Ejercicios capítulo 12 PDF

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11. Se decide implementar un muestreo de aceptación para atributos con el propósito de regular la salida de lotes de tamaño grande, el nivel de calidad aceptable (NCA o AQL) se fija en 1.2% con α = 0.05 y el NCL = 5% con β = 0.10. a) Con base en lo anterior, bosqueje la curva CO que se requiere para el plan de muestreo. 1.2 1

CURVA CO

1-α 0.8 0.6 0.4 0.2

β

NCL 0 NCA 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 b) Por medio de las tablas de Cameron encuentre el plan que regulará este muestreo y explique su funcionamiento. Datos NCA = 1.2% 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 NCL = 5% 𝜷 = 0.10 Calculando la razón de operación 𝑹𝒄 =

𝑵𝑪𝑨 𝟓 = 𝟒. 𝟏𝟕 = 𝑵𝑪𝑳 𝟏. 𝟐

De tabla 12.4 ingresando con 𝑹𝒄 se obtiene:

𝒄 = 𝟐 ; 𝒏𝒑𝟏 = 𝟏. 𝟗𝟕 → 𝒏 =

𝟏.𝟗 𝒑𝟏

(𝟏.𝟗)

= 𝟎.𝟎𝟏𝟐 = 𝟏𝟔𝟓

Conclusión: Por la tanto, el plan simple por atributos que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados es, n = 165 y c = 2. Bajo este plan se obtiene una muestra de tamaño 165 y si se obtiene 3 o más defectuosos se rechaza el lote. c) Obtenga una forma más o menos exacta de la curva CO para el correspondiente plan, apoyándose en tablas o con ayuda de Excel. -Obteniendo los datos para la curva CO de la tabla 12.5 para el plan de muestreo n = 165 y c=2

Alan Serrano

CURVA CO Y CPS Pa

Valores para c=4

p

P*Pa

0,995 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5

1,07 1,62 1,97 2,43 3,36 4,67

0,00648 0,00982 0,01194 0,01473 0,02036 0,02830

0,00645 0,00957 0,01134 0,01325 0,01527 0,01415

0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

6,27 7,99 9,15 10,2 11,6 12,5

0,03800 0,04842 0,05545 0,06182 0,07030 0,07576

0,00950 0,00484 0,00277 0,00155 0,00070 0,00038

A partir de los datos se obtiene la gráfica 1.2 1

1-α 0.8

CURVA CO

0.6 0.4 0.2

β

NCL 0 NCA 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 00 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 Conclusión.A partir de la gráfica y los datos obtenidos se observa lo siguiente: Que aquellos lotes que ingresen con una proporción de artículos defectuosos menor o igual a 1.2% (NCA), son aceptados con facilidad, con una probabilidad mayor o igual a 95%. A medida que la proporción de artículos defectuosos es mayor a 1,2% cada vez es menos probable que los lotes correspondientes sean aceptados. Aquellos lotes que ingresan con una proporción menor a 5% (NCL), tienen poca probabilidad de ser aceptados, menor igual a 10%.

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d) ¿El plan encontrado no acepta lotes con 2% de artículos defectuosos? -

Hallando la probabilidad de aceptación para lotes con una proporción de defectivo igual a 2% apoyándonos en la distribución de poisson. Para ello obtenemos el parámetro lambda

𝜆 = 𝑛 ∗ 𝑝 = 165 ∗ 0.02 = 3.3 𝑃𝑎 = 𝑃(𝑥 ≤ 2; 𝜆 = 3.3) = 𝑃(𝑋 = 0; 𝜆 = 3.3) + 𝑃(𝑋 = 1; 𝜆 = 3.3) + 𝑃(𝑋 = 2; 𝜆 = 3.3) Con el auxilio de Excel se obtiene que 𝑃𝑎 = 0.3594 Conclusión: El plan de muestreo n=205 y c=2 acepta lotes con 2% de artículos defectuosos con una probabilidad de 35.94%, es decir, que de 100 lotes analizados se aceptarán en promedio 35 lotes con 2% de artículos defectuosos. e) En la redacción inicial del problema se supuso que los lotes eran de tamaño grande dado el tamaño de la muestra, ¿cuál debe ser el tamaño de lote para que se siga cumpliendo la suposición inicial? -

Se debe cumplir la siguiente condición: que 10 veces el tamaño de la muestra debe ser menor al tamaño del lote (10𝑛 < 𝑁 ó 𝑁 > 10𝑛) 𝑁 > 10 ∗ 165 → 𝑁 > 1650

