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Una ecuación diferencial de Cauchy-Euler es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general puede ser expresada en términos de potencia de 𝑥,𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠,𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 y funciones logarítmicas, a diferencia de otras ecuaciones con coeficientes variables que usualmente se expresan en forma de...

Description

Ecuación diferencial de Cauchy-Euler 𝑑𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑛 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥 ) 1 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛

Miguel Iván Acevedo (Bobadilla)

Miguel Iván Bobadilla

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER

Ta Tab bla d de e con conte te ten nid ido o Ecuación diferencial de Cauchy-Euler....3 Soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler .................................................................................... 4 Ecuación de Cauchy-Euler no homogénea ...................................................................................... 5 Ejemplo............................................................................................................................................ 6

Bibliografía.............................................. 21

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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER

Ec Ecua ua uació ció ción n dif difer er eren en encial cial d de eC Cau au auch ch chy-E y-E y-Eule ule ulerr Una ecuación diferencial de Cauchy-Euler es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general puede ser expresada en términos de potencia de 𝑥, 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 y funciones logarítmicas, a diferencia de otras ecuaciones con coeficientes variables que usualmente se expresan en forma de series infinitas. Estas ecuaciones diferenciales tienen la forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑛

𝑑𝑛 𝑦

𝑑𝑥𝑛

+ 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1

𝑑𝑛−1 𝑦

𝑑𝑥𝑛−1

+ ⋯ + 𝑎1 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+

𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥 ) donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎0 son constantes. La principal característica de este tipo de ecuación es que el grado de la variable independiente es similar al orden de la derivada que la acompaña. 𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥 𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

Como podemos observar en la ecuación anterior la primera expresión de la ecuación la variable independiente es de segundo grado y la derivada que la acompaña es de segundo orden, en la siguiente la variable 𝑥 es de primer grado y la derivada que la acompaña es de primer orden, en la que sigue la variable 𝑥 es de grado cero y su derivada es de orden cero. Como vemos, tanto el grado de la variable independiente como el orden de la variable que la acompañan son iguales, por lo tanto, dicha ecuación diferencial es una ecuación de Cauchy-Euler. Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy-Euler se prueba una solución del tipo 𝑦 = 𝑥 𝑚 y se resuelve su homogénea asociada por el método de coeficientes constantes, luego -si es necesario- para encontrar la solución particular usaremos el método de variación de parámetro. Como ejemplo vamos a utilizar la misma ecuación anterior vista, que es una ecuación diferencial homogénea. Como la derivada más grande que contiene la ecuación es de segundo orden vamos a derivar dos veces el tipo de solución que ha sido propuesto, es decir, 𝑥 𝑚 . 𝑦 = 𝑥𝑚

𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1

𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2

Lo siguiente que haremos es sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial. 𝑎𝑥 2 (𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2) + 𝑏𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1) + 𝑐(𝑥 𝑚 ) = 0 3

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Lo que haremos a continuación es efectuar las multiplicaciones y factorización correspondientes para poder reducir la expresión para que se nos haga más cómodo el trabajo. 𝑎𝑥 2 (𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 ) + 𝑏𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1) + 𝑐(𝑥 𝑚 ) = 0 𝑎𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚𝑥 𝑚 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 [𝑎𝑚(𝑚 − 1) + 𝑏𝑚 + 𝑐] = 0 𝑥 𝑚 [𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐] = 0

Nos ha quedado un producto en la que nos queda la expresión 𝑥 𝑚 y una ecuación cuadrática como ecuación auxiliar la cual ambas valen cero. Por obvias razones la expresión 𝑥 𝑚 al valer cero la desechamos, por lo tanto, los valores que andamos buscando para nuestra solución están en la ecuación cuadrática 𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0. Como ya sabemos solo debemos resolver dicha ecuación cuadrática y así encontrar los valores de 𝑚 que construyen la solución a la ecuación diferencial.

