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Estadística y Probabilidad

1. Una persona está manejando un carro en una autopista a 70 km/h y nota que el número de autos a los que pasa es igual al número de autos que a ella le pasan. Los 70 km/h son el promedio, la mediana o la moda de las velocidades de los autos en la carretera. Al ser el mismo número de autos los que le rebasan, como los q rebasa. Este valor se en encuentra en la mitad de todos los valores. Es por esta razón que 70 km/ h es la mediana. 3. Dada n=9 mediciones: 5, 8, 8, 4, 4,9, 7, 5, 4. Determine:

a) Media Aritmética k

∑ xi x= i=1 n 54 x= 9 x= 6 b) La mediana 4, 4,4,5,5,7,8,8,9 La mediana es 5 c) s Xi 4 4 4 5 5 7 8 8 9

Xi - Xp -2 -2 -2 -1 -1 1 2 2 3

(Xi – Xp)2 4 4 4 1 1 1 4 4 9

n

2

s=

√

( Xi−X )2 ∑ i=1 n−1

=

√

32 8

=2

d) El rango Rango= 9 - 4 Rango = 5 e) RIQ RIQ= (Q3-Q1) RIQ= 8 – 4 RIQ= 4 f) Asimetría n

∑( Xi−X )3 /n As= i=1 As=

s3

2 8

As= 0,25

Xi 4 4 4 5 5 7 8 8 9 g) Curtosis n

Ap=

Ap=

4 (Xi− X) /n ∑ i=1

s

4

164 / 9 -3 24

Ap= -1,8

−3

(Xi – Xp)3 -8 -8 -8 -1 -1 1 8 8 27

5. Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000, 5000, y 10000 dólares, respectivamente. Si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4% anual y el tercero un 2% anual. ¿Cuál es el tipo de interés que recibe? Primero 2000(

5 ) : = 100 100

Segundo 5000(

Tercero:

Total:

4 ) : = 200 100

10000(

500(

2 ) = 200 100

100 % ) = 2, 94% 17000

7. En una bodega de venta de licores se registró las principales características de 25 marcas de whiskys. N° de Whisky 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Precio de Venta 70 60 65 74 70 73 70 55 93 62 87 78 83 90 110 113 96 82 127 160 90 86 100 100 95

Proporción de malta 20 20 20 25 25 30 30 30 33 33 33 35 40 40 40 40 40 45 45 100 100 100 100 100 100

Categoría 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

Tiempo de Añejamiento 5 5 7.5 12 12 5 8 5 6.5 8 8.5 8.5 8 5.5 12 8.5 12 12 8.5 12 12 12 10 11 12

Nota de Calidad 3 2 2 2 3 0 0 2 1 3 3 2 4 2 1 1 3 3 4 3 4 2 3 3 0

a) Identificar el tipo de dato que representa a cada una de las variables Al ser datos que expresan cantidades, el precio de venta, la proporción de malta y el tiempo de categoría serán datos cuantitativos. Mientras que al ser valores que expresan una cualidad del producto; la categoría y la nota de calidad serán datos cualitativos. Todos estos datos son datos discretos ya que los valores son distintos y separados; es decir se los puede contar. b) Realice un diagrama de tallo y hojas para el precio de venta y el tiempo de añejamiento Precio de Venta 5 6 7 8 9 10 11 12 16

5 025 000138 2367 00356 00 03 7 0

Tiempo de Añejamiento 0 0 1

5,5,5,5 5.5,6.5, 7.5, 8, 8, 8, 8.5,8.5,8.5,8.5 0,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2

c) Calcule el promedio, la moda y la mediana del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento Precio Promedio

k

∑ xi x= i=1 n XP= 2186 = 87,56 25

Moda El precio que más se repite es 70 Mediana 55,60,62,65,70,70,70,71,73,78,82,83,86,87,90,90,93,95,96,100,100,110,113,127,160 El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 86.

Proporción de Malta Promedio k

x=

xi ∑ i=1 n

XM = 1224 = 48,96 25 Moda La proporción que más se repite es 100 Mediana 20,20,20,25,25,30,30,30,33,33,33,35,40,40,40,40,40,45,45,100,100,100,100,100,100 El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 40.