Conclusión: Para que se siga cumpliendo la suposición inicial, el tamaño del lote debe ser mayor o igual a 1650 12.- El riesgo del productor está definido por α = .05 para un NCA = 1.5% y el riesgo del consumidor está definido por β = .10 para el NCL = 4.6%. Utilizando las tablas de Cameron seleccione un plan que concuerde con el riesgo del productor y esté tan cerca como sea posible de la condición del consumidor. Datos: NCA = 1.5% 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 NCL = 4.6% 𝜷 = 0.10 Con esta calidad acordada se busca que lotes que ingresen con 1.5% de artículos de defectuosos, sean aceptados con facilidad y que tengan una probabilidad aceptación del 95% asumiendo un riesgo del 5% de que se rechacen lotes a pesar de tener una calidad aceptable. Además de que artículos que ingresen con 4.6% de artículos defectuosos, tengan una baja probabilidad de aceptación (10%). Calculando la razón de operación 𝑹𝒄 =

𝑵𝑪𝑨 𝟒. 𝟔 = = 𝟑. 𝟎𝟕 𝑵𝑪𝑳 𝟏. 𝟓

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De tabla 12.4 ingresando con 𝑹𝒄 se obtiene:

𝒄 = 𝟕 ; 𝒏𝒑𝟏 = 𝟑. 𝟗𝟖 → 𝒏 =

𝟑.𝟗𝟖 𝒑𝟏

=

(𝟑.𝟗𝟖) 𝟎.𝟎𝟏𝟓

= 𝟐𝟔𝟔

Conclusión: Por la tanto, el plan simple por atributos que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados (alta probabilidad de aceptar lotes buenos y poco probabilidad de aceptar lotes malos) es, n = 266 y c = 7. Bajo este plan se obtiene una muestra de tamaño 266 y si se obtiene 8 o más defectuosos se rechaza el lote. - Analizando el desempeño potencial del plan a partir de las curvas CO y CPS. A continuación se muestra los datos obtenidos de la tabla 12.5 y con el auxilio de Excel CURVA CO Y CPS Pa

Valores para c=7

p

P*Pa

0,995 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

2,57 3,45 3,98 4,65 5,95 7,66 9,68 11,7 13,1 14,4 16 17,1

0,00966 0,01297 0,01496 0,01748 0,02237 0,02880 0,03639 0,04398 0,04925 0,05414 0,06015 0,06429

0,00961 0,01265 0,01421 0,01573 0,01678 0,01440 0,00910 0,00440 0,00246 0,00135 0,00060 0,00032

Las curvas obtenidas son:

Alan Serrano

Comentarios generalas acerca de la curva CO -A partir de los datos obtenidos y la curva CO se puede observar que: Que aquellos lotes que ingresen con una proporción de artículos defectuosos menor o igual a 1.2% (NCA), son aceptados con facilidad, con una probabilidad mayor o igual a 95%. A medida que la proporción de artículos defectuosos es mayor a 1,2% cada vez es menos probable que los lotes correspondientes sean aceptados. Aquellos lotes que ingresan con una proporción menor a 5% (NCL), tienen poca probabilidad de ser aceptados, menor igual a 10%.

-A partir de los datos obtenidos para la curva CPS y la gráfica se observa que: Si los lotes rechazados se inspeccionan al 100% y las piezas malas son sustituidas por buenas, entonces el plan de muestreo garantiza, sin importar qué tan mala sea la proporción de defectuosos de entrada, que la peor calidad que en promedio se le entregará al consumidor es de aproximadamente 1.68%. 13. Para medir la eficacia de un proceso en una empresa se cuantifica la proporción de artículos defectuosos. De acuerdo con los datos históricos se tiene que el porcentaje promedio de artículos defectuosos es de 3.5 por ciento. a) Un cliente de esta empresa exige que antes de enviar los embarques, inspeccione los lotes y que aplique un NCA de 2.5%. De acuerdo con esto, con las tablas de Cameron diseñe un plan apropiado suponiendo un NCL = 5% y tamaño de lote grande. Datos NCA = 2.5% 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 NCL = 5%

Alan Serrano

𝜷 = 0.10 Con esta calidad acordada se busca que lotes que ingresen con 2.5% de artículos de defectuosos, sean aceptados con facilidad y que tengan una probabilidad aceptación del 95% asumiendo un riesgo del 5% de que se rechacen lotes a pesar de tener una calidad aceptable. Además que artículos que ingresen con 5% de artículos defectuosos, tengan una baja probabilidad de aceptación (10%). Calculando la razón de operación 𝑹𝒄 =

𝑵𝑪𝑨 𝟓 =𝟐 = 𝑵𝑪𝑳 𝟐. 𝟓

De tabla 12.4 ingresando con 𝑹𝒄 se obtiene:

