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Ejercicios PC1 Curso:

Dinámica

Sección:

CV54

Profesor: Anwar Julio Yarin Achachagua

Libro:

R.C. Hibbeler

Capítulo: 12

Integrantes: Ayllón Misari, Victor Alonso

u201611236

García Coveñas, Raul Sebastian

u201611665

Ochoa Luis, Elton Gianmarco

u201611244

Sotomayor Ramos, Gonzalo

u201611590

Yturrarán Valdivia, Rodrigo Alvaro

u201612350

Dinámica

Ejercicio 12-73. Una partícula viaja a lo largo una parábola descrita por la ecuación 2 y=b x 2 m . Si su componente de velocidad a lo largo del eje Y es V y =ct m / s . Determine los componentes de la aceleración. Considere b y c como constates. Solución: y=∫ V y dt y=∫ c t 2 dt c y= t 3 3

De mismo modo ahora tenemos con la expresión de la velocidad Y podemos hallar su aceleración por medio de la derivada…

a y=

Ahora reemplazamos la expresión hallada con la descrita en el enunciado…

c t 3 =b x 2 3 x=

√

dy d = [ c t 2] dt dt

a y =2 ct m/s2

c 3 /2 .t 3b

Entonces ahora tenemos la expresión del eje X y podemos hallar su aceleración por medio de la doble derivada…

√

2

a x=

c 3 /2 d x d2 .t ] = 2[ 2 3 b dt dt

a x=

√

3 c 1 4 3 b √t

m/s2

RESPUESTAS

√

3 c 1 m/s2 4 3b √t a y =2 ct m/s2

ax=

2

Dinámica

Ejercicio 12-74. La ecuación v ={16 t 2 i+ 4 t 3 j+ ( 5 t+2 ) k }m / s da la velocidad de una partícula, donde t está en segundos. Si la partícula está en el origen cuando t=0, determine la magnitud de la aceleración de la partícula cuando t=2s. También, ¿cuál es la posición x, y, z de la partícula en este instante? Solución: Datos: 2 3 v = {16 t i+ 4 t j+ ( 5 t+2 ) k }m / s

t=0 s., x=0 m. 1. Hallar la magnitud de la aceleración, cuando t=2s 2 2 a= v´ ={ 32t i+12 t j+5 k }m/ s

at =2 s= { 64 i+ 48 j+5 k} m / s

2

|a|= √2 64 2+ 482 +52=80.156 m / s2 2. Hallar la posición x, y, z; cuando t=2s t

{

S=∫ v= 16 0

(

)}

t3 t2 i+t 4 j+ 5 +2 t k m 3 2

S t =2 s ={ 42.667 i+16 j+14 k } m *En coordenadas (x, y, z): (42.667, 16.0, 14.0) m

RESPUESTAS

|a|=80.156 m /s 2 (x, y, z): (42.667, 16.0, 14.0) m

3

Dinámica

Ejercicio 12-76. La caja se desliza por la pendiente descrita por la ecuación 2 m, donde x esta en metros. Si los componentes x de la velocidad y y =0.05 x 2 v x =−3 m /s a x =−1.5 m /s , respectivamente, aceleración de la caja son y cuando x=5 m , determine los componentes “y” de la velocidad y aceleración de la caja en este instante. Solución: Datos: x= 5 m ´x =v x =−3 m /s 2 ´x =a x =−1.5 m /s

Ecuación de y en m con respecto a x: 2 y =0.05 x 1. Calculo de la componente y de la velocidad: Derivamos la ecuación de y con respecto al tiempo. vy=

dy d = [ 0.05 x 2 ]=0.1 x ´x dt dt

Para el t en donde x= 5m: v y =0.1 (5 )( −3 )=−1.5 m /s v y =1.5 m/ s(↓) 2. Calculo de la componente y de la aceleración: Derivamos la ecuación de v y respecto al tiempo. a y=

d vy d = [ 0.1 x x´ ] =0.1( ´x 2+x x´ ) dt dt

−3 ¿ ¿ Para el t en donde x= 5m: 2 ¿=0.15 m /s a y =0.1 ¿ a y =0.15 m/s 2(↑)

RESPUESTAS

v y =−1.5 m/s 4

a y =0.15 m /s

2

con

Dinámica

Ejercicio 12-78. Las espigas A y B están restringidas a moverse en las ranuras elípticas por el movimiento del eslabón ranurado. Si este se mueve a una rapidez constante de 10 m/s, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la espiga A cuando x=1m. Solución: 

Para la velocidad

Ecuación:

x2 + y 2=1 4

Vx

Derivar la ecuación respecto a los componentes X y Y 1 2 x ´x +2 y ´y =0 4 1 xV x +2 y V y =0 2

… (1)

Hallar “y” remplazando x=1 2

(1) + y 2=1 4

,

y=

√3 2

Como la V x =10m / s y se sabe que √3 ¿V y =0 2 1 (1)10+2 ¿ 2

,

V y=

y=

√3 2

, x=1, remplazar los valores en (1).