Sol Soluci uci ucion on ones es d de e la ec ecuaci uaci uación ón de Ca Cauch uch uchy-E y-E y-Eule ule ulerr Las soluciones que se obtendrán de las ecuaciones de Cauchy-Euler dependerán del caso que se presente. Reales y distintas

En caso de que sean 𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 reales y distintos entonces la solución tiene la siguiente forma:

Reales y repetidos

forma:

𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑚𝑛

En caso de que 𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 sean reales y repetidos la solucion tiene la siguiente 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐3 𝑥 𝑚3 (𝑙𝑛𝑥)2 … + 𝑐𝑛 𝑥 𝑚𝑛 (𝑙𝑛𝑥)𝑘−1

Complejos conjugados

En caso de que la ecuación auxiliar produzca raíces complejas 𝑚1 = 𝛼 + 𝑖𝛽, 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 donde 𝛼 𝑦 𝛽 > 0 son reales, se describe la solución en términos de funciones reales aplicando la identidad de Euler. 𝑦 = 𝑥 𝛼 [𝑐1 cos(𝛽 𝑙𝑛𝑥 ) + 𝑐2 sen(𝛽 𝑙𝑛𝑥)] 4

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Ecu Ecuaci aci ació ón d de e Cau Cauchychychy-E Eule ulerr n no oh hom om omogé ogé ogéne ne neaa Como se ha mencionado anteriormente en caso de que la ecuación diferencial de Cauchy-Euler no sea homogénea y necesitemos encontrar una solución particular aplicaremos el método de variación de parámetro. Dicho método consiste en reemplazar la constante 𝑐𝑖 por funciones 𝑢𝑖 (𝑥), donde 𝑖 = 1, 2, 3 … 𝑛 , de tal manera que la solución particular tenga la siguiente forma: 𝑦𝑝 = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛 (𝑥)

Donde 𝑦𝑖 (𝑥) forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo de la homogénea asociada y la función 𝑢𝑖 (𝑥 ) es lo que vamos a determinar. Para el caso de una ecuación diferencial de segundo orden procedemos a derivar hasta su segunda derivada la suposición y sustituyendo dichas derivadas y la función en la ecuación diferencial del mismo orden en su forma estándar 𝑦′′𝑝 + 𝑃(𝑥 )𝑦 ′ 𝑝 + 𝑄(𝑥)𝑦𝑝 = 𝑓(𝑥) se obtendrá de ello un sistema de ecuaciones para determinar las funciones 𝑢1 (𝑥) y 𝑢2 (𝑥). 𝑦1 𝑢′1 + 𝑦2 𝑢′2 = 0

𝑦′1 𝑢′1 + 𝑦′2 𝑢′1 = 𝑓(𝑥)

Por la regla de Cramer, la solución del sistema puede expresarse en términos de determinantes.

𝑦1 𝑊=⌊ 𝑦′1

𝑦2 𝑦′2 ⌋

𝑢′1 =

𝑊1 𝑊

0 𝑊1 = ⌊ 𝑓(𝑥)

𝑢′2 = 𝑦2 ⌋ 𝑦′2

𝑊2 𝑊

𝑦1 𝑊2 = ⌊ 𝑦′1

0 ⌋ 𝑓(𝑥)

El determinante 𝑊 se conoce como el Wroskiano de 𝑦𝑖 . Debido a que 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) … 𝑦𝑛 (𝑥). ) ≠ 0 para todo 𝑥 en el intervalo, por lo tanto, 𝑦𝑖 son linealmente independientes. Con estos determinantes podemos encontrar los valores para 𝑢′𝑖 (𝑥). Como ya sabemos los valores para 𝑦𝑖 (𝑥 ) están en la solución complementaria, por lo que queremos determinar es a 𝑢𝑖 (𝑥 ) y como los determinantes nos dan los valores para 𝑢′𝑖 (𝑥), solo es cuestión de integral y formar la solución particular. Para ecuaciones de tercer orden o mayor se hace igual como lo hicimos con el caso para las ecuaciones de segundo orden, donde las primeras 𝑛 − 1 ecuaciones del sistema tendrán el valor de cero. Por la regla de Cramer los Wroskiano para 𝑦𝑖 tendrá 𝑊𝑖 determinantes.

