Ejercicios de resolución de Ecuaciónes PDF

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Summary

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. ... Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas...

Description

Operaciones básicas DOCUMENTO BASE

INTRODUCCIÓN Las operaciones básicas están siempre presentes en nuestra vida cotidiana, a través de las matemáticas podemos hacer frente a situaciones que requieren el uso de los números, por lo que ésta se convierte en una actividad esencial para la adquisición de conocimientos y habilidades tales como el pensar, razonar, resumir, comparar, clasificar e interpretar datos. Las operaciones matemáticas básicas posibilita al estudiante a: Entender de mejor manera las explicaciones de sus docentes, como también codificar y decodificar textos relacionados a su aprendizaje. Emplear sus aptitudes de forma responsable, es decir aplicar todas sus capacidades en la resolución de problemas académicos como de la vida diaria. Para el desarrollo de su pensamiento abstracto, realizaremos ejercicios y problemas en los cuales emplearemos la observación, el análisis y la síntesis como también las operaciones fundamentales de la aritmética, para lograr en todos ustedes la capacidad de razonamiento lo que les permitirá responder el porqué de las cosas. OBJETIVOS Identificar los datos y la incógnita en los problemas planteados para proceder a su respectiva solución. Desarrollar los ejercicios planteados, verificando el resultado obtenido y seleccionando la respuesta correcta. Repetir el proceso de los ejercicios cuantas veces sea necesario para que se adquiera las habilidades y competencias necesarias para este tipo de problemas. Resultados de aprendizaje Resolver operaciones matemáticas de nivel básico y medio de manera inmediata con toda la precisión posible mediante la practica continua. Dominar problemas de operaciones matemáticas básicas mediante la resolución de múltiples ejercicios y problemas para asegurar el ingreso a la educación superior.

Operaciones Básicas

Las operaciones básicas en matemáticas son cuatro:

Suma

Resta

Multiplicación

División

SUMA (+) 

Es una operación básica que, por su forma de análisis, se representa con el signo (+)



Este sigo combina o une a dos o más cifras numéricas para volverlas una sola entidad.



También podemos decir que es la operación matemática de composición, que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.



Las cifras que se suman se le llaman sumandos, y el resultado final es la suma total.

Es importante señalar que la suma y la resta son las operaciones matemáticas más básicas y las primeras que se aprenden durante la infancia. LAS LEYES DE LA SUMA La suma posee diversas propiedades, las cuales se encuentran clasificadas dentro de las leyes que la sostienen que son 5 y se conocen con los siguientes nombres: Ley conmutativa, Ley de uniformidad, Ley asociativa, Ley disociativa y Ley de monogamia. 

Ley Conmutativa

“El orden de los sumandos no altera la suma” Esta ley indica que, al sumar los mismos números, no importa el orden en el que se sumen los sumandos, el resultado siempre será el mismo. Ejemplo: 32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos 21 vestidos + 32 vestidos = 53 vestidos Es decir, la suma de 32 + 21 ó 21 + 32 cualquiera que sea el orden de los sumandos, siempre será igual a 53. 

Ley de Uniformidad

“La suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual” Esta ley indica que siempre que se sumen los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el resultado no cambiará. Ejemplo: a) 32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos b) 32 pollos + 21 pollos = 53 pollos c) 32 pesos + 21 pesos = 53 pesos Es decir, la suma de 32 + 21, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 53.



Ley Asociativa

“La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma” Esta ley indica que, al sumar varios números, su resultado no se altera si yo sumo primero dos de ellas (indicando la asociación dentro de un paréntesis) y a este resultado le sumo el otro (otros) sumandos. Ejemplo: 15 + 20 + 3 = 38 (15 + 20) + 3 = 38 35 + 3 = 38 Es decir, la suma 15 + 20 + 3 = 38 no cambia su resultado si yo sumo 35 + 3 = 38 (después de asociar primero 15 + 20 = 35). También podría sumar 15 + 23 = 38 (después de asociar 20 + 3 = 23). 

Ley Disociativa

“La suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos” Esta ley indica que, al descomponer un sumando en dos o más sumandos más pequeños, su resultado no se altera. Ejemplo: Si tengo la suma 45 + 83, puedo descomponer el 45 en dos sumandos: 40 + 5 y el 83 en 80 + 3 y si sumo estos sumandos el resultado es el mismo. 45 + 83 = 128 40 + 5 + 80 + 3 = 128 Esta ley es recíproca de la ley asociativa.



Ley De Monotonía

Primera parte. “Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido” Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades. Ejemplo: Si tengo la suma 12 < 43 10 = 10 12 + 10 < 43 + 10 22 < 53 Segunda parte. “Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido” Esta ley indica que, al sumar sumandos con desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual. Ejemplo: Si tengo la suma 43 > 12 15 > 10 43 + 15 > 12 + 10 58 > 22 RESTA (-) 

Es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella.



Se representa con el signo (-)



El resultado se conoce como diferencia o resto.



Podríamos decir que es lo contrario a la suma esta no da, en cambio quita.



Sus partes se llaman minuendo y sustraendo, el resultado final es resto o diferencia.

PROPIEDADES DE LA RESTA La resta principalmente tiene una propiedad fundamental que es la siguiente: si sumamos el resultado de la resta (resto o diferencia) con el sustraendo, el resultado será el minuendo. 

