Ecuación General Y Vectorial DE LA Parábola 1 PDF

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Este trabajo está realizado por universitarios de la universidad nacional de santa....

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ECUACIÓN GENERAL Y VECTORIAL DE LA PARÁBOLA

Dada una recta fija 𝑳 y un punto fijo 𝑭 ∉ 𝑳, definimos la parábola 𝓟 como el conjunto

de todos los puntos del plano 𝑷(𝒙, 𝒚) cuya distancia al punto fijo 𝑭 es igual a su distancia

a la recta fija 𝑳, llamada directriz. Al punto fijo 𝐹 , se le llama foco de la parábola. Así:

Observación. Siendo la excentricidad 𝒆 de la toda cónica, el valor del cociente de estas dos distancias, se tiene para la parábola que 𝒆 = 𝟏. Elementos:

1° Recta Directriz: 2° Foco: 𝑭

𝑳: 𝒙′ = −𝒑

3° Vértice: 𝑽. Origen del sistema de coordenadas 𝑿′ 𝒀′ 4° Parámetro de la parábola:𝒑 5° Lado recto: 𝑹𝑹′

De la defincición, se deduce que si 𝑃 = 𝑉, entonces:

𝒅(𝑽, 𝑳) = 𝒅(𝑽, 𝑭) = |𝒑|

Es decir, la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz.

Nota: El eje 𝑿′ sigue la dirección del vector unitario de rotación de coordenadas 𝒖 󰇍, llamado eje 𝒖 󰇍 o eje focal de la parábola. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA PARÁBOLA

De la gráfica, por definición:

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = −𝒑𝒖 󰇍󰇍 + 𝒕𝒖 󰇍󰇍 ⊥ ; 𝒕 ∈ ℝ 𝑸 ∈ 𝑳 ⇰ 𝑽𝑸

Asimismo:

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒙′ 𝒖 𝑽𝑭 = 𝒑𝒖 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ ˄ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 𝑽𝑷

⇔

𝑸 = (𝑽 − 𝒑𝒖 󰇍 ) + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥

𝑷 = 𝑽 + 𝒙′ 𝒖 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍 ⊥ ˄ 𝑭 = 𝑽 + 𝒑𝒖 󰇍

⇔

Luego, la ecuación vectorial de la parábola esta dada por:

Ademàs: 1°

2°

𝓟: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝑽 + 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′󰇍𝒖

⊥

󰇍󰇍󰇍󰇍 | = |(𝑸 − 𝑷). 󰇍𝒖| = |[−(𝒙′ + 𝒑)𝒖 󰇍 ]. 𝒖 󰇍 | = |−(𝒙′ + 𝒑)| 𝒅(𝑷, 𝑳) = |𝑪𝒐𝒎𝒑󰇍𝒖󰇍𝑷𝑸 ⇰ 𝒅(𝑷, 𝑳) = |𝒙′ + 𝒑|

󰇍󰇍 ⊥ − (𝑽 + 𝒑𝒖 󰇍 )| = |(𝒙′ − 𝒑)󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍 ⊥| 𝒅(𝑷, 𝑭) = |𝑷 − 𝑭| = |𝑽 + 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ | ⇰ 𝒅(𝑷, 𝑭) = |(𝒙′ − 𝒑)󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖

𝒅(𝑷, 𝑳) = 𝒅(𝑷, 𝑭) ⇰ [𝒅(𝑷, 𝑳)]𝟐 = [𝒅(𝑷, 𝑭)]𝟐 Luego, la ecuaciòn cartesiana de la paràbola està dada por: Siendo:

𝓟: 𝒚′ = 𝟒𝒑𝒙′ 𝟐

⇰

𝒚′ = 𝟒𝒑𝒙′ 𝟐

OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA: 1° EJE FOCAL PARALELO AL EJE X: En este caso, no existe rotación de ejes y 𝒖 󰇍 = 𝒊 = (𝟏, 𝟎). Así, si 𝑽 = (𝒉, 𝒌), se tiene: Además:

𝓟: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝑽 + 𝒙′ 𝒊 + 𝒚′ 𝒋 ⇔ 𝓟: (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) 𝑭 = (𝒉 + 𝒑, 𝒌),

𝑳: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑

˄ 𝒑𝒖 󰇍󰇍 = 𝒑𝒊 = (𝒑, 𝟎)

Si 𝒑 > 𝟎, la parábola se abre hacia la derecha. Si 𝒑 < 𝟎, la parábola se abre hacia la izquierda.

2° EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y: En este caso, existe rotación de ejes y 󰇍𝒖󰇍 = 𝒋 = (𝟎, 𝟏). Así, si 𝑽 = (𝒉, 𝒌), se tiene: Además:

𝓟: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝑽 + 𝒙′ 𝒋 + 𝒚′ 𝒊 ⇔ 𝓟: (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) 𝑭 = (𝒉, 𝒌 + 𝒑),

𝑳: 𝒚 = 𝒌 − 𝒑

󰇍󰇍 = 𝒑𝒋 = (𝟎, 𝒑) ˄ 𝒑𝒖

Si 𝒑 > 𝟎, la parábola se abre hacia arriba. Si 𝒑 < 𝟎, la parábola se abre hacia abajo.

