Apostila Circuitos-Goulart Cap 12 PDF

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“Análise de Circuitos em Regime Permanente Senoidal”

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12 – ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL Na análise de um circuito de corrente alternada, os respectivos fasores de tensões e correntes senoidais são usados com resistências e reatâncias, da mesma maneira que tensões e correntes são usadas com resistências na análise de um circuito de corrente contínua. O circuito original de corrente alternada, chamado de circuito no domínio do tempo, é transformado num circuito no domínio da freqüência, o qual tem fasores ao invés de tensões e correntes senoidais (instantâneas), e reatâncias ao invés de indutâncias e capacitâncias. As resistências permanecem inalteradas (com a transformação). O circuito no domínio da freqüência tem a vantagem de que as resistências e reatâncias têm a mesma unidade, Ohm[Ω], e, portanto, combinam–se da mesma maneira com que os resistores se combinam numa análise de circuito de corrente contínua. Além disso, a análise do circuito no domínio da freqüência não requer o emprego do cálculo diferencial, mas apenas a álgebra dos números complexos. Portanto, todos os conceitos da análise de circuitos de corrente contínua se aplicam, igualmente, à análise de um circuito no domínio da freqüência, mas, é claro, são usados números complexos ao invés de números reais. Este Capítulo é uma continuação dos Métodos Fasoriais do Capítulo 11, com a diferença de que lá eram as equações íntegro–diferenciais que eram transformadas em equações algébricas complexas pela introdução dos fasores das tensões e correntes. Agora é o próprio circuito original que é representado no domínio da freqüência (transformado), e, depois, equacionado algebricamente, eliminando–se, assim, a necessidade de escrever previamente as equações íntegro–diferenciais. 12.1 – Elementos de circuito no domínio da freqüência A transformação de um circuito no domínio do tempo num circuito correspondente no domínio da freqüência exige que sejam previamente estabelecidas as relações entre os fasores da tensão e da corrente para resistores, indutores e capacitores. Conforme mostrado no Capitulo 11, Exemplo 156, Eq. (360), a impedância de um elemento de circuito, isto é, a sua representação no domínio da

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freqüência, é definida como sendo o quociente do fasor da tensão sobre ele pelo fasor da corrente através dele: E Z= , (363) I que é semelhante à lei de Ohm (R=e/i), exceto pelo fato de estarem envolvidos números complexos. Portanto, para que possamos converter um circuito de corrente alternada do domínio do tempo para o domínio da freqüência, necessitamos estabelecer qual é a impedância correspondente de uma resistência, de uma indutância e de uma capacitância. Consideremos, então, primeiramente, a relação para um resistor de resistência R Ohms. Para uma corrente i(t)=I cos (ωt + θ ) [A] , a tensão do resistor é, obviamente, e(t)=RI cos (ωt + θ ) [V]. Em termos fasoriais, E = RI∠θ [ V ] e

I = I∠θ [ A ] Então, E = = R = R + j0 [ Ω ] Z I

(364)

Este resultado mostra que a resistência R de um resistor relaciona os fasores da tensão e da corrente da mesma forma que relaciona a tensão e a corrente instantâneas: R=e(t)/i(t). Devido a esta  / I = R pode ser representada no domínio da similaridade, a relação E freqüência da mesma maneira que e(t)/i(t)=R é representada no circuito original no domínio do tempo. Isto é ilustrado na Figura 197.

(a)

(b)

Figura 197 – (a) Representação de uma resistência no domínio do tempo, (b) representação correspondente no domínio da freqüência.

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Para um indutor de indutância L Henries, a corrente i(t)=Icos(ωt+ θ)[A] produz uma tensão: di( t) = −ω LIsen( ωt + θ ) = ω LIsen( ωt + θ + 180 o ) = dt = ω LI cos( ωt + θ + 90 o )[ V ]

e( t ) = L

Os fasores correspondentes são: E = ωLI∠ ( θ + 90 o ) [ V ] e I = I∠θ [ A ]

Portanto, Z=

o E = ωL∠90 o = ωLε j 90 = jωL = 0 + jωL [ Ω ] I

(365)

Visto que ω L é a reatância indutiva XL, como definido no Capítulo 10 (página 269), podemos escrever também que:

Z = jω L = jX L [ Ω ]

(366)

