Ecuaciones Diferenciales, Isabel Carmona Jover, Quinta Edición PDF

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Ecuaciones Diferenciales, Isabel Carmona Jover, Quinta Edición Ángel Rogd

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Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales

REVISIÓN TÉCNICA

María de Jesús Rivera Flores Instituto Tecnológico de Hermosillo Félix Rodrigo Villegas Valenzuela Instituto Tecnológico de Sonora Jorge Sierra Cavazos Ruth Rodríguez Gallegos Salvador García Lumbreras Víctor Segura Flores Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey José Manuel Nieto Jalil Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Sonora Norte

Addison-Wesley

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Isabel Carmona Jover Ernesto Filio López

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Datos de catalogación bibliográfica

Ecuaciones diferenciales Isabel Carmona Jover, Ernesto Filio López Quinta edición Pearson Educación, México, 2011 ISBN: 978-607-32-0206-0 Área: Matemáticas Formato: 20 × 25.5 cm.

Páginas: 536

Rubén Fuerte Rivera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Juan José García Guzmán QUINTA EDICIÓN, 2011 D.R. © 2011 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto, CP 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-0206-0 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0207-7 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0208-4 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10

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Editor:

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Prólogo a la cuarta edición

PLATÓN: “TIMEO”

Desde tiempo inmemorial, la matemática ha ejercido una fascinación especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella toma partido, a favor o en contra: a favor por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitución; en contra, por sentirse, quizás, ante una tarea superior a las propias fuerzas. Voy a decir algo a aquellas personas que piensan que la matemática no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemática posee, a su vez, tal armonía, proporción, exactitud y belleza que se identifica con la “música de las esferas”, citando libremente a Pitágoras. El libro que está en sus manos en este momento pretende presentarle una introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de la matemática sumamente útil y aplicable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferenciales. El texto contiene la exposición y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. También se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los métodos de series y transformadas de Laplace. El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a prueba su aptitud y, cuando resuelva los de opción múltiple, podrá aquilatar la precisión del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada capítulo contiene un resumen y un examen de autoevaluación; este último con un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensión del texto. Además, en esta quinta edición, aparecen algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando Matemáticas 7, incorporando soluciones gráficas. Se ha procurado rodear a cada capítulo de un ambiente humanístico mediante biografías, comentarios, curiosidades y pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el cálculo diferencial e integral.

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El mundo es, en todas sus partes, una aritmética viviente en su desarrollo, y una geometría realizada en su reposo.

www.elsolucionario.net Prólogo a la cuarta edición

Este libro nació, creció y salió a la luz gracias a la colaboración de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia. Cada uno de ellos aportó lo que a su área competía. Especialmente agradezco al licenciado Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al doctor Christian Garrigoux Michel por su participación en la redacción de las biografías. Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo disfrute y le sea útil en su formación profesional y en su trabajo.

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vi

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Vivimos en un planeta que necesita renovarse para alcanzar las metas de plenitud que por impulso interior tiene que alcanzar. El libro que tiene usted en sus manos ha madurado a través de los años, ayudando a muchas personas a comprender un poco mejor los temas que trata. La revisión efectuada tiene por objetivo agregar algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando el software Mathematica e incorporando soluciones gráficas. Se busca favorecer la rápida aproximación de las gráficas y así obtener el esquema exacto de los fenómenos de movimiento que se presentan en el área de ingeniería. También, una vez que se haya expuesto la teoría para la comprensión de los temas y se hayan resuelto algunos ejemplos, se presentan los comandos necesarios para resolver otros ejercicios. Se añadieron, asimismo, algunos conceptos y se corrigieron aspectos señalados por los profesores para que el aprendizaje sea eficaz, sin perder por ello la riqueza didáctica e incluso amena que se procuró desde el primer momento. Agradecemos la colaboración del doctor Jorge Sierra Cavazos y del doctor Salvador García Lumbreras en la revisión del texto, cuyo esfuerzo significa una invaluable aportación. También damos las gracias a la casa editorial Pearson Educación que tan amablemente nos brindó su apoyo y confianza. ISABEL CARMONA JOVER VÍCTOR SEGURA FLORES

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Prólogo a la quinta edición

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1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior

5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series

7 Transformadas de Laplace

8 Series de Fourier

9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales

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Estructura lógica de los capítulos