3. Ecuación general de una parábola con eje focal horizontal: Desarrollando la ecuación:

−𝟒𝒑 𝓟: (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) ↔ 𝒚𝟐 ⏟ 𝒌𝟐 + 𝟒𝒑𝒉 = 𝟎 𝒙 −𝟐𝒌 ⏟𝒚+⏟ 𝑫

𝑬

𝑭

Entonces, la ecuación general de la parábola con eje focal horizontal tiene la forma: 𝓟: 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎; 𝑫 ≠ 𝟎

4. Ecuación general de una parábola con eje focal vertical: Desarrollando la ecuación:

𝒉𝟐 + 𝟒𝒑𝒌 = 𝟎 ⏟ 𝒙 −𝟒𝒑 𝓟: (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) ↔ 𝒙𝟐 −𝟐𝒉 ⏟ 𝒚+⏟ 𝑫

𝑬

𝑭

Entonces, la ecuación general de la parábola con eje focal horizontal tiene la forma: 𝓟: 𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎; 𝑬 ≠ 𝟎

Ejemplo 1. Determinar si la siguiente ecuación corresponde a una parábola: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎 Solución

Completando cuadrados:

(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟏)𝟐 = −𝟔(𝒚 − 𝟑) ↔ (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

𝟑 𝒑=− ; 𝟐

𝒉 = −𝟏

˄

𝒌=𝟑

Entonces, la ecuación dada corresponde a una parábola que se abre hacia la abajo, de vértice 𝑽 = (−𝟏, 𝟑) y foco 𝑭 = (−𝟏, 𝟐). 𝟑

Ejemplo 2. Determinar la ecuación de una parábola de eje horizontal que pasa por los puntos 𝐴 = (6, 0), 𝐵 = (14, 4) y 𝐶 = (6, −4). Solución

Dato:

𝑨,𝑩,𝑪∈𝓟

𝓟: 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 → Sumando (2) y (3):

𝟏𝟒𝑫 𝟔𝑫 + 𝟒𝑬 −𝟏𝟔 ++ 𝑭𝑭 == 𝟎… (𝟏)… (𝟐) 𝟔𝑫 − 𝟒𝑬 + 𝑭 = −𝟏𝟔 … (𝟑)

(𝟏)

(𝟏)𝒆𝒏 (𝟑)

𝟏𝟎𝑫 + 𝑭 = −𝟏𝟔 → 𝑫 = −𝟒 ˄ 𝑭 = 𝟐𝟒 →

Entonces, la ecuación de la parábola es:

𝑬=𝟒

𝓟: 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎

PROBLEMAS SOBRE PARÁBOLAS

PROBLEMA N° 01. Una parábola de eje horizontal tiene su vértice sobre la recta 𝑳: 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐 = 𝟎 y pasa por los puntos 𝑨 = (𝟑, −𝟓) y 𝑩 = (𝟐 , 𝟏), hallar su ecuación. 𝟑

Solución

𝑉 = (ℎ, 𝑘);

𝑘=

5ℎ + 2 5ℎ + 2 → 𝑉 = (ℎ, ) 3 3

5ℎ + 2 ) = 𝟒𝒑(𝟑 − 𝒉) 𝟐 3 5ℎ + 2 ˄ ) = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) → ⇔ 𝓟: (𝒚 − 3 𝟐 𝟑 5ℎ + 2 ) = 𝟒𝒑 ( − 𝒉) (𝟏 − 𝟐 3

5ℎ + 17 ) = 𝟒𝒑(𝟑 − 𝒉) ( 3 ˄ → 𝟐 1 − 5ℎ 𝟑 ( ) = 𝟒𝒑 ( − 𝒉) 𝟐 3 (5ℎ + 17)𝟐 = 𝟒𝒑 (𝟑 − 𝒉) ˄ → (1 − 5ℎ)𝟐 = 𝟒𝒑 (𝟑 − 𝟐𝒉) 𝟐 → 𝟒𝟑𝟓𝒉𝟐 + 𝟔𝒉 − 𝟖𝟔𝟏 = 𝟎 𝟐

𝟕 𝒌=𝟑 𝒉= 𝟓 ˅ ˅ → → 𝟏𝟒𝟕 𝟒𝟏 𝒌 = − 𝒉=− 𝟖𝟕 𝟐𝟗

(−𝟓 −

𝟐

, 𝟑) ˅𝟕𝟓 𝑽=( 𝟒𝟏 𝟏𝟒𝟕 𝑽 = (− → ,− 𝟐𝟗

→

˅

5

)