𝒄 = 𝟏𝟖 ; 𝒏𝒑𝟏 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟒 → 𝒏 =

(𝟏𝟐.𝟒𝟒) 𝟏𝟐.𝟒𝟒 = 𝟎.𝟎𝟐𝟓 𝒑𝟏

= 𝟒𝟗𝟖

Conclusión: Por lo tanto, el plan simple por atributos que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados (alta probabilidad de aceptar lotes buenos y poco probabilidad de aceptar lotes malos) es, n = 498 y c = 18. Bajo este plan se obtiene una muestra de tamaño 165 y si se obtiene 19 o más defectuosos se rechaza el lote.

b) Obtenga la curva CO para el plan. -Obteniendo los datos para la curva CO de la tabla 12.5 para el plan de muestreo n = 498 y c=18 CURVA CO Y CPS Pa 0,995 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

-

Valores para c=18 9,94 11,43 12,44 13,67 15,9 18,67 21,7 24,7 26,6 28,4 30,5 32,1

p 0,01996 0,02295 0,02498 0,02745 0,03193 0,03749 0,04357 0,04960 0,05341 0,05703 0,06124 0,06446

A partir de los datos se grafica la curva

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P*Pa 0,01986 0,02238 0,02373 0,02470 0,02395 0,01874 0,01089 0,00496 0,00267 0,00143 0,00061 0,00032

Comentarios generales acerca de la curva CO A partir de la gráfica y los datos obtenidos se observa lo siguiente: Que aquellos lotes que ingresen con una proporción de artículos defectuosos menor o igual a 2.5% (NCA), son aceptados con facilidad, con una probabilidad mayor o igual a 95%. A medida que la proporción de artículos defectuosos es mayor a 2.5% cada vez es menos probable que los lotes correspondientes sean aceptados. Aquellos lotes que ingresan con una proporción menor a 5% (NCL), tienen poca probabilidad de ser aceptados, menor o igual a 10%.

c) Si el lote tiene un nivel de calidad igual al promedio del proceso, ¿cuál es la probabilidad de aceptarlo? Datos: 𝑛 = 498 ; 𝑐 = 18 𝑝 = 3.5 % -

Hallando la probabilidad de aceptación para lotes con una proporción de defectivo igual a 3.5% apoyándonos en la distribución de poisson. Para ello obtenemos el parámetro lambda

𝜆 = 𝑛 ∗ 𝑝 = 498 ∗ 0.035 = 17.43 𝑃𝑎 = 𝑃(𝑥 ≤ 18; 𝜆 = 17.43) = 𝑃(𝑋 = 0; 𝜆 = 3.3) + 𝑃(𝑋 = 1; 𝜆 = 3.3) + ⋯ + 𝑃(𝑋 = 18; 𝜆 = 3.3) Con el auxilio de Excel se obtiene que 𝑃𝑎 = 0.6154 Conclusión: Si el lote tiene un nivel de calidad igual al promedio del proceso (3.5%), hay una probabilidad de 61.54% de que se acepte el lote con el plan de muestreo n=498 y c=18 .

d) ¿Qué opina de la utilidad del plan en este caso?

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Le es difícil al proveedor cumplir con dicho plan, ya que el porcentaje promedio de artículos defectuosos de su proceso es mayor al NCA y en promedio 39 de cada 100 lotes analizados serán rechazados. El consumidor debe pensar seriamente en mejorar su calidad. 14. ¿Cuál es el propósito de los distintos niveles de inspección en las tablas MIL STD 105E? El objetivo de estos niveles es el de poder modificar la cantidad de inspección sin afectar el riesgo del productor (𝛽) pero cambiando el riesgo del consumidor (𝛼), dependiendo de los riesgos que pueda tolerar el consumidor. 15. ¿Cuál es la finalidad de que un esquema de muestreo obtenido mediante los MIL STD 105E, tenga planes normal, reducido y severo? La finalidad es alentar al vendedor para mejorar su calidad o castigarlo si no lo hace 16. ¿Cuáles son las diferencias entre el método de Cameron y los MIL STD 105E para obtener planes de muestreo? Se tienen las siguientes diferencias: -

-

-

El MIL STD 105 E está orientado al NCA, en cambio el método Cameron está orientado a 4 índices 𝛼, 𝛽, 𝑁𝐶𝐴 𝑦 𝑒𝑙 𝑁𝐶𝐿 En el método MIL STD 105E no todos los tamaños de muestras son posibles en cambio en el Cameron sí son posibles El método MIL STD 105E está relacionado con los tamaños de los lotes, es decir, que el tamaño de la muestra aumenta con el tamaño del lote, lo que no ocurre en el método Cameron , en éste último se asume que el tamaño del lote es grande en comparación con la muestra. En el MIL STD 105E se tiene la posibilidad de poder disminuir el número de inspección sin afectar al riesgo del proveedor pero sí afectando al consumidor, en el Cameron no hay esta posibilidad ya que se busca que se cumplan los NCA y NCL. En el MIL STD 105E se alienta al proveedor a través de planes de muestreo, en el método Cameron no existe esta posibilidad.

