Ejerc resuelto conexos libro Iribarren PDF

Preview

Summary

EJERCICIOS RESUELTOS...

Description

5.1 Sea (E, d) un espació métrico y A y B subconjuntos de E. Demuéstrese que 1. si A y B son disjuntos y ambos cerrados, entonces están separados. 2. si A y B son disjuntos y ambos abiertos, entonces están separados. Dificultad [2]

Solución 1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(A) y B = adh(B ), y por tanto, A ∩ adh(B) = adh(A) ∩ B = A ∩ B = ∅. Así, pues, A y B están separados. 2.a (Primera demostración). Sean, ahora, A y B disjuntos y abiertos; probaremos que A ∩ adh(B) = ∅ mostrando que ningún punto de la adherencia de B puede pertenecer también a A. En efecto, si x ∈ adh(B) entonces para todo r > 0, la bola abierta B(x, r) tiene intersección no vacía con B; es decir B(x, r) ∩ B 6= ∅

para todo

r>0

y por tanto, B(x, r) 6⊂ A para todo

r>0

puesto que A y B son disjuntos. Así, pues, x 6∈ int(A) y, como A es abierto, A = int(A) y x 6∈ A. Así, pues, A ∩ adh(B) = ∅; de forma análoga se prueba que adh A ∩ B = ∅. y concluímos que A y B están separados. 2.b (Segunda demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos y pongamos F = A ∪ B. Puesto que A = A ∩ F , A es abierto en (F, d) por ser intersección de un abierto en (E, d) con F . Del mismo modo, B es abierto en (F, d ) y por lo tanto A yB están separados. separados (Teorema 5.1.3). 2.c (Tercera demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos; entonces F = A ∪ B es abierto en (E, d ). Por lo tanto, A y B son disjuntos y abiertos en (F, d) (Teorema 3.3.3), luego están separados (Teorema 5.1.3).

5.2 Sea (E, d) un espacio métrico y A y B dos subconjuntos separados. Demuéstrese que 1. si A ∪ B es abierto, entonces A y B son abiertos; 2. si A ∪ B es cerrado, entonces A y B son cerrados. Dificultad [1]

Solución Sea F = A ∪ B . 1. Puesto que A y B están separados, son abiertos en (F, d) y, puesto que F es abierto por ser unión de abiertos, también A y B son abiertos en (E, d ) 2. Similar, mutatis mutandis.

5.4 Proporcionar un ejemplo que revele que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. Solución En (R2 , d 2 ) considérense los conjuntos A = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y2 ≤ 1} y B = {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y2 ≤ 1} Entonces A ∪ B es un conjunto conexo (compruébese) y, sin embargo, int(A ∪ B) = B ((−1, 0), 1) ∪ B ((1, 0), 1) que no es conexo por ser unión de abiertos disjuntos.

5.5 Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y cerrados. Probar que si A ∪ B y A ∩ B son conexos, entonces A y B son conexos. Compruébese mediante un ejemplo que si A y B no son cerrados, entonces la afirmación anterior puede ser falsa. Dificultad [3] Solución Por reducción al absurdo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A no es conexo. Entonces A=S∪T con S 6= ∅, T 6= ∅ y S|T . Ahora A ∩ B = (S ∪ T ) ∩ B = (S ∩ B ) ∪ (T ∩ B ) y puesto que (S ∩ B )|(T ∩ B) uno de ellos, o ambos, debe ser vacío porque en caso contrario A ∩ B no sería conexo. Pongamos, entonces, que S ∩ B = ∅ (de forma similar se haría si T ∩ B = ∅), entonces A ∪ B = (S ∪ T ) ∪ B = S ∪ (T ∪ B) y veamos que S|(T ∪ B). En efecto, por una parte se tiene que S yT son cerrados en (A, d) y, puesto que A es cerrado, también S y T son cerrados en (E, d ). Así que S y T ∪ B son cerrados en (E, d ). Además S ∩ (T ∪ B) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ B) = ∅ con lo que A ∪ B es unión de cerrados no vacíos y disjuntos y, por lo tanto, no conexo en contra de la hipótesis. Tómese A = [0, 1) ∪ [2, 3]

y

B = [1, 3].