É oportuno observar que jωL relaciona os fasores da tensão e da corrente do indutor da mesma maneira que R relaciona os fasores da tensão e da corrente do resistor. Consequentemente, jωL tem uma similar ação limitadora da corrente e a mesma unidade 0hm. Além disso, devido a seu multiplicador j=j1, ela produz uma defasagem de 90º, pois j1=1 ∠ 90º.  / I = R e E / I = jωL , a Tendo em vista a similaridade de E transformação do elemento de circuito no domínio do tempo num elemento no domínio da freqüência, no caso do indutor, como mostrado na Figura 198, fica evidente. O símbolo usual de indutor no domínio do tempo ( ) é também usado no domínio da freqüência, mas ele é associado ao jωL[Ω] ao invés de L[H] do circuito original no domínio do tempo. Obviamente, a tensão e(t) e a corrente i(t) são representadas pelos fasores correspondentes.

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(a)

(b)

Figura 198 – (a) Representação de uma indutância no domínio do tempo (b) representação correspondente no domínio da freqüência. Num capacitor de C Farads de capacitância, a corrente i(t)=Icos(ωt+θ) [A] produz uma tensão

e(t)= 1 ∫ i( t )dt = 1 ∫ I cos( ωt + θ )dt = I sen( ωt + θ ) = I cos( ω t + θ − 90o ) [ V ] C

ωC

C

ωC

Em termos fasoriais, I E = ∠( θ − 90 0 ) [ V ] ωC

e I = I∠ θ [ A ]

Portanto, a impedância correspondente é: E 1 1 −j 90 o 1 1 1 ∠ − 90o = = −j = =0− j ε Z=  = I ωC ωC ωC jω C ωC Como definido no Capítulo 10 (página 273), 1 capacitiva XC, permitindo escrever que: Z = −j

1 = − jXC [ Ω ] ωC

(367)

ωC é a reatância (368)

Nota 23: Alguns autores definem a reatância capacitiva XC como sendo igual a −1 ωC . Neste caso, Z = j(

−1 ) = j.X C [ Ω ] ωC

(369)

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A Figura 199 mostra a transformação do circuito no domínio do tempo num circuito no domínio da freqüência para um capacitor. No domínio da freqüência é usado o símbolo convencional de capacitor ( ), mas ele é associado a − j ωC [ Ω ] ao invés de C[F] do circuito original no domínio do tempo.

(a)

(b)

Figura 199 – (a) Representação de uma capacitância no domínio do tempo, (b)representação correspondente no domínio da freqüência. Exemplo 160: Achar a corrente de regime permanente i(t) no circuito série RLC da Figura 200–(a).

(a)

(b)

Figura 200 – (a) Circuito RLC série do Exemplo 160, (b) circuito no domínio da freqüência correspondente. Solução: O primeiro passo é construir o circuito correspondente no domínio da freqüência, mostrado na Figura 200–(b), no qual a corrente e as tensões são representadas pelos respectivos fasores, a

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indutância de 2[H] é substituída por j ωL = j( 4 )( 2 ) = j8 [ Ω ] e a capacitância de 1/16[F] é substituída por −j 1 = −j ωC ( 4 )( 1

16

)

= − j4 [ Ω ]

A resistência, é claro, fica inalterada. O próximo passo é aplicar a Lei das tensões de Kirchhoff ao circuito do domínio da freqüência: E = E R + E L + E C (370) O terceiro passo, obviamente, é substituir E por 40∠ 20º , E R  por j8 I e E por − j4 I . Com estas substituições, a Eq. por 6 I , E L C (370) se torna 40 ∠20 o = 6 I + j8 I − j4 I = ( 6 + j4 ) I,

da qual 40∠ 20 o 40 ∠20 o I = = = 5 ,55 ∠ − 13 ,7 o [ A ] o 6 + j4 7 ,211∠33 ,69

Finalmente, i( t ) = PR [ Iε j 4 t ] = 5 ,55 cos( 4 t − 13 ,7 o [ A ]

12.2 – Impedância e admitância Para um circuito de dois terminais com um fasor de tensão de entrada E e um fasor de corrente de entrada I , como mostrado na Figura 201, a impedância do circuito, Z, é definida como E Z= I

Figura 201 – Circuito de dois terminais com fasor de tensão de entrada E e fasor de corrente de entrada I .