147 𝟐 7𝟒𝟏) 𝓟:𝓟:(𝒚(+ 𝒚 − 𝟑))𝟐 ==𝟒𝒑 𝟒𝒑(𝒙 (𝒙−+ 𝟐𝟗 87

) 𝟖𝟕 7 𝓟: (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟒𝟎 (𝒙 − 5) 𝑩∈𝓟 → ˅ 𝑨∈𝓟 𝟐 147 𝟕𝟐 𝟒𝟏 → 𝓟: (𝒚 + ) = (𝒙 + ) 𝟐𝟗 87 𝟐𝟗

PROBLEMA N° 02. Hallar la ecuación de una parábola de vértice 𝑽 = (𝟓, 𝟐) y foco 𝑭 = (𝟕, 𝟐); hallar además la ecuación de la directriz. Solución

Se observa que el vértice y el foco están en la misma recta horizontal. La parábola se abre hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

Se sabe que:

𝓟: (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) ⇔ 𝓟: (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝟓) 𝓟: (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟖(𝒙 − 𝟓) 𝒅(𝑽, 𝑭) = 𝒑 = 𝟐 ⇰ { 𝑫: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑 = 𝟓 − 𝟐 = 𝟑

PROBLEMA N° 03. El foco de una parábola es 𝑭 = (𝟕, 𝟓) y el vértice es 𝑽 = (𝟑, 𝟐), hallar la ecuación de la parábola y de su directriz. Solución

Se observa que, en el sistema 𝑿′𝒀′, la ecuación de la parábola es de la forma: 𝓟: 𝒚′ = 𝟒𝒑𝒙′ … (𝟏) 𝟐

1° Determinación del valor del parámetro 𝒑: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ = ‖𝑭 − 𝑽‖ = ‖(𝟒, 𝟑)‖ = 𝟓 𝒑 = ‖𝑽𝑭

⇰

𝒑=𝟓

⇰

𝓟: 𝒚′ = 𝟐𝟎𝒙′ … (𝟐) 𝟐

2° Determinación del vector unitario que sigue la dirección del eje focal: 𝒖 󰇍 =

󰇍󰇍𝑽𝑭 󰇍 󰇍󰇍 𝟒 𝟑 =( , ) 𝟓 𝟓 󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 ‖ ‖𝑽𝑭

3° Determinación de la ecuación de la directriz 𝑫:

𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 󰇍󰇍 + 𝒕𝒖 󰇍 ⊥ ⇔ 𝑷 = 𝑽 − 𝟓 ( 𝟓 , 𝟓) + 𝒕 (− 𝟓 , 𝟓) Sea 𝑷 = (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑫 ⇰ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑽𝑷 = −𝒑𝒖

𝟑𝟒 𝟑 𝟒 ⇰ (𝒙, 𝒚) = (𝟑, 𝟐) − (𝟒, 𝟑) + 𝒕 (− , ) ⇔ (𝒙 + 𝟏, 𝒚 + 𝟏) = 𝒕 (− , ) 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 ⊥ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 ( ) ⇔ 𝒙 + 𝟏, 𝒚 + 𝟏 . (− , ) = 𝒕 (− , ) . (− , ) = 𝟎 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 ⊥

𝟒 𝟑 ⇰ (𝒙 + 𝟏, 𝒚 + 𝟏). (− , − ) = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏, 𝒚 + 𝟏). (𝟒, 𝟑) = 𝟎 ⇔ 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕 𝟓 𝟓 =𝟎 𝑫: 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕 = 𝟎

4° Determinación, en el sistema XY, de la ecuación de la parábola 𝓟:

Por la fórmula de transformación: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒙′ 𝒖 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ 𝑽𝑷

󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍 ⊥ ⇔ (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐) = 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍⊥ ⇔ 𝑷 = 𝑽 + 𝒙′ 𝒖

𝟒 𝟑 ′ = (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐 ). ( , ) 𝒙 = (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐).󰇍󰇍𝒖 𝟓 𝟓 ⇰ { ⇰ {′ 𝟒 𝟑 𝒚 = (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐). 󰇍󰇍𝒖⊥ 𝒚′ = (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐). (− , ) 𝟓 𝟓 𝒙′

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟖 𝟐 𝟓 ⇰ { ⇒ 𝓟: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 − 𝟒𝟎𝟔𝒙 − 𝟐𝟗𝟐𝒚 + 𝟏𝟖𝟎𝟏 = 𝟎 𝟒𝒚 − 𝟑𝒙 + 𝟏 ′ 𝒚 = 𝟓 𝒙′ =

PROBLEMA N° 04. El foco de una parábola es el punto 𝑭 = (𝟒, 𝟎) y uno de sus puntos es 𝑷 = ( 𝟐, 𝟐). Determinar la distancia entre este punto y la directriz de la parábola. Solución