17. Un proveedor de sábanas y un hotel han decidido evaluar el producto en lotes de 1 000 usando un NCA de 1% con una probabilidad de rechazo de α = 0.10. a) Use el MIL STD 105E y determine los planes de muestreo para c = 0, 1, 2. Datos 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 NCA = 1% En la tabla 12.7 para inspección normal, en la columna con un NCA = 1% se obtiene los siguientes planes.

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Plan 1 2 3

n 13 50 80

Ac 0 1 2

Re 1 2 3

Los planes se detallan en el cuadro mostrado. b) ¿Si usted fuera el comprador, cuál de los planes anteriores seleccionaría? ¿Por qué? -

Analizando el desempeño de los planes a partir de la Curva CO y CPS. A continuación se muestra los datos y los gráficos obtenidos con el auxilio de Excel para cada plan PLAN DE MUESTREO 1 Pa 0,995 0,974 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

p*pa 0,0004 0,0019 0,0038 0,0074 0,0166 0,0267 0,0267 0,0177 0,0115 0,0071 0,0035 0,0020

np 0,0052 0,026 0,052 0,1066 0,2886 0,6942 1,3858 2,3036 2,9952 3,6894 4,6046 5,2988

p*pa 0,0020 0,0047 0,0068 0,0095 0,0144 0,0168 0,0135 0,0078 0,0048 0,0028 0,0013 0,0007

np 0,1 0,24 0,36 0,53 0,96 1,68 2,69 3,89 4,74 5,57 6,64 7,43

PLAN DE MUESTREO GRÁFICA 3 Pa p p*pa 0,995 0,0042 0,0042

np 0,336

Pa 0,995 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

Alan Serrano

p 0,0004 0,0020 0,0040 0,0082 0,0222 0,0534 0,1066 0,1772 0,2304 0,2838 0,3542 0,4076 PLAN DE MUESTREO 2 p 0,002 0,0048 0,0072 0,0106 0,0192 0,0336 0,0538 0,0778 0,0948 0,1114 0,1328 0,1486

0,974 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

0,0078 0,0102 0,0138 0,0216 0,0334 0,049 0,0666 0,0786 0,0904 0,105 0,116

0,0076 0,0097 0,0124 0,0162 0,0167 0,0123 0,0066 0,0040 0,0022 0,0011 0,0006

0,624 0,816 1,104 1,728 2,672 3,92 5,328 6,288 7,232 8,4 9,28

A partir de los datos obtenidos se obtuvo las gráficas siguientes:

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Comentarios generales de la curva. En general se puede observar a partir la curva CO que el plan 1 es más estricto que los demás pero presenta niveles de seguridad deficientes. Con el auxilia de Excel y con la distribución de poisson se sacó la probabilidad de aceptar un lote con un nivel de calidad aceptable (1%) n 13 50 80

c 0 1 2

Pa si p=0,01 87,81% 90,98% 95,26%

λ 0,13 0,5 0,8

1,00%

En primera instancia, como se observa en la gráfica y el cuadro, existe una alta probabilidad de aceptación de lotes con niveles iguales al NCA, en los 3 planes. Pero a medida que el porcentaje de defectivo aumenta, los niveles de seguridad del plan 1 son más permisibles que el de los demás, como se observa a continuación: n 13 50 80

c 0 1 2

Pa si p=0,05 52,20% 28,73% 23,81%

λ 0,65 2,5 4

5,00%

En general, el plan 1 tiene niveles de seguridad más permisivos y el plan 2 y 3 tienen cierta similitud. Analizando la curva CPS hay una gran diferencia entre el plan 1 y los demás, pero los otros dos planes comparten cierta similitud. Conclusión: Si fuera comprador escogería el plan 2, ya que tiene un desempeño similar al del plan 3, y sería menos costoso, ya que se analizaría menos unidades por lote.