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Para esta impedância existir, o circuito não pode conter nenhuma fonte independente, ou seja, deve ser passivo, embora possa ter qualquer número de fontes controladas. Esta impedância é normalmente chamada de impedância total, impedância de entrada ou impedância equivalente. Em geral, e não apenas para os circuitos em série, Z = R + jX = R 2 + X 2 ∠tg − 1 ( X ), R

(371)

na qual R, a parte real de Z, é a resistência, X, a parte imaginária de Z, é a reatância, Z = R 2 + X 2 é o módulo da impedância e < Z = tg −1 ( X

R

) é o ângulo da impedância.

Como se pode notar de Z = E I , o ângulo da impedância,  < Z =< E − < I , é o ângulo através do qual a tensão de entrada E avança em relação à corrente de entrada I , contanto que este ângulo seja positivo, ( < Z > 0 ) ou, de forma equivalente, < Z é o ângulo através do qual a corrente de entrada I se atrasa em relação à tensão de entrada E . Um circuito com um ângulo de impedância positivo (R>0, X>0) é, muitas vezes, chamado de circuito indutivo, porque as reatâncias indutivas superam as reatâncias capacitivas para fazer com que a corrente de entrada se atrase em relação à tensão de entrada. Similarmente, um circuito que tem < Z < 0 é, muitas vezes, chamado de capacitivo (R>0, X0 se i1(t)=cos(106t)U–1(t) [A].

Figura 212 – Circuito referente ao Exemplo 169.

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Solução: A impedância vista pela fonte L = 10 −3 [ H ], C = 10 −9 [ F ] e ω = 10 6 [ rd / s ] é

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para

R = 2.10 3 [ Ω ],

(a) ⎛⎜ 1 ⎞ (R + j ωL ) R + jω L j ωC ⎟⎠ ⎝ Z= = = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + (R + jω L ) 1 + jωCR − ω 2 LC ⎝ jω C ⎠

=

2.103 + j106 .10 −3 = 1 − 1012 .10 −3 .10 −9 + j10 6 .10 −9 .2.10 3

=

2.10 3 + j10 3 2 ,24.10 3 ∠26 ,6 o = = 1,12.103 ∠ − 63 ,4 o = 1120∠63 ,4 o [Ω ] o j2 2 ∠90

Sendo E 0 = ZI e I = 1 ∠0 o [ A ] ,

E0 = 1,12.10 3 ∠ − 63 ,4 o [ V ] e

e0 ( t ) = 1,12.10 3 cos( 10 6 t − 63 ,4 o )[ V ]

(b) Considerando o nó inferior do circuito como nó de referência e chamando de e1(t) o nó situado entre a resistência R e a indutância L, podemos escrever as duas equações nodais seguintes: 1 ⎧ de0 C ( e 0 −e 1) = i 1 + ⎪⎪ dt R ⎨ ⎪ 1 ( e1 − e0 ) + 1 e1 dt = 0 ⎪⎩ R L∫

ou ⎧( RCD + 1) e0 − e1 = Ri1 ⎨ ⎩− LDe o + ( LD + R ) e1 = 0

Resolvendo este sistema de equações para e0(t), vem que:

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−1 −1 RCD + 1 Ri1 ( t ) e 0( t ) = − LD LD + R 0 LD + R

(RLCD

2

)

2 2 + R CD + LD + R − LD )e0 ( t ) = RLDi1 ( t ) + R i1 ( t )

ou 1 ⎞ 1 R ⎛ 2 R i (t ) ⎜D + D + ⎟ e0 ( t ) = Di1 ( t ) + L LC ⎠ C LC 1 ⎝

ou, ainda, d 2 e0 R de 0 1 1 di R + . + .e0 = . 1 + i1 2 L dt LC C dt LC dt

Introduzindo os valores numéricos, resulta que: d 2 e0 de di + 2.10 6. 0 + 1012 .e0 = 10 9 . 1 + 2.1015 .i1 dt dt dt

Como i(t) = cos (106t).U–1(t), di 1 = i1′ ( t ) = − 106 sen( 106 t ).U−1 ( t ) + cos( 106 t ) / .U0 ( t ) = dt = U 0 ( t ) − 106 sen( 106 t ).U −1 ( t ) Finalmente, a equação diferencial na incógnita e0(t) é d 2 e0 dt

2

+ 2.10 6 .