Sea L la directriz de la parábola Teoría:

𝑑 (𝐹, 𝑃) = 𝑑(𝑃, 𝐿 ) = √(4 − 2)2 + (0 − 2)2 = √8

PROBLEMA N° 05. 𝑽 = (𝒉, 𝒌) es el vértice de una parábola, 𝑳𝑫 : 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 es su directriz y 𝑳𝑻 = {(𝟓, 𝟔) + 𝒕(𝟏, 𝟐), 𝒕 ∈ ℝ} es la tangente a la parábola en el vértice. Si la parábola pasa por el punto 𝑄 = (7, 5) y ℎ + 𝑘 < 15, determinar la ecuación vectorial de la parábola. Solución

𝑳𝑻 : 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟒 = 𝟎 ˄ 𝑳𝑫 : 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 → 󰇍𝒏

𝑳𝑫

Dato 1:

De la figura:

󰇍 𝒏󰇍 𝟐 −𝟏 ) 𝒖 𝑳𝑫 = (˄ , √𝟓 √𝟓 𝟏 𝟐 󰇍 = (𝟐, −𝟏) → 𝒖 ) = ( 𝑳𝑫 , √𝟓 √𝟓

𝑝 = 𝑑(𝐿𝐷 , 𝐿 𝑇 ) = √5 ˄ 𝑑(𝑄, 𝐿𝐷 ) = 𝑑(𝑄, 𝐹) = 2√5 = 2𝑝 → 𝑄 es un extremo del lado recto

𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒑𝒖 󰇍󰇍󰇍 = −2√5𝒖 ) = (𝟐, −𝟏) ˄ 󰇍󰇍󰇍 𝑭𝑸 󰇍󰇍 󰇍𝒏󰇍𝑳 = √5 ( , 󰇍 𝑳𝑫 = 2√5 ( , ) 𝑽𝑭 𝑫 √𝟓 √𝟓 √𝟓 √𝟓 = (𝟐, 𝟒)

Entonces:

󰇍󰇍󰇍󰇍 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍 = (𝟐, −𝟏) + (𝟐, 𝟒) = (𝟒, 𝟑) → 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑽𝑭 + 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑭𝑸 𝑽𝑸 𝑽𝑸= (𝟒, 𝟑) → 𝑸 − 𝑽 = (𝟒, 𝟑) → 𝑽 = (𝟑, 𝟐)

Luego la ecuación vectorial de la parábola es: 󰇍⊥ 𝓟: (𝒙, 𝒚) = 𝑽 + 𝒙′󰇍󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖

→

𝟐 −𝟏 𝟏 𝟐 𝓟: (𝒙, 𝒚) = (𝟒, 𝟑) + 𝒙′ ( , ) + 𝒚′ ( , ) √𝟓 √𝟓 √𝟓 √𝟓

RECTA TANGENTE A UNA PARÁBOLA Consideremos una parábola 𝓟 cuya ecuación está dada por: 𝓟: 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

Sea 𝑳𝑻 la recta tangente a 𝓟 en el punto de tangencia (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ), entonces: 𝑳𝑻 : 𝒚𝟎𝒚 = 𝟒𝒑 (

↔ 𝑳𝑻 : 𝒚 =

𝒙 + 𝒙𝟎 ) 𝟐

𝟐𝒑 (𝒙 + 𝒙𝟎) 𝒚𝟎

Si 𝐴 = 𝐿 𝑇 ∩ 𝐸𝑗𝑒 𝑋 , entonces:

𝟐𝒑 𝑳𝑻: 𝒚 = 𝒚˄ (𝒙 + 𝒙𝟎) 𝟎

Luego:𝑬𝒋𝒆 𝒙: 𝒚 = 𝟎

→

𝒚𝟎 𝟐𝒑

(𝒙 + 𝒙𝟎) = 𝟎 → 𝒙 = −𝒙𝟎

→

𝑨 = (−𝒙𝟎, 𝟎)

“El vértice de la parábola es el punto medio entre el pie de la perpendicular trazada desde el punto de tangencia y el eje focal de la parábola y, el punto de intersección de la recta tangente y el eje focal”. Notas. 1. Para la parábola:

𝓟: (𝒚 − 𝒌) = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) La ecuación de la recta tangente 𝑳𝑻 a la parábola 𝓟 en el punto de tangencia (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ), está dada por: 𝟐

𝑳𝑻: (𝒚𝟎 − 𝒌)(𝒚 − 𝒌) = 𝟒𝒑 (

𝒙 + 𝒙𝟎 − 𝒉) 𝟐

2. La recta normal 𝑳𝑵 a la parábola 𝒫: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 en el punto de tangencia 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑦0 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 2𝑝

es una recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto y tiene por ecuación:

Entonces:

𝐿𝑁 : 𝑦 = −

𝑚𝐿𝑁 = −

𝑦0 𝑦0 1 (2𝑝, −𝑦0 ) → 󰇍𝑏𝐿𝑁 = (1, 𝑚𝐿𝑁 ) = (1, − ) = 2𝑝 2𝑝 2𝑝

Así, un vector direccional de 𝑳𝑵 es:

󰇍󰇍 𝑳𝑵 = (𝟐𝒑, −𝒚𝟎) 𝒂

󰇍󰇍 3. Radio vector o vector focal de la parábola:󰇍󰇍𝒃 = 󰇍𝑷𝑭 Sea:

󰇍𝒂󰇍 : Vector paralelo al eje focal de la parábola 󰇍𝒂󰇍 𝑳𝑵 : Vector direccional de 𝐿𝑁 .