−5 ≅−2,887 m /s √3

Con los resultados de Vx y Vy , hallar la magnitud de la velocidad : 2 2 2 2 V = √ V x +V y = √(10) +(−2.887 )



V =10.408 m /s

Para la aceleración

Derivar (1) 1 xV x +2 y V y =0 2 1 ( ´x ´x + x ´x )+2( ´y ´y + y ´y )=0 2 V ¿ 2 (¿ x ¿ ¿ 2+ x a x )+2(V y + y a y )=0 ¿ 1 ¿ 2

Hallar la magnitud de la aceleración 2 2 a= √ a x +a y 2 a= √ (0) +(−38.492 ) a=38.492m/ s2

RESPUESTAS

V =10.408 m /s

a=38.492m/ s2 5

Dinámica

Reemplazar los valores de Vx, Vy , y , x y la a x en (2). 1 √ 3 a )=0 … (2) (102 +1 (0))+ 2 (−2.8872 + 2 y 2 a y =−38.492 m/ s

Ejercicio

12-80.

2

vagoneta viaja por la colina descrita por y=( −1.5 ( 10 ) x +15 ) pies . Si tiene una rapidez constante de 75 pies/s, determine los componentes x y y de su velocidad y aceleración cuando x=50 pies. −3

La

2

Solución: Hallando la velocidad −3 2 y=( −1.5 ( 10 ) x +15 )

´y =−3 ( 10−3 ) x ´x V y =−3 ( 10

−3

)xV x

El dato de x= 50pies Reemplazar X=50 pies y Vx= -74.17 en (2)

V y =−3 ( 10 ) (50)V x V y =−0.15V x … (1) −3

a y =−3 ( 10−3 ) ( (−74.17 )2+ ( 50 )ax ) a y =−16.504−0.15 a x … (3)

Luego remplazar (1) en la magnitud de la velocidad. 2 2 2 2 V = √ V x +V y = √V x +(−0.15 V x ) 2 75= √1.0255 V x V x =−74.17 pies / s

Como la velocidad es constante en todo el camino entonces la aceleración tangencial es igual a 0. Hallar el ángulo con la derivada de y respecto a x en la ecuación.

Remplazar Vx en (1)

θ=−8.531°

V y =− 0.15 (−74.17 ) V y =11.12 pies / s

Entonces:

a x cos 8.531°−a y sin 8.531°=0. ..(4) Reemplazando (3) en (4)

Hallando la aceleración La segunda derivada de la ecuación

a x =−2.421 pies /s

2

a y =−16.141 pies/ s

´ −3 ´y =−3 ( 10 ) x ´x ´y =−3( 10−3 ) ( ´xx´+ x a x )

2

RESPUESTAS

−3

a y =−3(10 )( V x 2+ x a x ) …(2)

V x =−74.17 pies / s 6

V y =11.12 pies / s a x =−2.421 pies /s

2

a y =−16.141 pies/ s2

Dinámica

Ejercicio 12-83. El carro de la montaña rusa desciende por la trayectoria helicoidal a velocidad constante de modo que las ecuaciones paramétricas que definen su posición y=c cos kt , z=h−bt , donde c, h y b son constantes. son x=c sin kt , Determine las magnitudes de su velocidad y aceleración. Solución: Datos x=c sin kt y=c cos kt z=h−bt

Hallar la primera y la segunda derivada para remplazar en la magnitud de la velocidad y aceleración. x=c sin kt

y=c cos kt

z=h−bt

´x =ck cos kt

´y =− ck sin kt

´z =−b

´x =−c k 2 sin kt

´y =− ck 2 cos kt

´z =0

v = √ v x2 +v y2 + v z2 v = √(ck cos kt) +(− ck sin kt ) +(− b ) 2

2

2

2 2 2 v = √ c k +b 2 2 2 a= √ a x +a y + a z

a= √(−c k 2 sin kt )2 +(−c k 2 cos kt)2 +( 0)2 a=c k

2

RESPUESTAS 2 2 2 v = √ c k +b

a=c k 7

2

Dinámica

( ) 2

x , donde x 400 y y están en pies. Si el componente de velocidad en la dirección x es v x =2 pies / s y permanece constante, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración cuando x= 20 pies.