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Prólogo a la cuarta edición

v

Prólogo a la quinta edición

vii

Estructura lógica de los capítulos

ix

CAPÍTULO

1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? ¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Definiciones básicas Existencia y unicidad de las soluciones

CAPÍTULO

CAPÍTULO

1 2 3 27

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

37

Ecuaciones diferenciales de variables separables Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales con factores integrantes Ecuaciones diferenciales lineales

39 47 54 65 73

3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Geometría Ecuación de Bernoulli Ecuación de Lagrange Ecuación de Clairaut Química Biología Física

91 92 108 111 113 117 122 126

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Contenido

www.elsolucionario.net Contenido

CAPÍTULO

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Introducción Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden Ecuaciones diferenciales lineales Principio de superposición o linealidad Dependencia e independencia lineal Wronskiano Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes Ecuación de Cauchy-Euler Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden Método de coeficientes indeterminados para obtener yp

CAPÍTULO

5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Aplicaciones geométricas Osciladores Oscilaciones forzadas Caída libre y leyes de movimiento Circuitos eléctricos Flexión de vigas Otras aplicaciones

CAPÍTULO

6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Introducción Pruebas de convergencia de series Desarrollo de una función en series Operaciones con series de potencias Puntos notables Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos ordinarios, usando series de potencias Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares Método de Frobenius. Ecuación indicial Ecuación de Bessel

145 146 146 151 153 154 156 167 167 170 179 185 186

215 216 220 221 225 229 232 239

247 248 249 262 269 273 280 290 291 315

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xii

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7 Transformadas de Laplace Introducción Transformada inversa de Laplace Traslación sobre el eje s Existencia de la transformada Propiedades de la transformada de Laplace Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace usando fracciones parciales Derivación de transformadas Integración de las transformadas Función escalón unitario Traslación sobre el eje t Funciones periódicas Convolución Aplicaciones de la transformada de Laplace

CAPÍTULO

8 Series de Fourier Introducción Series trigonométricas y funciones periódicas Fórmulas de Euler Convergencia de las series de Fourier Series de Fourier para las funciones pares e impares Funciones de periodo arbitrario Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier

CAPÍTULO

9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales Método de Euler

335 336 341 342 346 354 363 375 376 385 390 403 405 414

429 430 430 440 450 467 474 482

499 500

Bibliografía

515

Índice analítico

517

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CAPÍTULO

xiii

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Georg Friedrich Riemann (1826-1866)

¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Definiciones básicas Existencia y unicidad de las soluciones

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1

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

www.elsolucionario.net Capítulo 1

__ _ __ _ __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ __ _

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Lo que precede en el ladillo escrito en clave Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos queremos oír: es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un ascenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio en cualquier aspecto de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de la cuarta dimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia. Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.

¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Hay dos maneras de aprender a patinar sobre hielo. Primera: En una librería se compra uno de los siguientes manuales: Cómo dominar el patinaje en 15 lecciones; Patinar y rascar, todo es empezar; Historia del patinaje sobre hielo en el Paleolítico y sus repercusiones en el mundo moderno; Agarre su patín; El patín, su constitución, desarrollo y reforzamiento, con bibliografía e ilustraciones a todo color; se va uno a casa se instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura sin olvidar tomar apuntes, hacer análisis comparativos y aplicar el cálculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegará un momento en el que ya está uno totalmente capacitado para estrenar los patines —regalo de la abuelita—, momento, repito, en el que quizá ya sufrió uno su primer reuma. Segunda: se toma el par de patines y amparándose en el instinto de conservación se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos rotos. Así se aprenden muchas cosas: haciéndolas. Para resolver una ecuación diferencial primero hay que identificarla y después arriesgarse en su solución. Una realidad dinámica se caracteriza por sus cambios, los cuales se controlan en cálculo por medio de derivadas o diferenciales, por lo que una ecuación que contiene derivadas o diferenciales es una ecuación diferencial. Ya identificada intentemos integrarla, y si eso no resulta como un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial d2y =x dx 2

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2

www.elsolucionario.net Definiciones básicas

3

estamos ante una ecuación diferencial que contiene una segunda derivada, por lo que la llamamos de segundo orden. Si integramos d2y d ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ =x ⇒ ⎜⎝ ⎟⎠ = x ⇒ d ⎜⎝ ⎟⎠ = xdx ⇒ 2 dx dx dx dx