Tiempo de Añejamiento Promedio

k

∑ xi x= i=1 n XT= 226.5 = 9.06 25 Moda El tiempo que más se repite es 12

Mediana 5,5,5,5,5.5,6.5,7.5,8,8,8,8.5,8.5,8.5,8.5,10,11,12,12,12,12,12,12,12,12,12 El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 8.5.

d) Encuentre la desviación estándar, el RIQ y el coeficiente de variación del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento. Precio Desviación Estándar

√

2

s=

sP= =

n

∑ ( Xi−X )2 i=1

n−1

√

12970,16 = 23,24 25 – 1

RIQ RIQ = Q3 – Q1 RIQ = 100 – 70 RIQ = 30 Coeficiente de Variación CV= s x

CV = 0,27 Proporción de Malta Desviación Estándar

√

2

s=

n

∑ ( Xi−X )2 i=1

n−1

√

sM=

21764,96 25 – 1

= 30,11

RIQ RIQ = Q3 – Q1 RIQ = 45 – 30 RIQ = 15 Coeficiente de Variación CV= s x CV = 0,61 Tiempo de Añejamiento Desviación Estándar

√

2

s=

sM=

n

2 ( Xi−X ) ∑ i=1

√

n−1 174,6625 25 – 1

RIQ RIQ = Q3 – Q1 RIQ = 12 – 6,5

= 2,697

RIQ = 5,5

Coeficiente de Variación CV= s x CV = 0,29

e) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento de precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento.

Precio Coeficiente de Asimetría n

As=

∑( Xi−X )3 /n i=1 s3

As= 14812,8104 (23,24)3 As= 1,18

Coeficiente de Apuntamiento n

Ap=

(Xi− X)4 /n ∑ i=1 s4

−3

Ap= 53862,91 - 3 (23,24)4 Ap= - 2,8

Proporción de Malta Coeficiente de Asimetría n

As=

3 ( Xi − X ) /n ∑ i=1

s3

As= 26332,83187 (30)3 As= 0,9

Coeficiente de Apuntamiento n

AP=

4 ( Xi − X ) /n ∑ i =1

s4

Ap= 2519855,592 - 3

−3

(23,24)4 Ap= 5,6

Tiempo de Añejamiento Coeficiente de Asimetría n

∑ ( Xi − X )3 /n As= i=1

s

3

As=

-4,03 (23,24)3 As= 0,04

Coeficiente de Apuntamiento n

∑ ( Xi − X )4 /n As= i=1

s4

Ap= 44742,14312 - 3 (23,24)4 Ap= -2,85

f)

Realice un gráfico de barras de la categoría y de la nota de calidad.

Categoría 12

11

10 8 8 6 6

4

2

0

Categoría 0 10

Categoría 20 0

Categoría 0 0 3

Nota de Calidad 9 9 8

7

7 6 5 4

3

3

3

3 2 1 0

0 00 0 0

0

10 0 0

0 02 0 0

0 0 30

0

0 0 40 0

9. Dados los datos y sus frecuencias: xi ni

2 8

5 12

7 16

10 14

Halle: a) Media Aritmética k

∑ ( ¿) (xi) x= i=1

n

328 x= 50 x= 6,56 b) La moda Es 7 al ser el valor que más se repite. c) s

xi 2 5 7 10

ni 8 12 16 14

Xi - X@ -4,56 -1,56 0,44 3,44

(Xi – Xp)2 20,7936 2,4336 0,1936 11,8336

ni(Xi – Xp)2 166,3488 29,2032 3,0976 165,6704

n

(Xi−X )2 ∑ i=1

√√ 2

s= s=

= 364,32

n

∑ ( Xi−X )2 i=1

n−1 364, 32 49

s=2,72673835

d) El rango Rango = 10-2 Rango = 8

11. Se realizó una investigación sobre el precio de zapatos deportivos, de similares características en diversos almacenes de la ciudad, obteniéndose los siguientes datos (dólares):

50 49 49 47 46 a)