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𝑊𝑖 𝑢′𝑖 = 𝑊

Por ejemplo, para una ecuación diferencial de Cauchy-Euler de tercer orden los determinantes serían los siguientes: 𝑦1 ′ 𝑊 = [𝑦 1

𝑦 ′′1

𝑦1 𝑦′ 𝑊2 = [ 1 𝑦′′1

𝑦2 𝑦′2

𝑦 ′′ 2

0 0 𝑓(𝑥)

𝑦3 𝑦′3 ] 𝑦′3

0 𝑦2′ 0 𝑦2 𝑊1 = [ 𝑓(𝑥 ) 𝑦 ′′ 2

𝑦3 𝑦′3] 𝑦′3

𝑦1 𝑦′ 𝑊3 = [ 1 𝑦′′1

𝑦2 𝑦′2 𝑦′′2

𝑦3′ 𝑦 3] 𝑦′3

0 0 ] 𝑓(𝑥)

De los pasos anteriores mencionados no es necesario hacerlos todos, lo único que debemos saber son los determinantes, lo demás solo es con fines de saber de dónde salen los determinantes. Luego de obtener la solución particular se la sumamos a la solución complementaria y con esto obtenemos la solución general, es decir, 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 .

Ej Ejemp emp emplo lo 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥, 𝑦(1) = 1, 𝑦 ′ (1) = 3

La ecuación diferencial no homogénea de segundo orden anterior se puede apreciar que el grado de las variables independientes son los mismos que el orden de las derivadas que la acompañan, por lo que es una ecuación diferencial de Cauchy-Euler, además de que tenemos condiciones iniciales. Como ya hemos aprendido primero procedemos a resolver su homogénea asociada. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 0

Como la ecuación diferencial es de segundo orden debemos derivar nuestra propuesta hasta su segunda derivada. 𝑦 = 𝑥𝑚

𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1

𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 6

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Lo que sigue es sustituir en la ecuación diferencial.

𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 − 𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1 ) + 𝑥 𝑚 = 0

Multiplicamos los productos contenidos en la ecuación.

𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 − 𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1 ) + 𝑥 𝑚 = 0 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 − 𝑚𝑥 𝑚 + 𝑥 𝑚 = 0

Se aprecia que tenemos términos que contienen la variable 𝑥 𝑚 por lo que al tener cada expresión esta variable como semejante podemos obtener un producto sacando dicha variable como factor común. 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚 − 𝑚𝑥 𝑚 + 𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 [𝑚(𝑚 − 1) − 𝑚 + 1] = 0

Multiplicamos el producto 𝑚(𝑚 − 1) que nos queda dentro de la ecuación. 𝑥 𝑚 [𝑚(𝑚 − 1) − 𝑚 + 1] = 0 𝑥 𝑚 [𝑚2 − 2𝑚 + 1] = 0

Nos queda un producto donde la variable 𝑥 𝑚 multiplica una ecuación auxiliar. Como 𝑥 𝑚 = 0 lo que nos interesa es la expresión 𝑚2 − 2𝑚 + 1 = 0. Lo siguiente es encontrar el valor de 𝑚, debido a que la ecuación es cuadrática obtendremos dos valores para 𝑚. 𝑚2 − 2𝑚 + 1 = 0

Factorizamos la expresión, podemos hacerlo con la formula general para las ecuaciones cuadráticas o con otros métodos ya conocidos. Para este ejemplo usaremos un método más rápido. Hacemos un producto de la siguiente forma: (𝑚 + 𝐴)(𝑚 + 𝐵) = 0 y buscamos dos valores que multiplicados entre si den el último término, es decir, 1 y sumados den el segundo, es decir, -2, la cual de manera muy sencilla es -1 y -1. Esto serán los valores para A y B. Por lo tanto, la factorización para la expresión 𝑚2 − 2𝑚 + 1 = 0 es la siguiente: (𝑚 − 1)(𝑚 − 1) = 0.