Ejercicio 12-85. Una partícula se mueve a lo largo de la curva

y=x−

Solución: Datos:

( ) x2 400

y= x−

→

v x =2 pies / s es constante, entonces:

a x =0 pies/s 2

1. Hallar la magnitud de la velocidad, cuando x=20 v x =2 pies / s v y = ´y= v y =2−

( )

2 x x dy . vx (x− ) → v y =v x − 200 400 dx

20 ∗2=1.8 pies / s 200

|v|= √2 1.82 + 22=2.69 pies / s

1. Hallar la magnitud de la aceleración, cuando x=20 a x =0 pies/s 2 a y = ´y = a y =0−

( )

1 x2 d2 y .(v x 2 +x a x ) (x− ) → a y =a x − 2 200 400 dx

1 .( 22 +20∗0 )=−0.02 pies /s 2 200

|a|= √2 02 +(−0.02)2 =0.02 pies / s2 RESPUESTAS 8

|v|=2.69 pies /s |a|=0.02 pies/s 2

Dinámica

Ejercicio 12-86. La motocicleta viaja a rapidez constante v 0 a lo largo de la trayectoria que, durante una corta distancia, adopta la forma de una curva seno. Determine los componentes x y y de su velocidad en cualquier instante en la curva. Solución:

y

1. Hallamos la velocidad de y=c sin( vy=

π x) L

con la ecuación

( )

π π c cos x v x , y ahora con L L

[

2 2 v 0 =v x 1+(

[

v x =v 0 1 +(

( )

π π ´y = c cos x ´x L L

; derivamos en x :

π 2 2 π x) cos ( x ) L L

π 2 2 π x ) cos ( x) L L

]

v 02=v y 2 +v x2

hallamos v x

,

]

−1 2

( )[

2 v 0 πc π π π x cos vy= 1+( x) cos2 ( x ) L L L L

]

−1 2

RESPUESTAS

[

2

π π v x =v 0 1+( x ) cos2 ( x) L L vy=

( )[

]

−1 2

2 v 0 πc π π π x 1+( x) cos2 ( x ) cos L L L L

9

]

−1 2

Dinámica

Ejercicio 12-117. A partir de que arranca, el bote se desplaza alrededor de la trayectoria circular, ρ=50 m , a una rapidez de v =0.8 t m / s , donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del bote cuando ha viajado 20m. Solución: Derivar la velocidad para obtener la aceleración e Integrar para hallar la ecuación de la posición. v =0.8 t m / s

a= v´ =0.8 m/s2 ds = vdt 20 m

t

0

0

∫ ds=∫0.8 t dt

RESPUESTAS

v =5.657 m/s

20=0.4 t2 t=7.071 s

a=1.024 m /s

Reemplazar t en la velocidad: v =0.8(7.071)m/ s v =5.657 m/s Hallando la magnitud de la aceleración 2 at = v´ =0.8 m /s

( )( 2

an =

2

)

v 5.657 2 =0.640 m /s = ρ 50

La magnitud de la aceleración es : 2 2 a= √ at + an 2 2 a= √ 0.8 + 0.640

a=1.024 m /s

2

10

2

Dinámica

Ejercicio 12-119. Un automóvil corre en vueltas alrededor de una pista circular de 250 pies de radio y su rapidez durante corto intervalo es de 0 ≤t ≤ 2 s 2 v =3 ( t + t ) pies / s , donde t esta en segundos. Determine la magnitud de la aceleración del automóvil cuando t=2 s . ¿Qué distancia recorrió en t=2 s ? Solución: Datos ρ=250 pies