de0 + 1012 .e0 = 109 .U0 ( t ) + 1015 ( 2 cos 106 t − sen106 t )U −1 ( t ) dt

Para todo t>0, ela se torna

( D2 + 2.106 .D + 1012 ) e0 ( t ) = 10 15 .( 2 cos 10 6 t − sen10 6 t ) , porque U 0 ( t ) = 0 para t>0, e U −1 ( t ) = 1 para t>0. A solução particular desta equação diferencial, que representa a tensão e0(t) de regime permanente, já foi determinada no item (a) deste exemplo. Para obtenção da solução complementar, que é a resposta livre ou transitória, a equação característica é

D 2 + 2.10 6 .D + 10 12 = 0 que apresenta as raízes características r1 = r2 = −10 − 6 . Portanto, a resposta livre é 6

e0 ( t ) = ( K 1 + K 2 t ).ε − 10

t

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e a resposta completa é e0 ( t ) = ( K 1 + K 2 t ).ε −10

6t

+ 1,12.10 3 . cos( 10 6 t − 63 ,4 o ) , para t>0, 6

donde e0′ ( t ) = [ − 10 6 .K 1 + K 2 ( 1 − 10 6 t ] ε − 10 t − 1,12 .10 9 .sen( 10 6 t − 63 ,4 o ) , para t>0. Como e0(0–)=0, então e0(0+)=0[V], porque se as tensões e correntes permanecem finitas a tensão da capacitância não pode sofrer descontinuidade. Pelas mesmas razões, a corrente da indutância não pode sofrer descontinuidade, o que significa que iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) = 0 . Mas, como

iC ( t ) = i1 ( t ) − i L ( t ), iC ( 0 + ) = i1 ( 0 + ) − i L( 0+ ) = 1 − 0 = 1[ A] . Por outro lado, iC ( t ) = C.de0 ( t ) / dt , donde e′0 ( 0+ ) = (1 / C )i c ( 0 + ) = 1 / C [ V / s] .

Substituindo e0(0+)=0[V] e e0′ ( 0 + ) = 1/C [ V / s] nas expressões precedentes de e0(t) e e0′ ( t ) , tomadas em t=0+, obtemos que: e 0 ( 0 + ) = 0 = K 1 + 1,12.10 3.cos( −63 ,4 o ) = K 1 + 501 ,5 e0 ( 0+ ) =

1 = 10 9 = −10 6.K 1 + K 2 − 1,12.10 9.sen( −63 ,4 o ) = −10 6. K 1 + K 2 + 10 9 C

Então encontramos que K1= –501,5 K2= 106.K1=-501,5.106 Finalmente, e 0( t ) = −501 ,5 ( 1 + 106 .t ) ε −10

6

t

3 6 o + 1,12. 10 . cos( 10 t − 63 ,4 )[ V ] ,

t ≥0

Exemplo 170: Depois de permanecer na posição 1 por muito tempo, a chave k no circuito da Figura 213 é movida repentinamente para a posição 2 em t=0. Determine e0(t) para todo t>0.

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Figura 213 – Circuito do Exemplo 170. Solução: Com a chave K na posição 1 e com o circuito operando em regime permanente senoidal, a tensão nos terminais da capacitância é dada por (1

) E ( j6 ) 1 ∠ − 90 o 1 − j C ω o . 1 0 = ∠ − 45 o [ V ] E C = = ∠ = o 6 − j6 2 ∠ − 45 2 6+ 1 jωC

ou eC ( t ) =

No

instante

1 cos( 2t − 45 o )[ V ] 2

t=0+,

com

a

chave

K

já

na

posição

2,

1 eC ( 0 + ) = e C ( 0 − ) = cos( −45 o ) = 1 [ V ] = e 0 ( 0 + ) . Por outro lado, no 2 2

regime permanente de corrente contínua, a capacitância comporta–se como um circuito aberto, o que implica em e0 ( ∞ ) = 3 [ V ] . (Na realidade, para t>5T=5RC=5.(1/12)=5/12[s], a tensão e0(t) já é aproximadamente igual a 3[V]). Assim, para a tensão e0(t) variar de um valor inicial igual a ½[V] a um valor final igual a 3[V], ela tem que ser da forma

e0 ( t ) = 3 − Kε − 12t Para t=0+, e0 ( 0+ ) = 1 = 3 − K , K = 5 . Portanto, finalmente, 2 2 e0 ( t ) = 3 − 5 ε −12 t [ V ], para t ≥ 0. 2...