Por si las dudas vamos a realizar la multiplicación para verificar que corresponde a la expresión 𝑚2 − 2𝑚 + 1 = 0.

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Hemos confirmado que la factorización es correcta, por lo tanto, podemos proceder a encontrar los valores para 𝑚1 y 𝑚2 , recordando que debido a que la ecuación auxiliar es de Segundo grado obtendremos dos valores para 𝑚. Si fuese de tercer grado obtendríamos tres, de cuarta cuatro y así sucesivamente. (𝑚1 − 1)(𝑚2 − 1) = 0

Lo siguiente que haremos es separar el producto. 𝑚1 − 1 = 0

𝑚2 − 1 = 0

El último paso es despejar 𝑚 para poder encontrar los valores que buscamos. 𝑚1 = 1

𝑚2 = 1

Teniendo los valores para 𝑚 observamos que son reales y ademas repetidos, por lo que la solución será de la forma 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐3 𝑥 𝑚3 (𝑙𝑛𝑥)2 … + 𝑐𝑛 𝑥 𝑚𝑛 (𝑙𝑛𝑥)𝑘−1 . 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 𝑙𝑛𝑥

Sustituimos 𝑚1 y 𝑚2 con sus respectivos valores encontrados para obtener la solución complementaria. 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 𝑙𝑛𝑥

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𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑙𝑛𝑥

Debemos recordar que la solución encontrada es la complementaria y no la general, pues aún nos falta una pieza para obtener la solución general ya que dicha ecuación diferencial es no homogénea, dicha faltante es la solución particular. La sumatoria entre ambas soluciones es la que nos dará la solución general, es decir, 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 . Como sabemos, vamos a aplicar la variación de parámetros. Debido a que la ecuación diferencial es de segundo orden y además la solución complementaria contiene por la misma razón dos constantes suponemos que la solución particular debe tener la forma 𝑦𝑝 = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥), que produce el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑦1 𝑢′1 + 𝑦2 𝑢′2 = 0

𝑦′1 𝑢′1 + 𝑦′2 𝑢′1 = 𝑓(𝑥)

Como apreciamos en la ecuación 𝑦𝑝 = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥), necesitamos determinar a 𝑢1 (𝑥) y 𝑢2 (𝑥). Los valores para 𝑦1 (𝑥) y 𝑦2 (𝑥) ya lo encontramos en la solución complementaria, que son aquellas que acompañan a las constantes. Por regla de Cramer, expresamos el sistema de ecuaciones anterior en forma de determinantes. 𝑦1 𝑊=⌊ 𝑦′1

𝑦2 𝑦′2 ⌋

0 𝑊1 = ⌊ 𝑓(𝑥)

𝑦 𝑊2 = ⌊ 1 𝑦′1

𝑦2 ⌋ 𝑦′2

0 ⌋ 𝑓(𝑥)

Con estos determinantes podemos encontrar los valores para 𝑢′1 (𝑥) y 𝑢′2 (𝑥). 𝑢′1 =

𝑊1 𝑊

𝑢′2 =

𝑊2 𝑊

Los determinantes contienen una serie de datos, estos son 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦′1 , 𝑦′2 y 𝑓(𝑥). Como sabemos 𝑦1 y 𝑦2 son parte de la solución complementaria y son aquellos que acompañan a las contantes. 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑙𝑛𝑥

Por lo tanto, 𝑦1 = 𝑥 y 𝑦2 = 𝑥𝑙𝑛𝑥. Los siguientes datos son las derivadas de cada uno. La derivada de 𝑦1 es bastante sencillo, pues la derivada de 𝑥 es 1, por lo tanto, 𝑦′1 = 1. Para la derivada de 𝑦2 debemos aplicar la regla del producto. 𝑦′2 = 𝑥

𝑦2 = 𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑑 𝑑 [𝑙𝑛𝑥] + 𝑙𝑛𝑥 [𝑥] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 9

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1 𝑦′2 = 𝑥 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 𝑦′2 = 1 + 𝑙𝑛𝑥

Solo nos falta el valor para 𝑓(𝑥), pero hay algo que tenemos que tomar en cuenta, la ecuación diferencial debe estar en su forma estándar. Para convertir la ecuación diferencial 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥 en su forma estandar solo debemos didivir tanto su lado derecho como el izquierdo de la igualdad entre 𝑥 2 .

𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥

(𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦) 𝑦 ′′ −

1

𝑥2

= (2𝑥)

1 ′ 1 2 𝑦 + 2𝑦= 𝑥 𝑥 𝑥

1

𝑥2

Como observamos en la forma estándar 𝑓(𝑥) = 𝑥. Ya con esto tenemos todos los 2

datos para resolver los determinantes, por lo que solo hay que sustituir. 𝑦1 𝑊=⌊ 𝑦′1 𝑥 𝑊=⌊ 1

𝑦2 𝑦′2 ⌋

𝑥𝑙𝑛𝑥 ⌋ 1 + 𝑙𝑛𝑥

0 𝑊1 = ⌊ 𝑓(𝑥)

0 𝑊1 = ⌊ 2 𝑥

𝑦2 ⌋ 𝑦′2

𝑥𝑙𝑛𝑥 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⌋

𝑦 𝑊2 = ⌊ 1 𝑦′1

𝑥 𝑊2 = ⌊ 1

0

2⌋ 𝑥

0 ⌋ 𝑓(𝑥)

Estos determinantes se resuelven por multiplicación cruzada, comenzando desde el primer término de arriba del lado izquierdo que multiplica al último de abajo del lado derecho que resta a la multiplicación que va del último término de abajo del lado derecho por el primero de arriba del lado izquierdo, tal como se muestra a continuación.

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𝑊 = 𝑥 (1 + 𝑙𝑛𝑥 ) − 1(𝑥𝑙𝑛𝑥) 2 𝑊1 = 0(1 + 𝑙𝑛𝑥 ) − 𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥 2 𝑊2 = 𝑥 − 1(0) 𝑥

Procedemos a realizar las multiplicaciones correspondientes. 𝑊 = 𝑥 + 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥𝑙𝑛𝑥 2 𝑊1 = 0 − 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑊2 = 𝑥

2 −0 𝑥

Cancelaremos términos iguales que se restan o dividen.

Con esto ya tenemos nuestros determinantes. 𝑊=𝑥

𝑊1 = −2𝑙𝑛𝑥 𝑊2 = 2

Lo que sigue es reemplazar los determinantes obtenidos para obtener los valores para 𝑢′1 y 𝑢′2 . 𝑢′1 =

𝑊1 𝑊

𝑢′1 = −

2𝑙𝑛𝑥 𝑥

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𝑢′2 =

𝑢′2 =

𝑊2 𝑊

2 𝑥

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Para poder sustituir en nuestra suposición de solución particular, tenemos que ya sabemos los valores para 𝑦1 y 𝑦2 , pero 𝑢1 y 𝑢2 la tenemos en su forma derivada, por lo que simplemente debemos aplicar la inversa de la derivada que es la integración para tenerla sin derivada. 𝑢1 = − ∫

2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑢2 = ∫

2

𝑥

𝑑𝑥

Para comodidad -además de que no serán alteradas- sacamos las contantes fuera de la integración. 𝑢1 = −2 ∫

𝑢2 = 2 ∫

𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1

𝑥

𝑑𝑥

Acomodamos la primera integral ya que puede formarse como producto para facilitar el proceso. 𝑢1 = −2 ∫

1 (𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 𝑥

𝑢2 = 2 ∫

1

𝑥

𝑑𝑥

Comencemos con la primera integración, es decir, 𝑢′1 . 𝑢1 = −2 ∫

1 (𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 𝑥

La razón de que lo transformemos en producto es para aplicarle la integración por partes. Si no recuerdan, la integración por partes viene dada como ∫ 𝑓′. 𝑔 𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓. 𝑔′ 𝑑𝑥. Para nuestra integral los valores para construir la regla correspondiente son los siguientes: 𝑓′ =

