Ecuación cuadrática - casos matematicas explicaciones PDF

Preview

Summary

ejercicios del curso de nivelacion. matematicas. ejercicios del curso de nivelacion. matematicas. ejercicios del curso de nivelacion. matematicas. ejercicios del curso de nivelacion. matematicas....

Description

Ecuación cuadrática - casos

Matemática

Ecuación cuadrática - casos Ecuaciones cuadráticas Una función de la forma f (x) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 con a ≠ 0 se llama función cuadrática y su gráfica en el plano cartesiano es una curva llamada parábola.

Ejemplo:

f (x) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

Figura 1: Ejemplo 1

Fuente: elaboración propia.

Los puntos donde la curva corta al eje de las abscisas son los ceros o raíces de la función. Esos puntos tienen ordenadas y = 0, por eso, para calcular cuáles son las raíces, se debe plantear la ecuación: 0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Llamada ecuación cuadrática.

Resolvente La fórmula de cálculo para resolver la ecuación es:

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒙= 𝟐𝒂 2

donde los signos ± implican utilizar la fórmula dos veces: una utilizando el resultado positivo de la raíz (sumando) y la otra utilizando el resultado negativo (restando). Esta fórmula es conocida como la resolvente de la ecuación cuadrática.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación: 2x2 –x –3 = 0 En este caso, a= 2, b= -1 y c= -3.

Encontramos dos soluciones reales y distintas.

Casos especiales Aunque para resolver la ecuación cuadrática contamos con la fórmula de la resolvente, no siempre es necesario utilizarla. Ejemplos: 1) Hallar las raíces de la ecuación x2 – 25 = 0 En este caso, podemos despejar la incógnita: x2 - 25 = 0 x2= 25 x = ±√25 x= ±5

3

Encontramos dos raíces reales y distintas, una x= 5 y la otra x=-5, sin necesidad de utilizar la fórmula de la resolvente. 2) Hallar las raíces de la ecuación 2x2 – 4x = 0 Sacamos factor común 2x y obtenemos: 2x ( x -2). La ecuación es un producto de dos factores igualados a 0. Esto implica que al menos uno de ellos es igual a 0. Si el primer factor es igual a 0, obtenemos: 2x = 0 x=0 Si el segundo factor es igual a 0: x-2=0 x=2 Luego, los valores 0 y 2 son las raíces de la ecuación cuadrática. No obstante, debe quedarnos claro que igualmente podemos utilizar la resolvente, y sin dudas deberemos hallar el mismo resultado, pero suele ser más sencillo y más rápido utilizar estos mecanismos (factorización) cuando sea posible.

Ejemplo de resolución de una ecuación de segundo grado

Resolver la siguiente ecuación:

Para resolver la ecuación aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. 𝒙 +𝟐 𝟐𝒙−𝟏

=

𝟓𝒙+ 𝟏 𝒙+𝟏

Utilizando propiedad distributiva en ambos miembros obtenemos

(x + 2) · (x + 1 ) = (5 x + 1) · (2 x − 1 )

𝑥2 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 = 10𝑥2 − 5𝑥 + 2𝑥 − 1

4

Agrupo: 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 10𝑥2 − 3𝑥 − 1 Paso todo al mismo lado: 𝑥2 + 3𝑥 + 2 − 10𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0 Vuelvo a agrupar: −9𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 0 Me quedó una cuadrática donde:

Entonces 𝑥1

Entonces x2 =1

Y esas son las soluciones del ejercicio.

El discriminante Puede suceder que, al aplicar la resolvente, la raíz cuadrada se tenga que calcular respecto de un número negativo o de cero. En ese caso, o no existiría ninguna solución o existiría una única solución. Llamamos discriminante de la ecuación cuadrática a la expresión que se halla bajo la raíz cuadrada de la resolvente:

△ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Se simboliza con la letra griega delta. Luego, para una ecuación cuadrática cualquiera, los casos que se pueden presentar para el discriminante son:

5

Tabla 1: casos que se pueden presentar para el discriminante

△>0 Hay dos raíces reales distintas

En este caso, la parábola corta al eje x en dos puntos.

△=0 Hay una única raíz real

En este caso, la parábola corta al eje x en un único punto, su vértice. △...