A es no conexo y, sin embargo, A ∪ B = [0, 3] y A ∩ B = [2, 3] son conexos.

5.6 Sean A y B subconjuntos conexos de (E, d) y A ⊂ B. Si C es abierto y cerrado en el subespacio (B \A, d ), demostrar que A ∪ C es conexo. Dificutlad [4]

Solución Si C = ∅ o C = B \ A la proposición es evidentemente cierta. Sea, pues, C 6= ∅ y C 6= B \ A y supongamos que A ∪ C no es conexo. Entonces, A∪C = S ∪T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, deberá ser A ⊂ S o A ⊂ T . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ S; entonces T ⊂ C . Llamemos ahora M al complementario de C en B \ A. Es decir B\A=C ∪M con C ∩ M = ∅. Naturalmente C y M son no vacíos y están separados porque, por hipótesis, ambos son abiertos y cerrados en B \ A, de manera que T y M están separados porque T ⊂ C . Ahora se tiene que B = (B \ A) ∪ A = (C ∪ M ) ∪ A = M ∪ (A ∪ C) = M ∪ S ∪ T = (M ∪ S) ∪ T, y T y M ∪ S son no vacíos y separados porque T está separado de M y de S. Así, B no es conexo en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.

5.7 Probar que si A y B son subconjuntos conexos de (E, d) no disjuntos, entonces A ∪ B es conexo. Dificultad [2]

Solución (Primera resolución) Puesto que A ∩ B 6= ∅, A y B no están separados, de aquí que A ∪ B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A ∪ B no es conexo. Entonces A∪B = S ∪T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A ⊂ S o bien A ⊂ T ; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ T . Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B ⊂ S o bien B ⊂ T , pero si fuera B ⊂ S, entonces T sería vacío, así que debe ser B ⊂ T . Pero entonces A ⊂ S y B ⊂ T , de manera que A y B estarían separados y A ∩ B = ∅, en contra de la hipótesis.

5.8 Si A y B con conjuntos conexos y A ∩ B 6= ∅ entonces A ∪ B es conexo. Dificultad [2]

Solución (Primera resolución) Puesto que A ∩ B 6= ∅, A y B no están separados, de aquí que A ∪ B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A ∪ B no es conexo. Entonces A∪B = S ∪T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A ⊂ S o bien A ⊂ T ; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ T . Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B ⊂ S o bien B ⊂ T , pero si fuera B ⊂ S, entonces T sería vacío, así que debe ser B ⊂ T . Pero entonces A ⊂ S y B ⊂ T , de manera que A y B estarían separados y A ∩ B = ∅, en contra de la hipótesis.

5.9 Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos conexos y Ai ∩ Ai+1 6= ∅

i = 1, 2, . . . , n − 1

Demostrar que n [

Ai

i=1

es conexo. Dificultad [2]

Solución Puesto que A1 ∩ A2 6= ∅ y ambos son conexo, se tiene que A1 ∪ A2 es conexo. Por la misma razón, puesto que (A1 ∪ A2 ) ∩ A3 6= ∅ y ambos son conexos, se tiene que A1 ∪ A2 ∪ A3 es conexo. Por recurrencia, pues, es trivial ver que n [

Ai

i=1

es conexo.

5.11 En el plano, cualquier segmento es un conjunto conexo. Mostrar que el conjunto de puntos del plano con, al menos una coordenada irracional es conexo.

Solución (Una demostración) Para cada a ∈ R − Q, consideremos las rectas Ra = {(a, y) : y ∈ R} y

Sa = {(x, a) : x ∈ R}.

Ambos conjuntos son conexos y, además, Ra ∩ Sa = (a, a), de manera que el conjunto Ca = {(a, y) : y ∈ R} ∪ {(x, a) : x ∈ R} es conexo. Además, para cualquier a ∈ R − Q, se tiene que Ce ∪ Ca = {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)}; luego Ce es conexo y corta a todo Ca . Ahora 

R2 − Q 2 = C e ∪ 

[

a∈R−Q



Ca 

y es conexo. (Otra demostración) Fijemos (e, e) y sea (x, y) ∈ R2 − Q2 . Si y es irracional, la poligonal [(e, e), (e, y), (x, y)] está contenida en R2 − Q2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Si y es racional, entonces x es irracional y la poligonal [(e, e), (x, e), (x, y)] está contenida en R2 − Q2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Ahora R2 − Q2 es unión de todas las poligonales (que tienen un punto común), por lo tanto es conexo.