𝑔 = 𝑙𝑛𝑥

1

𝑥

𝑓 = 𝑙𝑛𝑥

𝑔′ =

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1

𝑥

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Con esto construimos la integración por partes, recordando que hemos sacado la constante fuera de la integral. 𝑢1 = −2 [∫ 𝑓′. 𝑔 𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓. 𝑔′ 𝑑𝑥]

𝑢1 = −2 [∫

1 1 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2 − ∫ (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 ] 𝑥 𝑥

Si nos fijamos estamos ante una integral cíclica, debido a que la integral se repite de nuevo como vemos en azul a continuación. 𝑢1 = −2 [∫

1 1 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 ] (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2 − ∫ 𝑥 𝑥

Para resolver este problema solo hay que pasar la integral del lado derecho al lado izquierdo de la igualdad, recordando que al realizar esto pasa con el signo contrario. Obviamente al pasar dicha integral al otro lado ambas integrales quedan sumando, por lo que al ser semejante queda de la siguiente manera: 𝑢1 = −2 [∫

1 1 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥 )2 ] 𝑥 𝑥

𝑢1 = −2 [2 ∫

1 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2 ] 𝑥

Para que la integral quede con su forma original el termino sobrante, es decir, el 2 que está multiplicando a la integral la pasamos al lado derecho, como sabemos este pasa dividendo ya que está multiplicando en el lado izquierdo. 𝑢1 = −2 [2 ∫ 𝑢1 = −2 [∫

1 (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2 ] 𝑥

(𝑙𝑛𝑥 )2 1 ] (𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 2 𝑥

𝑢1 = −2 [

(𝑙𝑛𝑥)2 ] 2

𝑢1 = −(𝑙𝑛𝑥 )2 13

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Con esto ya tenemos el valor para 𝑢1 , por lo que nos falta 𝑢2 , que es una integral bastante sencilla. 𝑢2 = 2 ∫

1 𝑑𝑥 𝑥

𝑢2 = 2𝑙𝑛𝑥

Ya tenemos todos los elementos para sustituir y formar la solución particular. 𝑦𝑝 = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥) 𝑦1 = 𝑥

𝑢1 = −(𝑙𝑛𝑥 )2

𝑦2 = 𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑢2 = 2𝑙𝑛𝑥

𝑦𝑝 = −𝑥 (𝑙𝑛𝑥)2 + 2(𝑙𝑛𝑥)𝑥𝑙𝑛𝑥

Podemos simplificar la solución particular en la expresión 2(𝑙𝑛𝑥)𝑥𝑙𝑛𝑥 , ya que podemos convertir los términos 𝑙𝑛𝑥 en un cuadrado. 𝑦𝑝 = −𝑥 (𝑙𝑛𝑥)2 + 2(𝑙𝑛𝑥 )𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑦𝑝 = −𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2 + 2𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2

Aún es posible simplificar más la solución particular, pues encontramos una suma que contiene términos semejantes. Los términos 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2 son semejantes en las dos expresiones que conforman la suma, por lo que podemos efectuar dicha suma. 𝑦𝑝 = −𝑥(𝑙𝑛𝑥 )2 + 2𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2 𝑦𝑝 = 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2

Ya con ambas soluciones podemos formar la solución general, recordando que es la suma de ambas soluciones. 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑦𝑝 = 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 )2 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)2

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Al fin tenemos la solución general para la ecuación diferencial, pero aún no hemos terminado, porque ahora resolveremos el problema con las condiciones o valores iniciales 𝑦(1) = 1, 𝑦 ′ (1) = 3, con la cual encontraremos los valores para las constantes. Debemos recordar que el valor que acompaña a la variable 𝑦 en los valores iniciales es el valor para la variable 𝑥 , por ejemplo, para la condición inicial 𝑦 ′ (1) = 3, el valor de 𝑦 ′ = 3 y 𝑥 = 1. Primero iniciar...