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Reporte

Nombre: Mauricio Gustavo Viera Rivera Matrícula: 2962643 Nombre del curso: Seminario de Nombre del profesor: Jorge Osvaldo Desarrollo de Razonamiento Lógico-

Nolasco Quintero

matemático Módulo:

Actividad:

3. Pensamiento aritmético.

2. Ley de los exponentes, productos

4. Pensamiento algebráico.

notables y factorización.

Fecha: 29 de Marzo de 2020 Bibliografía: https://cursos.tecmilenio.mx/courses/23972/pages/mi-curso? module_item_id=95403 https://www.lifeder.com/leyes-exponentes/ https://www.todamateria.com/productos-notables/ https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/temas-publicados-en-este-sitio/

Procedimiento: 1. Investigar la ley de los exponentes. 2. Investigar los productos notables. 3. Investigar los tipos de factorización.

Resultados:  Leyes de los Exponentes.

Reporte

Las leyes de los exponentes son las que se aplican a aquel número que indica cuántas veces debe ser multiplicado por sí mismo un número base. Los exponentes también son conocidos como potencias. La potenciación es una operación matemática formada por una base (a), el exponente (m) y la potencia (b), que es el resultado de la operación. 

Primera Ley: Potencia de exponente igual a 1 Cuando el exponente es 1, el resultado será el mismo valor de la base: a1 = a.

Ejemplos: 91 = 9. 221 = 22. 8951 = 895. 

Segunda Ley: Potencia de exponente igual a 0 Cuando el exponente es 0, si la base es distinta de cero, el resultado será: a0 = 1.

Ejemplos: 10 = 1. 3230=1. 10950 = 1. 

Tercera Ley: Exponente negativo Como el exponte es negativo, el resultado será una fracción, donde la potencia será el denominador. Por ejemplo, si m es positivo, entonces a-m =1/am.

Reporte

Ejemplos: 3-1 = 1/ 3. 6-2 = 1 / 62 = 1/36. 8-3 = 1/ 83 = 1/512. 

Cuarta Ley: Multiplicación de potencias con base igual Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados.

Ejemplos: 44 * 43 = 44+3 = 47 81 * 84 = 81+4 = 85 22 * 29 = 22+9 = 211 

Quinta Ley: División de potencias con base igual Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan.

Ejemplos: 92 / 91 = 9 (2 – 1) = 91. 615 / 610 = 6 (15 – 10) = 65. 4912 / 496 = 49 (12 – 6) = 496. 

Sexta Ley: Multiplicación de potencias con base diferente En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

Ejemplos: 102 * 202 = (10 * 20)2 = 2002. 4511 * 911 = (45*9)11 = 40511.

Reporte

Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a*b)m=am* bm. Ejemplos: (5*8)4 = 54 * 84 = 404. (23 * 7)6 = 236 * 76 = 1616. 

Séptima Ley: División de potencias con base diferente Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente.

Ejemplos: 303 / 23 = (30/2)3 = 153. 4404 / 804 = (440/80)4 = 5,54. De igual forma, cuando una división se encuentra elevada a una potencia, el exponente va a pertenecer en cada uno de los términos: (a / b) m = am /bm. Ejemplos: (8/4)8 = 88 / 48 = 28. (25/5)2 = 252 / 52 = 52. Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera: (a / b)-n = (b / a )n = bn / an. Ejemplo: (4/5) -9 = (5 / 4) 9 = 59 / 44. 

Octava Ley: Potencia de una potencia Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia — es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican.

Reporte

Ejemplo: (83)2 = 8 (3*2) = 86. (139)3 = 13 (9*3) = 1327. (23810)12 = 238(10 * 12) = 238120. 

Novena Ley: Exponente fraccionario Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz:

Ejemplo:

 Productos Notables Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

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Cuadrado de la suma de dos cantidades Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos: 1) Desarrolle (x+10)2. Cuadrado del primer término: x2. Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x. Cuadrado del segundo término: 102=100.

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Respuesta: 2) Desarrolle (7a2+5x3)2. Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4. Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2)(5x3)= 70a2x3. Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6. Respuesta:

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Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades: El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos: 1) Desarrolle (x-10)2. Cuadrado del primer término: x2. Menos dos veces el primero por el segundo: - 2(x.10)=-20x. Cuadrado del segundo término: 102=100 Respuesta: 2) Desarrolle (7a2-5x3)2. Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4. Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a2)(5x3)= -70a2x3. Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x9. Respuesta:

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Producto de la suma por la diferencia de cantidades Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades: La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos:

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1) Desarrolle (x+1)(x-1). Cuadrado del minuendo: x2. Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1 Respuesta: 2) Desarrolle (5a+3a2)(3a2-5a). Cuadrado del minuendo: (3a2)2=9a4 Menos el cuadrado del sustraendo: -(52a2)=-25a2 Respuesta:

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Multiplicación de trinomios (caso especial) Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:

Ejemplos: 1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).