𝜶: Ángulo formado por 𝑎 y 𝑎𝐿𝑁 .

󰇍󰇍󰇍 . 𝜷: Ángulo formado por 𝑎𝐿𝑁 y 𝑏󰇍 = 󰇍󰇍𝑃𝐹

Entonces:

𝜶=𝜷

Teorema. La recta normal a una parábola en cualquier punto 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) es bisectriz del ángulo determinado por el radio vector y la recta que pasa por 𝑃0 y es paralela al eje de la parábola.

PROBLEMA 06. Desde el punto 𝐴 = (−2,2) se trazan dos rectas tangentes a la parábola

𝓟: (𝒙 − 𝟑)𝟐 = −𝟓(𝒚 − 𝟒). Hallar las ecuaciones de estas rectas y el punto en que estas

intersecan al eje focal de la parábola.

Solución

Consideremos que la recta tangente 𝐿 𝑇 deseada tiene pendiente 𝑚, entonces: 𝐿 𝑇 : 𝑦 − 2 = 𝑚(𝑥 + 2) → 𝑦 = 𝑚(𝑥 + 2) + 2 … (𝟏)

Reemplazando (1) en la ecuación de la parábola:

(𝒙 − 𝟑)𝟐 = −𝟓[𝑚(𝑥 + 2) + 2 − 𝟒] → (𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟓𝒎(𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟎 = 𝟎

→ 𝒙𝟐 + (𝟓𝒎 − 𝟔)𝒙 + 𝟏𝟎𝒎 − 𝟏 = 𝟎 … (𝟐) → ∆= (𝟓𝒎 − 𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟎𝒎 − 𝟏) → ∆= 𝟐𝟓(𝒎 − 𝟐)𝟐 − 𝟔𝟎

Teoría. Existe recta tangente si ∆= 𝟎, entonces:

) (𝒙 + 𝟐) + 𝟐 𝟓 𝟓˅ ˅ 𝟐√𝟏𝟓 → 𝟐√𝟏𝟓 𝒎 =𝟐+ 𝑳𝑻: 𝒚 = (𝟐 + 𝟐√𝟏𝟓 𝟐√𝟏𝟓 (𝟏) 𝟐 𝑳𝑻: 𝒚 = (𝟐 − 𝟐𝟓(𝒎 − 𝟐) − 𝟔𝟎 = 𝟎 → 𝒎 = 𝟐 − ) ( 𝒙 + 𝟐) + 𝟐 𝟓 𝟓 𝟒√𝟏𝟓 𝟐√𝟏𝟓 ) 𝒙 + 𝟔 + 𝟓 𝑳𝑻: 𝒚 = (𝟐 + 𝟓 ˅ → 𝟐√𝟏𝟓 𝟒√𝟏𝟓 𝑳𝑻: 𝒚 = (𝟐 − )𝒙 + 𝟔 − 𝟓 𝟓

Determinación de los puntos de tangencia:

𝑷𝟎: En la relación (2) reemplazamos los valores de 𝒎: 𝒙𝟐 + [𝟓 (𝟐 −

𝟐√𝟏𝟓 𝟐√𝟏𝟓 ) − 𝟔] 𝒙 + 𝟏𝟎 (𝟐 − )−𝟏=𝟎 𝟓 𝟓

→ 𝒙𝟐 + [𝟏𝟎 − 𝟐√𝟏𝟓 − 𝟔]𝒙 + 𝟐𝟎 − 𝟒√𝟏𝟓 − 𝟏 = 𝟎

→ 𝒙𝟐 + (𝟒 − 𝟐√𝟏𝟓)𝒙 + 𝟏𝟗 − 𝟒√𝟏𝟓 = 𝟎 → 𝒙 = √𝟏𝟓 − 𝟐 → 𝒚 = (𝟐 −

Luego:

𝟐√𝟏𝟓 𝟒√𝟏𝟓 ) (√𝟏𝟓 − 𝟐) + 𝟔 − = 𝟐√𝟏𝟓 − 𝟒 𝟓 𝟓 𝑷𝟎 = (√𝟏𝟓 − 𝟐, 𝟐√𝟏𝟓 − 𝟒)