5.13 Probar que un espacio métrico (E, d) es conexo si y sólo si todo subconjunto propio de E tiene frontera no vacía.

Solución Supongamos que A es un subconjunto propio de E y que frt(A) = ∅. Entonces A = int(A) ∪ frt(A) = int(A). Por lo tanto A es abierto y cerrado en (E, d) y E no es conexo. Recíprocamente, si E no es conexo, existe un subconjunto propio A ⊂ E abierto y cerrado en (E, d ); es decir, A = A = int(A) lo que implica que frt(A) = ∅

5.14 Si A y B son subconjuntos del espacio (E, d) tales que A es conexo, y A ∩ B 6= ∅ y

A ∩ (E \ B) 6= ∅;

demuestra que A ∩ frt(B) 6= ∅

Solución Supongamos que A ∩ frt(B) = ∅. Entonces A ∩ B = A ∩ int(B) = 6 ∅ y A ∩ (E \ B) = A ∩ ext(B) 6= ∅. Así, pues, A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ (E \ B)) = (A ∩ int(B)) ∪ (A ∩ ext(B )) Ahora, puesto que int(B) y ext(B) están separados (son dos abiertos disjuntos), se tiene que A ∩ int(B) y A ∩ ext(B) están separados, de manera que A es unión de dos conjuntos no vacíos y separados y, por lo tanto, no es conexo.

5.15 Sean A y B conjuntos conexos y A ⊂ B. Si C es una componente conexa de B \ A, demostrar que B \ C es conexo.

Solución Supongamos que B \ C no es conexo. Entonces B\C =S∪T con S y T no vacíos y separados. Ahora, puesto que A ⊂ B \ C = S ∪ T y A es conexo, necesariamente es A ⊂ S o A ⊂ T . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ S; entonces T ∩ A = ∅ de modo que T ⊂ (B \ C) \ A = (B \ A) \ C y, puesto que C es una componente conexa de B \ A, se tiene que (B \ A) \ C y C están separados, de manera que T y C están separados. Así, pues, B = (B \ C) ∪ C = T ∪ (S ∪ C) y B no sería conexo, en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.

5.16 Demostrar que las componentes conexas de un conjunto A son conjuntos cerrados en el subespacio (A, d ) No es cierto, en general, que las componentes conexas de A sean abiertos en (A, d) (póngase un ejemplo), pero sí es cierto si el número de componentes conexas es finito; demuéstrese.

Solución Sea C una componente conexa de A. Entonces C ⊂ A, de manera que C ⊂C ∩A=C y, por tanto, C ∩ A es conexo. Pero, puesto que C es el mayor conjunto conexo que contiene a cualquiera de sus puntos, resulta que C =C ∩A y C es cerrado en (A, d ). Nota: no es cierto que C sea cerrado en (E, d ). Considérese por ejemplo, dos abiertos conexos y disjuntos. Considérese Q en la recta real. Entonces para todo x ∈ Q, se tiene que C(x) = {x} y C(x) no es abierto en (Q, d ). Si hay un número finito de componentes conexas, entonces A=

n [

Cn

i=1

y Ck = A \

n [

Cn

i=1,i6=k

de manera que Ck es abierto en (A, d ).

5.18 Sea A un conjunto conexo, abierto y cerrado en (E, d ). Demostrar que A es una componente conexa de E .

Solución Por coherencia, suponemos que A no es vacío. Sea, entonces, x ∈ A y llamemos C a la componente conexa de E que contiene a x. Puesto que A es conexo y x ∈ A, se tiene que A ⊂ C. Supongamos que A 6= C; entonces A∩C = A es abierto en C por ser A abierto em E y también cerrado en C por ser A cerrado en E . Así, pues, A es un subconjunto propio, abierto y cerrado en C, de manera que C no es conexo. Absurdo, porque C es una componente conexa....