2) Desarrolle (a2-2a+3)(a2+2a+3).

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Multiplicación de trinomios (caso especial) Los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos. Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.

Reporte

Esto queda de la siguiente forma:

Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:

Ejemplos: 1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).

2) Desarrolle (x3-x2-x)(x3+x2+x).

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Cubo de la suma de dos cantidades Regla del cubo de la suma de un binomio: El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos: 1) Desarrolle (a+2)3. Cubo del primer término: a3. Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a22=6a2. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2) 2=12a. Cubo del segundo término: 23=8. Respuesta:

Reporte

2) Desarrolle (3+y2)3. Cubo del primer término: 33=27. Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)2y2=27y2. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y2)2=9y4. Cubo del segundo término: (y2)3=y6. Respuesta:

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Cubo de la resta de dos cantidades Regla del cubo de la resta de un binomio: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos: 1) Desarrolle (x-2)3. Cubo del primer término: x3. Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)22=-6x2. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(22)=12x. Menos el cubo del segundo término: -(23)=-8. Respuesta: 2) Desarrolle (a2-2b)3. Cubo del primer término: (a2)3=a6. Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a 2)2(2b)=-6a4b. Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a2)(2b)2=12a2b2. Menos el cubo del segundo término: -(2b)3=-8b3. Respuesta:

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Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes: El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el

Reporte

coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios. Primer caso

Segundo caso

Tercer caso

Ejemplos: 1) Desarrolle (x+7)(x+2). Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x 2. Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2)x=9x. Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2)=14. Respuesta:

2) Desarrolle (x+5)(x-2). Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x 2. Suma de los segundos términos por el primer término: [(5)+(-2)]x=3x. Producto de los segundos términos de los binomios: (5)(-2)=-10. Respuesta: 3) Desarrolle (x-10)(x-5). Producto de los primeros términos de los binomios: (x2)(x)=x3. Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10)+(-5)]x=-15x. Producto delos segundos términos de los binomios: (-10)(-5)=50. Respuesta:  Tipos de factorización 

Factor común monomio 1) Se encuentra un factor que divida a ambos monomios. 2) Se encuentra el factor común de las letras, que es el de menor exponente que divida a los monomios.

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3) Si los coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las letras, se copian dentro del paréntesis, los mismos coeficientes. 4) Si las letras no tienen un factor común, pero si hay factor común de los coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras. Ejemplos: a) Descomponer en factores a² +2a En este caso se encuentra el factor común de los monomios a² y 2a; y este es “a”; luego se escribe entre paréntesis los factores (a) y (2 ) que multiplicados por el factor común (a), den como resultado los monomios dados originalmente. Factor común: a porque a(a) = a² y a(2) = 2a la solución es: a(a +2) b) Descomponer en factores 10b -30ab² En este caso se encuentra el factor común de los monomios 10b y 30ab²; y este es “10b“; y luego se escribe entre paréntesis los factores (1) y (-3ab) que multiplicados por el factor común (10b), den como resultado los monomios dados originalmente. Factor común : 10b porque 10b(1) = 10b y 10b(-3ab ) = –30ab² la solución es: 10b(1 -3ab) c) Descomponer en factores 10a² -5a +15a³ En este caso el factor común de los monomios 10a² , -5a y 15a³ es “5a”; y luego se escribe entre paréntesis los factores (2a), (-1) y (3a²) que multiplicados por el factor común (5a), dan como resultado los monomios originales. Factor común es: 5a porque 5a(2a) = 10² , 5a(-1) = -5a y 5a(3a²) = 15a³ la solución es: 5a(2a -1 +3a²)

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Factor común polinomio 1) Se copia el factor común de los polinomios y se escribe como primer factor de la solución. 2) Con los factores no comunes de los polinomios se forma el segundo factor de la solución.

Ejemplos: a) Descomponer x(a+b) + m(a+b) 1º) Factor común (a+b) 2º) Factores no comunes “x” y “m” –> (x+m) Solución: (a+b)(x+m) b) Descomponer 2x(a-1) – y(a-1) 1º) Factor común (a-1) 2º) Factores no comunes “2x” y “-y” –> (2x-y)

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Solución: (a-1)(2x-y)

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Factor común por agrupación de términos 1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo. 2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. 3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Polinomio.