18. En una empresa se ha aplicado un muestreo de aceptación con base en MIL STD 105E, en el que usan NCA de 1.5%. Conteste lo siguiente: a) Suponiendo los lotes de 12 000 piezas y usando un nivel de inspección normal (II) encuentre los planes normal, reducido y severo que se aplicarán. Datos N = 12000 NCA = 1.5 % NI = II

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Con esta calidad acordada se busca que lotes de 12000 que ingresen con 1.5% de artículos de defectuosos, sean aceptados con facilidad y que tengan una probabilidad aceptación entre 089% 0.99%.

-

Dada la información anterior se encuentra en la tabla 12.6 que La letra código correspondiente es M

-

De acuerdo con la letra código y el NCA en las tablas 12.7, 12.8 y 12.9 se hallan los respectivos planes de muestro para inspección normal, severa y reducida respectivamente. PLAN DE MUESTREO Normal Severo Reducido

n 315 315 125

Ac 10 8 5

Re 11 9 8

En el cuadro se detalla los planes para cada tipo de inspección. Por lo tanto el plan simple por atributos y por inspección normal que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados, es n = 315, Ac = 10, Re = 11. Bajo este plan se acepta el lote cuando se obtienen 10 o menos defectuosos y se rechaza cuando se obtienen 11 o más defectuosos. El plan simple por atributos y por inspección severa que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados, es n = 315, Ac = 8, Re = 9. Este plan tiene el mismo tamaño de muestra que el normal pero se es más estricto debido a que el número de aceptación disminuye. Bajo este plan se acepta el lote cuando se obtienen 8 o menos defectuosos y se rechaza cuando se obtienen 9 o más defectuosos. El plan simple por atributos y por inspección reducida que ayuda a garantizar los niveles de calidad acordados, es n = 125, Ac = 5, Re = 8. Bajo este plan se acepta el lote cuando se obtienen 5 o menos defectuosos y se rechaza cuando se obtienen 8 o más defectuosos. Cabe recalcar que cuando se obtienen 6 o 7 defectuosos se acepta el lote pero se debe aplica el plan de inspección normal para el siguiente lote. b) De acuerdo con lo anterior, ¿este plan garantiza que no se acepten lotes con un porcentaje de defectuosos mayor a 1.5%? Explique. Este plan no garantiza que no se acepten lotes con un porcentaje de defectuosos mayor a 1.5% Para explicar este punto se procede a analizar el plan con la curva CO Los datos para un plan normal, n=315 y Ac = 10 son:

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Pa 0,995 0,991 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

PLAN DE MUESTREO NORMAL p p*pa 0,0138 0,0137 0,0150 0,0149 0,0196 0,0186 0,0222 0,0200 0,0274 0,0205 0,0338 0,0170 0,0414 0,0103 0,0490 0,0048 0,0538 0,0027 0,0584 0,0015 0,0640 0,0006 0,0680 0,0003

np 4,347 4,725 6,174 6,993 8,631 10,647 13,041 15,435 16,947 18,396 20,16 21,42

A partir de la CURVA CO se observa que: Que aquellos lotes que ingresen con una proporción de artículos defectuosos menor o igual a 1.5%, son aceptados con facilidad, con una alta probabilidad mayor o igual a 99% A medida que la proporción de artículos defectuosos es mayor a 1,5% cada vez es menos probable que los lotes correspondientes sean aceptados. Aquellos lotes que ingresan con una proporción menor a 4.9%, tienen poca probabilidad de ser aceptados, menor o igual a 10%.

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Es por esto que este plan no garantiza que no se acepten lotes con un porcentaje de defectuosos mayor a 1.5%, sino que garantiza que lotes con una proporción de artículos defectuosos iguales a 1.5% tengan una alta probabilidad de aceptación.

c) Si el tamaño de lote en lugar de 12 000, fuera de 32 000, compruebe que de acuerdo con MIL STD105E el tamaño de muestra y el número de aceptación serían los mismos. ¿Por qué cree usted que ocurre esto? El plan es el mismo, esto se debe a que en el método MIL STD 105E no todos los tamaños de muestras son posibles. Debido a esto el método MIL STD 105E agrupa tamaños de lotes para su clasificación. 12000 y 3200 se encuentran dentro de la misma clasificación.

21. En una empresa se usa un método de muestreo de aceptación que consiste en lo siguiente: se toma una muestra de 10% de lote, y si en ésta se encuentra 1% o menos de piezas defectuosas entonces el lote es aceptado, en caso contrario el lote es rechazado. Los tamaños de lote más frecuentes son de 1 000 y 2 000 piezas, por lo tanto (n = 100, c = 1) y (n = 200, c = 2), respectivamente. De acuerdo con lo anterior conteste: a) ¿En general cuál es su opinión acerca de este método de muest...