43 43 43 41 41

39 39 39 39 38

43 44 44 45 46

40 40 40 40 40

38 38 38 37 37

35 33 33 33 32

25 26 27 27 28

37 36 36 35 35

32 30 30 30 28

Determine la distribución de frecuencias individuales de los datos Valor datos 25 26 27 28 30 32 33 35 36 37

Frecuencia absoluta 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3

F. absoluta acumulada 1 2 4 6 9 11 14 17 19 22

Frecuencia relativa 0,02 0,02 0,04 0,04 0,06 0,04 0,06 0,06 0,04 0,06

F. relativa acumulada 0,02 0,04 0,08 0,12 0,18 0,22 0,28 0,34 0,38 0,44

38 39 40 41 43 44 45 46 47 49 50 Total

b)

4 4 5 2 4 2 1 2 1 2 1

26 30 35 37 41 43 44 46 47 49 50 28

Elabore la distribución de frecuencias con datos agrupados por clases; Clase=

50 −25 =5 5

Intervalo [24 – 29[ [29 – 34[ [34 – 39[ [39 – 44[ [44 – 49[ [49 – 54[ c)

0,08 0,08 0,1 0,04 0,08 0,04 0,02 0,04 0,02 0,04 0,02 1

Frecuencia 6 8 12 15 6 3

A partir de la distribución obtenida, trace el histograma.

0,52 0,6 0,7 0,74 0,82 0,86 0,88 0,92 0,94 0,98 1 1

Organigrama 16 14 12 10 8 6 4 2 0

6

8

12

15

6

3

13.- A partir de la siguiente distribución de frecuencias xi ni

1.2 2

2.3 4

3.5 4

5.4 6

Encuentre: a)

Los cuartiles inferior, superior y la mediana. Q1=

P25;

25∗25 100

nk /100=

=

Q1= X6+1 = 3.5

Q3= P25; nk /100=

25∗75 100

= 18.75

6.25 = r + t

7.8 3

8.3 5

12.1 1

Q3=

X18+1= 7.8

Mediana=

b)

X13 = 5.4

La media armónica

n MH=

n

∑ xi1

=

i=1

c)

25 1 5 3 6 4 4 2 + + + + + + 1.2 2.3 3.5 5.4 7.8 8.3 12.1

La media geométrica

MG=

√ n

n

∑ xin1 i=1

=

2.3 ¿ ¿ 3.5 ¿ ¿ 5.4 ¿ ¿ 7.8 ¿ ¿ 8.3 ¿ ¿ 12.1 ¿ ¿ 2 (1.2 ) ¿ 25 √¿

= 4.584

= 3.715

15. Los siguientes datos se obtuvieron de una encuesta sobre las condiciones de vida, en el área rural de los cantones Zapotillo y Macara y corresponden al número de hombres y de mujeres que integran las familias encuestadas. Hombre s 4 5 4 3 6 3 7 5 5

Mujeres 4 5 1 2 1 4 1 2 8

Hombres 3 3 4 2 2 0 3 3 1

Mujeres 2 4 3 3 4 4 7 3 3

Hombre s 2 3 6 2 4 6 4 2 5

Mujere s 2 3 3 4 6 7 2 3 4

Hombre s 7 3 2 4 5 2 5 4 4

Mujere s 4 3 2 4 4 4 2 3 1

a) Realice un diagrama de puntos de los datos, clasificados por sexo

Hombres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Mujeres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

b) Realice la tabla de frecuencias y el histograma de los datos, según el sexo de los encuestados;

7−0 =1.75 4 8−1 =1.75 Longitud de clase (Mujeres): ¿ 4

Longitud de clase (Hombres)

Intervalo Hombres [0 ; 1,75[ [1,75 ; 3,5[ [3,5 ; 5,25[ [5,25 ; 7[ [7 ; 8,75[

Mujeres [0 ; 1,75[ [1,75 ; 3,5[ [3,5 ; 5,25[ [5,25 ; 7[ [7 ; 8,75[

¿

Frecuencia Absoluta Hombre Mujere s s 2 4 15 16 14 12 3 1 2 3 16 36

Frec. Absoluta Acumulada Hombre Mujere s s 2 4 17 20 31 32 34 33 36 36

Frecuencia Relativa Hombre Mujere s s 0,055 0,111 0,416 0,444 0,388 0,333 0,083 0,027 0,055 0,083 1 1