Para 0 ≤t ≤ 2 s ,

2 v =3 ( t + t ) pies / s

1. Calculo de la magnitud de la aceleración para t = 2s a =at + an a = v´ e t +

v2 e ρ n

Para v´ v´ =

2 dv d [ 3 ( t+ t ) ] = =3+ 6 t dt dt

Cuando t=2s, ´v =3+6 ( 2 )=15 m/s 2

2

Para

v ρ

En t=2s

2 v =3( 2+2 ) =18 pies/s y ρ=250 pies

v 2 182 2 = =1.296 pies / s ρ 250 Entonces, cuando t=2s,

a =15 et +1.296 en

2 2 2 |a|= √15 + 1.296 =15.0559 pies/s

2. Calculo de S cuando t=2s

RESPUESTAS

|a|=15.0559 pies /s 2 ΔS =14 pies

11

Dinámica

Ejercicio 12-120. El automóvil se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de tal modo que su rapidez se incrementa en at =( 0.5 e t )m / s2 , donde t está en segundos. Determine las magnitudes de su velocidad y aceleración después de que ha recorrido s=18 m a partir del reposo. No tome en cuenta las dimensiones del automóvil.

At A

An

Hallando la ecuación de la velocidad a=

Hallando la velocidad cuando t=3.7064 s v = (0.5 e − 0.5 ) m /s

dv dt

t

dv = adt v

v

t

0

0

v = (0.5 e

∫ dv =∫ a dt

→

∫ dv=∫ ( 0.5 e ) dt 0

−0.5 ) m /s=19.8535 m /s

Hallando la magnitud de la aceleración a =at + an

t

t

3.7064

t t 0

→ v =( 0.5 e )

0

t a = (0.5 e ) e^t +

v2 ^e n ρ

t a = (0.5 e ) e^t +

(19.8535) ^e n 30

v =( 0.5 e t− 0.5) m/s Hallando el tiempo v=

ds dt

2

(19.8535) e^ n at =2=( 0.5 e 2 ) ^et + 30

ds = vdt s

→

v

t

0

0

a =20.3535e^t +13.1387 ^en

∫ ds=∫ v dt

|a|= √2 ( (20.3535 )2+(13.1387 )2)

t

∫ ds=∫ ( 0.5 et −0.5) dt 0

2

|a|=24.2258 m/s 2

.

0

s=(0.5 e t−0.5t )t0 s=( 0.5 et −0.5 −0.5t) m t

18=0.5 e −0.5 −0.5

RESPUESTAS

t

|a|=24.2258 m/s 2

t=3.7064 s .

12

Dinámica

Ejercicio 12-122. El tren pasa por el punto A con una rapidez de 30 m/s, la cual comienza a reducirse a un ritmo constante de at =-0,25m/s2. Determine la magnitud de la aceleración cuando llega a B donde Sb= 412m.

ên

êt  V

Solución: Datos Aceleración constante igual a at =-0,25m/s2 0.8 3 /2

x

ρ=

y=200 e 1000 x dy 1 1000 = e dx 5 x d2 y 1 1000 e = d x 2 5000

2

a=−0,25 ê t +

v B2 =v2A+2. a . d 2 2 v B =30 +2(− 0,25)( 412 ) v =26.34 m /s

a=v´ . ê t +

0,1821 ¿ ¿ (−0,25 )2+ ¿ |a|= √¿

ρ=

v ê ρ n

[ ( )] | | 1+

dy dx

2 3 2

|a|=0,3093 m /s 2

d2 y d x2

(

x

)

2 3 /2

1 [1+ . e 1000 ] 5

|1

.e

|

x/ 1000

RESPUESTAS

26.34 ê 3 808,96 n

a=−0,25 ê t +0,1821 ê n

2

ρ=

(1+0,04 . e ) 1 .e 0,4 500 ρ=3 808,96

|a|=0,3093 m /s 2 13

Dinámica

x=400

Ejercicio 12-124. Si el automóvil pasa por el punto A con una rapidez de 20 m/s y comienza a incrementarse a razón constante de a t = 0,5 m/s2. Determine la magnitud de la aceleración cuando haya avanzado a S=100m.

ên

 V

êt

Solución: (1)3 /2 2 625 ρ=312,5

1 2 x 625 dy −2 = x dx 625 2 d y −2 = d x 2 625 y=16−

ρ=

a=0,5 ê t +

2 2 v S=100 =v A+2. a . d 2 2 v S=100 =20 + 2(0,5 )(100 ) v S=100=22,36 m /s

a=0,5 ê t +1,60 ê n

1,60 ¿ ¿ 2 (0,5) +¿ |a|=√ ¿

2

a=v´ . ê t +

ρ=

v ê ρ n

[ ( )] | | dy 1+ dx

2 3 2

|a|=1,6763 m /s 2

d2 y d x2 2 3 /2 [1+ −2 x ] 625 ρ= −2

(

22,362 ê 312,5 n

)

| |

RESPUESTAS

2 |a|=1 , 6763 x=0 m/ s

14

Dinámica

15

Dinámica

Ejercicio 12-126. Cuando el automóvil pasa por el punto A su rapidez es de 25 m/s. Si se aplican los frenos, su rapidez se reduce en at =( 0.001 s−1) m/s 2 . Determine la magnitud de su aceleración un poco antes de que llegue al punto C.