Ejemplos: a) ax +bx +ay +by 1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by) 2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b) 3º) Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución. b) 3m² -6mn +4m -8n 1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 –6mn)+(4m-8n) 2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n) 3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4) > Factorar 1 -a². a) Raíz cuadrada de 1 = 1 Raíz cuadrada de a² = a b) Se multiplican los factores: (1 +a)(1 -a) y esta es la Solución. >> Factorar 16x² -25y^4 a) Raíz cuadrada de 16x² = 4x ; Raíz cuadrada de 25y^4 = 5y² b) Multiplicación de factores: (4x +5y²)(4x -5y²) Factorar 49x²y^6z^10 – a^12 a) Raíz cuadrada de 49x²y^6z^10 = 7xy³z^5 Raíz cuadrada de a^12 = a^6 b) Multiplicando factores: (7xy³z^5 + a^6)(7xy³z^5 – a^6) Solución

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>> Factorar a²/4 – b^4/9 a) Raíz cuadrada de a²/4 = a/2 ; Raíz cuadrada de b^4/9 = b²/3 b) Multiplicando factores: (a/2 +b²/3)(a/2 – b²/3) Solución

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Trinomio cuadrado perfecto Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio. El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.

Ejemplo: a²-4ab+4b² = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)² Raíz cuadrada de a² = a ; raíz cuadrada de 4b² = 2b –> se forma el binomio (a -2b) y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería (a -2b)² , que es la Solución. Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.

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Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado. Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera: Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio. Por último, se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos.

Ejemplo: Factorar x^4 +x²y² +y^4 a) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto: raíz cuadrada de x^4 = x² ; Raíz cuadrada de y^4 = y² el 2º término debiera ser 2(x²)(y²) = 2x² y² Comparando 2º término (2x²y²) – (x²y²) = x²y² lo que le falta.

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b) Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así: x^4 + x²y² + y^4 (Trinomio original) . + x²y² – x²y² (sumando y restando lo que le hace falta) x^4 +2x²y² +y^4 -x²y² = (x^4 +2x²y² +y^4) -x²y² (resultado de convertir el trinomio) c) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III: (x^4 +2x²y² +y^4) – x²y²= (x² + y²)² – x²y² d) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV: (x² + y²)² – (xy)² = (x² +y² +xy)(x²y²-xy) Ordenado sería = (x² +xy +y²)(x² -xy+y²) raíz cuadrada de x² = x –> (x )(x ) 2°) Signos de los binomios: 1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “+” 2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+) (+)= “+” –-> (x+ )(x+ ) 3°) Como los signos de los binomios son iguales: números buscados: 3 y 2 porque : 3+2 = 5 que es igual al 2° término del trinomio. (3)(2) = 6 que es igual al 3° término del trinomio. –> (x+3)(x+2), Solución b) Factorar x² -7x +12 1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios: –> raíz cuadrada de x² = x –> (x )(x ) 2°) Signos de los binomios: 1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “-“

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2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(+) = “-“ –> (x- )(x- ) 3°) Como los signos de los binomios son iguales: números buscados : 4 y 3 porque: -4 -3 = -7 que es igual al 2° término del trinomio. (-4)(-3) = 12 que es igual al 3° término del trinomio –> (x-4 )(x-3 ), Solución.

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Trinomio de la forma ax^2+bx+c Procedimiento para el trinomio de la forma ax² +bx +c: –Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así: como ejemplo: 6x² -7x -3 1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado: 6(6x² -7x +3) = 36x² -6(7x) -18 2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x² = (6x)² y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)² -7(6x) -18 3°) Luego se procede a factorar (6x)² -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6° 4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ ) 5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2) 6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6” (6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

Ejemplo: a) Factorar 20x² +7x -6 >> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20): 20(20x² +7x -6) = 400x² +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x² = (20x)² y 20(7x) = 7(20x),

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quedaría así: (20x)² +7(20x) -120 >> Se factoriza (20x)² +7(20x) -120, como un Caso VI Se encuentra dos factores binomios: (20x + )(20x- ) Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -120, y estos son: 15 y -8, porque 15 -8 = 7 y (15)(-8) = -120 –> la Solución parcial sería : (20x+15)(20x-8) >> Aplicando la Solución (20x+15)(20x-8) para el caso VII; Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20: (20x+15)(20x-8) / 20 , como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el 2° # divida al otro factor: y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3) y (20x-8) / 4 = (5x-2) –> la Solución final es: (4x+3)(5x-2)

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Cubo perfecto de binomios Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio: Sea el ejemplo: 8x³ +12x² +6x +1 >> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos: raíz cúbica de 8x³ = 2x y raíz cúbica de 1 = 1 >> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión: 2° término: 3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x² 3° término: 3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x >> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es: 8x³ +12x² +6x +1 = (2x +1)³ , que es la Solución.