Hombres 16

15

14

14

12 10 8 6 4 2 0

3

2 0 1.75

0 3.5

0 5.25

Mujeres

70

2 0 8.75

Frec. Relativ Acumulada Hombre s Mu 0,055 0, 0,471 0, 0,859 0, 0,942 0, 1

18

16

16 14

12

12 10 8 6 4

4

3

2 0

1 1.75 0

3.5 00

5.25 00

07

8.15 0

c) Construya el diagrama de caja de los datos;

Hombres Mujeres

mín 0 1

Q1 2 2

Q2 4 3

Q3 5 4

máx 7 8

D 9 8 7

Número

6 5

Valores Y

4 3 2 1 0 Hombres

Mujeres

d) Interprete y compare los resultados obtenidos en a), b), c)

En las gráficas obtenidas en la sección a y b, se puede apreciar claramente que el mayor número de familias encuestadas están conformadas por un número entre tres y cuatro hombres, cómo también mujeres. Para la sección c se puede apreciar en el caso del hombre que la mediana se encuentra en la mitad de la caja indicando que los datos son simétricos. Además la vallas son iguales por lo que denotada que no existen valores atípicos. En el caso de las mujeres, a pesar que se muestra simetría en los datos al estar la mediana en la mitad de la caja, las vallas no son iguales, por lo que permite conocer que existen valores atípicos.

e) Determine el número total de miembros en cada familia. Con estos datos trace el diagrama de puntos, el diagrama de tallo y hojas, la tabla de frecuencias, el histograma y el diagrama de caja. Interprete lo obtenido. Número de Miembros de cada Familia 8 5 4 11 10 7 6 6 5 7 9 4 5 5 6 8 7 6 10 9 7 4 13 6 8 10 6 7 7 6 5 7 13 4 9 5 Diagrama de punto

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Diagrama de tallo y hojas 0 0 1

44445555556666666 7777777888999 000133

Tabla de frecuencias Intervalo [3,75 ; 6[ [6 ; 8,25[ [8,25 ; 10,5[ [10,5 ; 12,75[ [12,75 ; 15[

Frec. Absoluta 10 17 6 1 2

Frec. Absoluta Acumulada 10 27 33 34 36

Frec. Relativa 0,277 0,472 0,166 0,027 0,055

Frec. Relativa Acumulada 0,277 0,75 0,915 0,942 1

Histograma 18 16

17

14 12 10

10

8 6 4 2 0

1 3.75 00

6 4

3

2

6

5

2

1

600

8.25 00

10.5 00

12.75 00

15 00

Diagrama de caja

Hombre s

mín 4

Q1 5

Q2 7

Q3 8

máx 13

Número

D 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Valores Y

Miembros

Mujeres

Interpretación Se puede apreciar claramente tanto en el diagrama de puntos como en el histograma que la mayor parte de familias están conformadas por 6 o 7 personas. Sin embargo, en el diagrama de caja se puede ver que no existe una simetría en los datos ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja. Además, las vallas no tienen el mismo tamaño, lo que indica que existen datos atípicos. 17. En una investigación sobre la razón por la que la frecuencia habían colas muy largas en las cajas de un banco, se obtuvo información del tiempo (en minutos) requerido para atender a los clientes. Se tomaron 50mediciones en una caja las cuales se dan a continuación. 6 5,9 4,8 4,8 5,2 2,8 3,6 4,4 3,7 4,5

4 3,1 1,9 5,3 5,1 6 4,2 4,4 4,7 1,8 5,1 5,8 2 2,8 4,8 3,1 3,9 2,3 5,5 5,3

2,1 5,3 2,9 1,5 5,8

5,2 1,4 5,7 5,9 2,4

2,9 5,2 4,4 4,1 3,8 5,8 3,6 4,6 5,5 3,7

a) Calcule la desviación estándar, y su aproximación a partir del rango

√ 2

s= s=

√

n

∑ ( Xi−X )2 i=1

n−1 88,9 49

s= 1,3477 b) Determine Xp= 4,172 Xp±s = (2,82:5,52) Xp±2s = (1,48:6,87) Xp±3s = (0,13:8,22)

c) Determine el número de observaciones que se encuentran en cada uno de los intervalos Xp±s = 32 Xp±2s = 49 Xp±3s = 50 d) Construya el diagrama de caja de los datos y compare los resultados de la parte b) ¿Qué observa? Q1 3,1