⎛ dy ⎞

∫ d ⎜⎝ dx ⎟⎠ = ∫ xdx

2 ⇒ dy = x + c 1 dx 2

Y volvemos a integrar ⎛ x2 ⎞ dy x 2 = + c1 ⇒ dy = ⎜ + c1 ⎟ dx ⇒ ⎝ 2 ⎠ dx 2

⎛ x2 ⎞ x3 dx dy = + c ⇒ y = + c1 x + c2 ∫ ∫ ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ 6

⎞ x2 d ⎛ x3 c x c + + 1 2 ⎟⎠ = 2 + c1 dx ⎜⎝ 6 ⎞ d ⎛ x2 + c1 ⎟ = x ⎜ ⎠ dx ⎝ 2 Por lo que d2y =x dx 2 El resultado nos convence de la exactitud del método empleado. Así, en este capítulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferenciales y el método geométrico para obtener soluciones.

Definiciones básicas Definición 1.1 Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales.

Definición 1.2 Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden contenida en la ecuación.

Definición 1.3 Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.

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Obtenemos una función-solución que podemos comprobar al instante con sólo derivarla dos veces:

www.elsolucionario.net Capítulo 1

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Clasificación de las ecuaciones diferenciales ⎧ La ecuación diferencial contiene derivadas de ⎪ ⎨ una o más variables dependientes con respecto ⎪ ⎩ a una sola variable independiente.

⎧ ⎪ Ordinarias ⎪ ⎪ Tipo ⎨ ⎪ ⎪ Parciales ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ Primer orden ⎪ Segundo orden ⎪ ⎪ Tercer orden Orden ⎨ ⭈ ⎪ ⭈ ⎪ ⭈ ⎪ Orden n ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ Lineales Grado ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ No lineales ⎩

La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. F(x, y, y⬘) ⫽ 0 F(x, y⬘, y⬙) ⫽ 0 F(x, y, y⬘, y⬙, y⵮) ⫽ 0 ⭈ ⭈ ⭈ F(x, y, y⬘, …, yn) ⫽ 0

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4

⎧ a) La variable dependiente y y todas sus ⎪ derivadas son de primer grado. ⎪ ⎨ b) Cada coeficiente de y y sus derivadas ⎪ depende solamente de la variable ⎪ independiente x. ⎩

{ Las que no cumplen las propiedades anteriores.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial

Tipo

Orden

Grado

Lineal

dy = 2e − x dx

Ordinaria

1

1

Sí

∂y ∂y ∂x + kx − = ∂s ∂t ∂t

Parcial

1

1

Sí

x 2 y′′ + xy′ + y = 0

Ordinaria

2

1

Sí

yy′′ + x 2 y = x

Ordinaria

2

1

No

∂y ∂ 2 y =c + ∂t ∂s 2

Parcial

2

1

Sí

Ordinaria

2

1

Sí

x2

dy d2y + x + ( x 2 − v2 ) y = 0 2 dx dx

(Continúa)

www.elsolucionario.net Definiciones básicas

5

(Continuación)

Ecuación diferencial

(y )

v 3

− y′′′ + y′′ − y 2 = 0

y′ + y =

Orden

Grado

Lineal

Parcial

4

1

No

Ordinaria

5

3

No

x y

Ordinaria

1

1

No

sen y′ + y = 0

Ordinaria

1

?

No

EJERCICIOS 1.1 Elegir la opción que da la clasificación correcta de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y′′ + xyy′ = sen x a. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal. b. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. c. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. d. Ordinaria, orden 3, grado −1, no lineal. 2. c 2 a. b. c. d.

∂5 x ∂ 2 y = cte + ∂t 5 ∂r 2 Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal. Parcial, orden 5, grado 1, lineal. Parcial, orden 2, grado 2, no lineal. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.

3. x 3 yy′′′ − x 2 yy′′ + y = 0 a. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. b. Parcial, orden 2, grado −1, no lineal. c. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. d. Parcial, orden 1, grado 1, lineal. 4. y′′ + 2 x 3 y′ − ( x − 1) y = xy3/ 2 a. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. b. Parcial, orden 2, grado 32 , no lineal. c. Ordinaria, orden 3, grado 32 , no lineal. d. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. e. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.

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⎛ ∂2 m ⎞ ∂4 v = kv ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ ∂n ⎠ ∂t

Tipo

2

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¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

2

∂2u x ⎛ ∂u ⎞ 5. ⎜ ⎟ + 2 = ⎝ ∂x ⎠ y ∂y a. b. c. d.

Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal. P...