (equazione della politropica isoterma) e di conseguenza si ottiene 𝑣2 =

10 ⋅ 105 ⋅ 1.34 = 6.715 m3 /kg 2 ⋅ 105

La variazione di volume è quindi: Δ𝑣 = 𝑣2 − 𝑣1

Δ𝑣 = 5.372 m3 /kg

L’energia interna, per un gas ideale, è solo funzione della temperatura. Essendo il processo isotermo abbiamo Δ𝑢 = 0 J

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Esercitazione 02 2.5. [intermedio] Una bombola di volume V = 50 dm3 contiene metano CH4 (gas ideale con Mm = 16 kg/kmol) alla pressione iniziale di 200 bar e alla temperatura di 20 °C. Ad un certo istante la bombola viene appoggiata ad una piastra (M = 8 kg, c = 400 J/kgK) che si trova inizialmente alla temperatura di 250 °C. Ha luogo un processo fino a quando la bombola e la piastra raggiungono una condizione di equilibrio. Trascurando la capacità termica della bombola e le dispersioni termiche verso l’ambiente, determinare: ▪ ▪ ▪

Temperatura e pressione del gas all’equilibrio. Calore e lavoro scambiato dal gas della bombola. La variazione di entropia del gas.

[𝑻 = 𝟕𝟒. 𝟖 °𝐂; 𝑷 = 𝟐𝟑𝟕. 𝟒 𝐛𝐚𝐫; 𝑸← = 𝟓𝟔𝟎. 𝟕 𝐤𝐉; 𝑳→ = 𝟎 𝐉; ∆𝑺 = 𝟏. 𝟕𝟓 𝐤𝐉⁄ 𝐊] La schematizzazione del sistema è riportata in figura Dati: Gas ideale CH4 con 𝑀𝑚 = 16 kg/kmole Stato 1 (iniziale) 𝑇1 = 20 °C 𝑇1 = 293.15 K 𝑃1 = 200 bar 𝑃1 = 2 ⋅ 107 Pa 3 𝑉1 = 50 dm 𝑉1 = 0.05 𝑚3 Piastra metallica (𝑐 = 400 J/kgK) 𝑀 = 8 kg 𝑇𝑆 = 250 °C 𝑇𝑆 = 523.15 K La massa di gas nella bombola è data dall’equazione di stato dei gas ideali 𝑃1 𝑉1 200 ⋅ 105 ⋅ 0.05 = 6.565 kg 𝑀𝐶𝐻4 = ∗ 𝑀𝐶𝐻4 = 8314 𝑅 𝑇1 ⋅ 293.15 16 • Nella condizione di equilibrio (stato finale) il gas nella bombola e la piastra avranno la stessa temperatura. Il sistema composto bombola+piastra è isolato rispetto all’ambiente (nel senso che lo scambio termico avviene internamente al sistema tra piastra e bombola) Se indichiamo lo stato finale con (2) il bilancio energetico è: Δ𝑈𝑍 = 0 Δ𝑈gas + Δ𝑈piastra = 0 Δ𝑈gas = 𝑀𝐶𝐻4 𝑐𝑉 (𝑇2 − 𝑇1 ) Δ𝑈piastra = 𝑀piastra 𝑐(𝑇2 − 𝑇𝑆 ) La temperatura finale di equilibrio è quindi 𝑀𝐶𝐻4 𝑐𝑉 𝑇1 + 𝑀piastra𝑐𝑇𝑆 𝑇2 = 𝑀𝐶𝐻4 𝑐𝑉 + 𝑀piastra𝑐 6 8314 6.565 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 293.15 + 8 ⋅ 400 ⋅ 523.15 𝑇2 = = 347.94 K → 74.79 °C 6 8314 6.565 ⋅ ⋅ + 8 ⋅ 400 2 16

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Esercitazione 02 La pressione del gas nella bombola si ottiene con l’equazione di stato dei gas ideali (la bombola ha pareti rigide quindi 𝑉2 = 𝑉1 ) 𝑃2 =

𝑀𝑅 ∗ 𝑇2 𝑉1

8314 ⋅ 347.9 6.56 ⋅ 16 = 23739000 Pa → 237.39 bar 𝑃2 = 0.05

Essendo la bombola a volume costante il lavoro scambiato è nullo. Dal bilancio energetico si ottiene il calore complessivamente scambiato come variazione di energia interna della bombola stessa, oppure attraverso il calore specifico della trasformazione. Δ𝑈gas = 𝑀𝐶𝐻4 𝑐𝑉 (𝑇2 − 𝑇1 ) con 𝐿→ = 0 Δ𝑈gas = 𝑄← − 𝐿→ 6 8314 𝑄← = 𝑀𝐶𝐻4 𝑐𝑉 (𝑇2 − 𝑇1 ) 𝑄 ← = 6.565 ⋅ ⋅ ⋅ (74.79 − 20) = 560700 J → 560.7 kJ 2 16 •

•

La variazione di entropia del gas è invece: 𝑇2 𝑉2 Δ𝑆 = 𝑀 [𝑐𝑉 ln ( ) + 𝑅 ∗ ln ( )] 𝑉1 𝑇1 6 8314 347.94 ) − 0] = 1750 J/K = 1.75 kJ/K Δ𝑆 = 6.565 ⋅ [ ⋅ ⋅ ln ( 293.15 2 16

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