𝑸𝟎: En la relación (2) reemplazamos los valores de 𝒎: 𝒙𝟐 + [𝟓 (𝟐 +

𝟐√𝟏𝟓 𝟐√𝟏𝟓 )−𝟏=𝟎 ) − 𝟔] 𝒙 + 𝟏𝟎 (𝟐 + 𝟓 𝟓

→ 𝒙𝟐 + [𝟏𝟎 + 𝟐√𝟏𝟓 − 𝟔]𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝟒√𝟏𝟓 − 𝟏 = 𝟎

→ 𝒙𝟐 + [𝟒 + 𝟐√𝟏𝟓]𝒙 + 𝟏𝟗 + 𝟒√𝟏𝟓 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐 − √𝟏𝟓

→ 𝒚 = − (𝟐 +

Luego:

𝟐√𝟏𝟓 𝟒√𝟏𝟓 = −𝟒 − 𝟐√𝟏𝟓 ) (𝟐 + √𝟏𝟓) + 𝟔 + 𝟓 𝟓

𝑸𝟎 = (−𝟐 − √𝟏𝟓, −𝟒 − 𝟐√𝟏𝟓)

PROBLEMA N° 07. El foco de una parábola está sobre la recta 𝑳𝟏: 𝒙 − 𝟐 = 𝟎; hallar su ecuación sabiendo que su eje es la recta 𝑳𝟐: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎 y su vértice es 𝑽 = (𝟒, 𝟒). Solución

De la figura:

𝐹 = 𝐿1 ∩ 𝐿2 = (2,3) Luego:

𝓟: 𝒚′ = 𝟒𝒑𝒙′: 𝒑 < 𝟎 𝟐

Determinación de 𝒑:

𝑝 = 𝑑(𝑉, 𝐹 ) = √5

Luego:

𝓟: 𝒚′ = −𝟒√𝟓𝒙′ … (𝟏) 𝟐

Determinación del vector de rotación 󰇍𝒖 :

El eje X’ sigue la dirección de la recta 𝐿2 , entonces: 󰇍𝒏𝑳𝟐 = (𝟏, −𝟐)

󰇍󰇍𝒂𝑳𝟐 = (𝟐, 𝟏)

→

→

󰇍𝒖 = (

Transformación de la ecuación vectorial (1) al sistema XY:

𝟐

,

𝟏

√5 √5

)

Ecuaciones de transformación: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒙′ 𝒖 𝑽𝑷 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥

󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ ⇔ (𝒙 − 𝟒, 𝒚 − 𝟒) = 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍⊥ ⇔ 𝑷 = 𝑽 + 𝒙′ 𝒖

𝟐 𝟏 𝒙′ = (𝒙 − 𝟒, 𝒚 − 𝟒). ( , ) = (𝒙 − 𝟒, 𝒚 − 𝟒).󰇍󰇍𝒖 √5 √5 ⇰ {′ ⇰ ⊥ 𝟏 𝟐 𝒚 = (𝒙 − 𝟒, 𝒚 − 𝟒).󰇍󰇍𝒖 , ) 𝒚′ = (𝒙 − 𝟒, 𝒚 − 𝟒). (− { √5 √5 𝒙′

⇰

𝒙′ =

{

𝒚′ =

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟐 √5 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟒 √5

𝟏

⇒ (

𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟒 √5

𝟐

) = −𝟒√𝟓 (

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟐 ) √5

→ (𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟒)𝟐 = −𝟐𝟎(𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟐) ≡ 𝟒𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟖𝒙 + 𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟐𝟒𝟎

Luego:

𝓟: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟐𝟒

PROBLEMA N° 08. Encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑷𝟎 = (𝟓, 𝟔) a la parábola 𝓟: 𝒙𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟎. hallar además la ecuación de la recta normal en

dicho punto.

Entonces:

𝒫:

𝑥2

− 8𝑦 − 2𝑥 + 33 = 0 ↔ 𝒫: (𝑥 − 1)2 = 8(𝑦 − 4)

𝐿 𝑇 : (𝑥0 − 1). (𝑥 − 1) = 8 ( Así:

Solución

𝑦0 + 𝑦 2

− 4) → 𝐿𝑇 : (5 − 1). (𝑥 − 1) = 8 (

𝐿𝑇: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

6+𝑦 − 4) 2

Determinación de la recta normal: 𝑷𝟎 =(𝟓,𝟔)∈𝑳𝑵

Entonces:

𝐿𝑇: 𝑥 + 𝑦 + 𝑐 = 0 →

5 + 6 + 𝑐 = 0 → 𝑐 = −11

𝐿𝑁 : 𝑥 + 𝑦 + 11 = 0

PROBLEMA N° 09. Encontrar la ecuación de una parábola y de su directriz, sabiendo que las componentes del vector direccional del eje focal son positivas y los extremos de su lado recto son los puntos 𝑹 = (−𝟗, 𝟏𝟐) y 𝑹𝟏 = (𝟕, 𝟎) . Solución