a

an

at

Datos v =25 m /s

en t=0 seg

1.Integramos la aceleración para hallar la velocidad v

dv = ads

s

∫ vdv=∫ ( 0.001 s −1) ds 2

25

0

, obtenemos v = √ 0.001 s2−2 s+625

La posición del carro en C: s c =200+250 punto será:

( π6 )=330.90

; la velocidad del carro en ese

v c = √0.001 (330.90 )−2 ( 330.90) +625=8.526 m /s 2

( at ) c =v´ = [0.001 ( 330.90 )−1] =−0.6691 m /s 2 2

v c 8.526 2 2 =0.2908 m / s c=¿ = , con estos datos la magnitud del carro en el punto 250 ρ ( an )¿ C es:

0.2908 ¿ ¿ ¿2 (−0.6691 )2 +¿ 2 2 a= √(a t )c +( an )c =√ ¿

RESPUESTAS

a=0.730 m / s 16

2

Dinámica

Ejercicio 12-130. Si la montaña rusa empieza del reposo en A y su rapidez se incrementa en at = (6-0.06S) m/s2, determine la magnitud de su aceleración cuando pasa por el punto B donde SB = 40 m.

ên  V

êt Solución: [1+( 30 / 50)] 3/ 2 1 50 ρ(30 )=79,30

1 2 x 100 dy = 1 x dx 50 d2 y 1 = 2 d x 50 y=

ρ(30)=

a =3,6 ê t + v

s

∫ Vdv=∫ads 0

19,602 ê 79,3 n

a =3,6 ê t + 4,842 ê n

0 2

v =aS 2 v 2=2[(6−0.06 S) S] 2 v =√12 S−0.06 S

4,842 ¿ ¿ (3,60)2+ ¿ |a|=√ ¿

v ( S=40 ) =19,60 m/s a(s=40)=3,6 m/s2 a=v´ . ê t +

|a|=6,030 m/s 2

v2 ên ρ

[ ( )] | | dy 1+ dx

2 3 2

RESPUESTAS

d y

2 |a|=6,030 d xm2 /s

17

Dinámica

( )

2 3/ 2

[1+ ρ=

x ] 50 1 50

| |

Ejercicio 12-132. El automóvil viaja a una rapidez constante de 30 m/s. El conductor −1 t m/s2 , aplica entonces los frenos en A con lo cual su rapidez se reduce de at = 8 donde t está en segundos. Determine la aceleración del automóvil un poco antes de que pase por el punto C de la curva circular. Se requieren 15 s para que el automóvil recorra la distancia de A a C .

( )

a

an

at

Hallamos la velocidad para cualquier instante: v

dv = at dt

,

t

tdt ∫ dv=∫ −1 8 30 0

,

(

)

v = 30− 1 t 2 m/s 16

Y ahora para hallar la posición: s

ds = vdt

,

t

1 2 t )dt ∫ ds=∫ (30− 16 0

,

0

(

)

s= 30− 1 t 3 m 48

Y ahora la posición en punto C 15 (¿¿ 3)=379.6875 m , s BC= s c −s B =379.6875−100 = 279.6875m 1 s c =30 ( 15 )− ¿ 48 ρ=

sBC 279.6875 = =356.11 m θ π 4

at c =´v =

−1 ( 15 )=−1.875 m/s 2 , 8

v c =30−

anc =

1 ( 152 ) =15.9375 m /s 16

v c2 15.93752 = =0.7133 m/s2 ρ 356.11

Y entonces la magnitud de la aceleración en C es: 18

Dinámica

ac = √(−1.875 )2+(0.7133 )2=2.01 m /s 2

RESPUESTAS ac =2.01m/s

19

2

Dinámica

Ejercicio 12-135. El auto de carreras viaja a una rapidez constante de 240 km/h de una pista elíptica. Determine la aceleración experimentada por el piloto en B. Solución: Datos v =240

(

km 1000m 1 km h