1,44

2,58

Q2 4,4

Q3 5,3

3,72

X min 1,4

X máx. 6

4,86

6

Se puede apreciar que la distribución no es simétrica ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja. Además puede apreciar que las vallas no tienen longitudes iguales por lo cual se puede conocer que existen valores atípicos en los datos. 19.- Las notas de un examen de 6 alumnos son: 6,5, 9,19,3,18. Un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que el promedio y que la mediana de las notas. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen. k

∑ xi x= i=1 n x= 10 Mediana= 7,5

2 %= (100 ) =33,33 % 6

21. El kilometraje que marca un auto, luego de 4 años de uso, es 100mil kilómetros. Si el dueño lo compró nuevo y lo hace descansar 1 día, luego de usarlo 4 días seguidos, ¿cuál es el recorrido promedio diario de los días manejados, considerando años de 365 días?

días km =85, 616 km ( 45díausa )( ( 4100000 )( 365) días )

1 díausa

El automóvil ha circulado un promedio diario de 85,616 Km. 23. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de tres de ellos al número restante, se obtiene los números 17,21,23,29 . Si se excluye al mayor de estos números. ¿ Cuál es el promedio de los tres restantes? (a+b+c)/3 + d= 17 1) 2) 3) 4)

(a+b+d)/3 + c = 2

a+b= 63-d-3c c+d=69-3d-3c c+d=87-b-3a a+b = 51-c-3d 











1y2 63-d-3c=51-c-3d 5) c=6+d 2y 3 69-3d-a=87-b-3a 6) -b+a=9 5 y 6 en 1 9+b+b=63-d-3c 7) b+2d=18 5 y 6 en 2 6+d+d=69-3b-a 8) 2b+d=27 7 en 8 2(18-2d)+d=27 d=3 d en 7 2b+3=27 b=12 -12+a = 9 a= 21

/3 +a=9

6+3=c 9=c A,b,c,d = 21,12,9,3 (12+9+3)/3 = 8

25. El promedio de 53 números es 600. Si se eliminan 3 números consecutivos, se observa que el nuevo promedio aumenta en 5% ¿Cuál es el mayor de dichos números consecutivos? k



∑ xi x= i=1 n 600 = ∑x 53 ∑x1 = 31800

k





∑ xi x= i=1 n 630 = ∑x 50 ∑X1 = 31500

31800 – 31500 = 300 99 + 100 + 101 = 300

R: 101

27. Calcule la mediana de los siguientes datos. Intervalo 10—20 20—30 30—40

Frecuencia 3 3 5

40—50 50—60

Intervalo 10—20 20—30 30—40 40—50 50—60

8 12

Frecuencia 3 3 5 8 12

Frec. acumulada 3 6 11 19 31

n = 15.5 2 La mediana está en el intervalo (40—50)

n = 31 →

A = 50 – 40 = 10 15.5 −11 8 Mediana = 45.625

Mediana = 40 +

* 10

29. En una reunión hay 50 varones con una edad media de 20,5 años y 25 mujeres, las que en promedio son 1/10 más jóvenes que los varones. Halle el número entero más próximo a la eded media de las personas de dicha reunión. xi Hombres Mujeres

ni. 50 25

edad mujeres: (20,5 –

Edad promedio=

Edad Media 20,5 y

20,5 )= 18,45 10

20,5 + 18,45 = 19,5 2

≈ 20

La edad media de las personas es 20 años. 31. Si cada uno de los 28 millones de habitantes de cierto país come, en promedio, 12 kg de pescado al año, entre conservas enlatadas y pescado fresco, siendo este rubro cuatro veces el de conserva. Cuantas toneladas de pescado fresc...