Determinación del foco: 𝐹=

𝑅 + 𝑅1 = (−1, 6) → 𝐹 = (−1, 6) 2

Determinación de la recta 𝐿 que contiene al eje X’: Se conoce de 𝐿: 𝑚𝐿 = −

4 1 1 ˄ 𝑃𝑜 = 𝐹 = (−2,6) → 𝐿: 4𝑥 − 3𝑦 + 22 = 0 =− = 3 3 𝑚𝑅𝑅1 −4

: Determinación del vector de rotación 𝒖 󰇍

𝟑 󰇍󰇍 4 (3, 4) → 𝒖 = ( 𝟒 ) = (1, 𝑚𝐿 ) = (1, ) = 1 3 ,𝟓 𝟓 3 Determinación del parámetro de la parábola: 󰇍 𝒂

𝐿

𝑑 (𝑅, 𝑅1 ) = |4𝑝| ↔ 20 = |4𝑃| → 𝑝 = −5

Ecuación vectorial de la parábola:

𝓟: 𝒚′ = −𝟐𝟎𝒙′ … (𝟏) 𝟐

Determinación del vértice de la parábola:

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 5𝑢󰇍 = (3,4) ↔ 𝑉 − 𝐹 = (3,4) 𝐹𝑉

→ 𝑉 = (2, 10)

Transformación de la ecuación vectorial (1) al sistema XY: Ecuaciones de transformación: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ 𝑽𝑷 = 𝒙′ 𝒖

⇔ 𝑷 = 𝑽 + 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍 ⊥ ⇔ (𝒙 − 𝟐, 𝒚 − 𝟏𝟎) = 𝒙′󰇍󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥

𝟑 𝟒 𝒙′ = (𝒙 − 𝟐, 𝒚 − 𝟏𝟎). ( , ) 𝒙′ = (𝒙 − 𝟐, 𝒚 − 𝟏𝟎)󰇍󰇍. 𝒖 𝟓 𝟓 ⇰ {′ ⇰ { 𝟒 𝟑 𝒚 = (𝒙 − 𝟐, 𝒚 − 𝟏𝟎). 󰇍󰇍𝒖⊥ 𝒚′ = (𝒙 − 𝟐, 𝒚 − 𝟏𝟎). (− , ) 𝟓 𝟓

𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒𝟔 𝟏 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝟐 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒𝟔 5 ⇒ ( ) ) = −𝟐𝟎 ( ⇰ { 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝟐 5 5 ′ 𝒚 = 5 𝒙′ =

→ (𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐 = −𝟏𝟎𝟎(𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒𝟔)

≡ 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝟒 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟑𝟐𝒚 + 𝟏𝟕𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎𝒚 = 𝟒𝟔𝟎𝟎 Luego:

𝓟: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟒𝟕𝟔𝒙 + 𝟐𝟔𝟖𝒚 = 𝟒𝟏𝟏𝟔

La ecuación vectorial de la directriz está dada por: 𝐿: 𝑥 ′ = |𝑝|

→

𝐿: 𝑥 ′ = 5 … (2)

Transformación de la ecuación vectorial de la directriz al sistema XY: Se sabe que:

𝒙′ =

𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒𝟔 5

(𝟐) 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟒𝟔 → =5 5

→ 𝐿: 3𝑥 + 4𝑦 = 71

PROBLEMA N° 10. Uno de los extremos del lado recto de una parábola 𝓟, de vértice 𝑉 = (−1, 5), es el punto 𝑩 = (𝟏𝟎, 𝟑). Si 𝑳𝑻 es la recta tangente a la parábola en un punto 𝑷𝟎, que está en la mitad superior de la parábola, corta al eje focal en el punto 𝑸 = (−𝟐𝟖, −𝟑𝟏). Determinar:

a) Las coordenadas del foco y del punto 𝑃0 . b) Las ecuaciones vectoriales de la parábola y de la recta tangente 𝐿 𝑇 , respectivamente. Solución

Dato: 𝐿 𝑇 corta al eje de la parábola en el punto 𝑄, entonces, la ecuación de la recta 𝐿 que contiene al eje X’ se puede determinar por la forma dos puntos. Así: 𝑽∈𝑳 ˄ 𝑸∈𝑳

→

𝑳: 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟏𝟗 = 𝟎

Determinación del otro extremo 𝑹′ , del lado recto. 𝑅′ es el simétrico de 𝑅 con respecto

a 𝐿, entonces:

Determinación del foco:

𝑹′ = (−𝟔, 𝟏𝟓)

𝑹 + 𝑹′ = (𝟐, 𝟗) → 𝑭 = (𝟐, 𝟗) 𝟐 Determinación del parámetro de la parábola: 𝑭=

Ecuación vectorial de la parábola:

𝑝 = 𝑑(𝐹; 𝑉 ) = 5

𝓟: 𝒚′𝟐 = 𝟐𝟎𝒙′ … (𝟏)

Determinación del vector de rotación 󰇍𝒖:

𝟑 𝟒 󰇍𝒏󰇍 𝐿 = (4, −3) → 󰇍𝒂𝐿 = (3, 4) → 󰇍𝒖 = ( , ) 𝟓 𝟓

Transformación de la ecuación vectorial de la parábola al sistema XY: Ecuaciones de transformación: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝒙′ 𝒖 𝑽𝑷 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥

⇔ 𝑷 = 𝑽 + 𝒙′ 𝒖 󰇍 + 𝒚′ 𝒖 󰇍󰇍 ⊥ ⇔ (𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟓) = 𝒙′󰇍𝒖 + 𝒚′ 𝒖 󰇍⊥

𝟑 𝟒 𝒙′ = (𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟓). ( , ) 𝒙′ = (𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟓).󰇍󰇍𝒖 𝟓 𝟓 ⇰ {′ ⊥ ⇰ { 𝟒 𝟑 ( ) 󰇍󰇍 𝒚 = 𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟓 . 𝒖 𝒚′ = (𝒙 + 𝟏, 𝒚 − 𝟓). (− , ) 𝟓 𝟓

𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟕 𝟏 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟗 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟕 5 ⇒ ( ) = 𝟐𝟎 ( ⇰ { ) 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟗 5 5 𝒚′ = 5 𝒙′ =

→ (𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟗)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎(𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟕)

≡ 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝟏 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟏𝟒𝒚 + 𝟏𝟓𝟐𝒙 − 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟒𝟎𝟎𝒚 = −𝟏𝟕𝟎𝟎 Luego:

𝓟: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝟖𝒙 − 𝟓𝟏𝟒𝒚 + 𝟐𝟎𝟔𝟏 = 𝟎

PROBLEMA N° 11. La recta tangente 𝐿 𝑇 a la parábola 𝓟: 𝑦 2 − 8𝑦 − 4𝑥 + 20 = 0 en el

punto 𝑃 = (5, 8) determina con los ejes coordenados un triángulo 𝑇1 y; con la perpendicular trazada desde 𝑃 al eje Y, un triángulo 𝑇2. Hallar la suma de las áreas de estos triángulos, la ecuación de 𝐿 𝑇 , el vértice y foco de la parábola. Solución

Escribiendo la ecuación de la parábola en su forma ordinaria:

Luego:

ℎ=1 𝓟: (𝑦 − 4)2 = 4(𝑥 − 1) ↔ 𝓟: (𝑦 − 𝑘 )2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) → 𝑘 = 4 𝑝=1 𝑉 = (1,4) ˄ 𝐹 = (2,4)

Determinación de la ecuación de la recta tangente 𝑳𝑻:

Teoría:

“El vértice de la parábola es el punto medio entre el pie de la perpendicular trazada desde el punto de tangencia y el eje focal de la parábola y, el punto de intersección de la recta tangente y el eje focal”. Entonces:

Así:

𝑉=

𝐶 + 𝑃′ → 𝐶 = 2𝑉 − 𝑃′ = (2, 8) − (5,4) = (−3,4) → 𝐶 = (−3,4) 2 𝐶 ∈ 𝐿 𝑇 ˄ 𝑃 ∈ 𝐿𝑇

→

𝐿 𝑇 : 𝑥 − 2𝑦 + 11 = 0

Determinación de la suma de las áreas de los triángulos:

𝐴 = (−11,0) . 11 𝐴 = (𝑎, 0) ∈ 𝐿 𝑇 𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 11 2 121 2 ˄ ˄ = → Á𝑟𝑒𝑎 𝑇1 = → = 𝑢 11 2 2 4 𝐵 = (0, 𝑏) ∈ 𝐿 𝑇 ) 𝐵 = (0, 2

Luego, en el triángulo 𝑇2, tenemos:

11 5 5 .5 𝑏𝑎𝑠𝑒 = |𝐵𝐷| = 8 − = 25 2 2 → Á𝑟𝑒𝑎 𝑇 = 2 𝐷 = (0,8); = 𝑢2 2 ˄ 2 4 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = |𝐷𝑃| = 5

Entonces:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑇1 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑇2 = (

121 25 73 2 𝑢 + )= 2 4 4

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PARÁBOLAS

PROBLEMA N° 01. Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos 𝑴 = (−𝟗, 𝟏𝟐) y 𝑵 = (𝟕, 𝟎); hallar su ecuación vectorial y la de su directriz, si se sabe que las componentes del vector direccional del eje focal son positivas. PROBLEMA N° 02. Determinar si la ecuación:

𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 − 𝟖𝟐𝒚 + 𝟒𝟖𝟏 = 𝟎

Corresponde o no a una parábola. Exprese analíticament...