La resta no tiene propiedad conmutativa: no se puede cambiar el orden del minuendo y el sustraendo ya que el número mayor siempre tendrá que ir arriba (minuendo)



La resta no tiene la propiedad asociativa: al no poder cambiar el orden de los números, esto no permite asociarlos de formas diferentes para realizar la resta



Elemento neutro de la resta: el elemento neutro de la resta es el número cero (0). Cualquier número menos 0 dará ese mismo número.

MULTIPLICACIÓN (x) 

Es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número, se representa con el signo (x).



En algunos textos encontraremos que una multiplicación es una suma abreviada o es el resultado de una potencia.



Sus partes se llaman multiplicando y multiplicador y su resultado final se llama producto.



Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos.



Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son: 

Conmutativa.



asociativa.



elemento neutro.



distributiva.

PROPIEDAD CONMUTATIVA El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: 3x5=5x3 PROPIEDAD ASOCIATIVA Para resolver el producto de tres o más factores, podemos elegir el orden en el que realizamos las multiplicaciones y el producto no varía. Ejemplo: 4 x (5 x 7) = (4 x 5) x 7 PROPIEDAD DE ELEMENTO NEUTRO El producto de cualquier número por uno es igual al mismo número. Ejemplo: 1x5=5 666 x 1 = 666

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos y viceversa. Ejemplo: 12 x (3 + 5) = (12 x 3) + (12 x 5) (7 x 5) + (7 x 4) = 7x (5 + 4)

DIVISIÓN (÷) 

Es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo).



Se representa con el signo (÷)



El resultado de una división recibe el nombre de cociente.



De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación.



Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN 1. Propiedad fundamental de la división: Si la división es exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente. En cambio, si la división es inexacta el dividendo será igual al divisor por el cociente más el resto.

2. Operación no interna: La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. La división de dos números naturales no tiene que dar otro número natural. Es decir, al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero. Además, una característica de la propiedad de la división es que nunca se puede dividir por el número 0. 3. Propiedad no conmutativa: El orden de los elementos de la división SI influye en el resultado de esta. A diferencia de la suma y la multiplicación de números que, si tienen la propiedad conmutativa, la resta y la división no son operaciones conmutativas. 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la división. 5. El cero: El cero dividido entre cualquier número da cero. Además, no se puede dividir ningún número entre cero.

La propiedad fundamental Esta propiedad puede ser de dos tipos: 

Exacta: Si el resto es cero (0). Es decir, cuando el Dividendo es igual al Divisor por el cociente. Se representaría así: D = d x c (D= dividendo; d = divisor; c = cociente)



Inexacta: Cuando el resto es un número diferente que cero. Se representa así: D = d x c + r (siendo r = resto)

Operación no interna Otra de las propiedades de la división es que es una operación no interna. Esto quiere decir, que cuando dividimos un número natural entre otro número natural, no siempre el resultado de esta operación será un número natural. Porque también puede darse el caso, que la división resulte un número decimal (tanto si el dividendo es más pequeño que el divisor, como también si el dividendo es mayor que el divisor) Por ejemplo: 2 / 4 = 0,5 Esto sucede cuando el dividendo es más pequeño que el divisor. Observamos que el resultado es decimal menor que cero. Ejemplo: 3 / 2 = 1,5 Esto sucede cuando el dividendo es mayor que el divisor. Observamos que el resultado es decimal mayor que cero.



Propiedad no Conmutativa

Es pertinente recordar que la propiedad conmutativa indica que el orden de los factores no altera el producto, en el caso de la suma y la multiplicación. Dentro de la división sí lo altera, ya que no es lo mismo que el dividendo sea mayor que el divisor y viceversa, el resultado será completamente distinto si alteramos ese orden. Por tal motivo, la división tiene una propiedad no conmutativa. Por ejemplo: No es lo mismo 8 / 2 = 4; que 2 / 8 = 0,25. El resultado es totalmente diferente, porque son operaciones distintas. 

Elemento neutro de la división: 1

El elemento neutro de la división es el número 1. Esto significa, que cualquier número dividido entre 1, tendrá como resultado el mismo número. En este sentido, podemos afirmar que se utiliza la misma lógica que en la multiplicación, ya que al multiplicar un número por 1, el resultado siempre será el número al cual está multiplicando 1 (Ejemplo: 5 x 1 = 5) En la división pasa exactamente lo mismo. Por ejemplo: 8 / 1 = 8. El resultado de la operación será el mismo número correspondiente al dividendo (siempre que el divisor sea 1).

El cero en la división Para esta propiedad hay que tener en cuenta dos elementos que consideramos fundamentales para comprenderlo: 

El número cero (0) dividido entre cualquier número, tendrá como resultado cero (0). Al igual que en la multiplicación, donde cualquier número multiplicado por cero, resultado en cero (0). Pues, en el caso de la división aplicamos la misma lógica. Por ejemplo: 0 / 7 = 0.



Por otro lado, otro elemento a tener en cuenta en la división es que no se puede dividir entre cero, ya que no existe ningún número multiplicado por cero, que sea diferente que cero (0).

BIBLIOGRAFÍA Perez. J. (2009).Definición de suma. (https://definicion.de/suma/) Baldor,

A. (1997). Álgebra de Baldor. México: Grupo Editorial Patria. https://guao.org/sites/default/files/biblioteca/%C3%81lgebra%20de%20Baldor.p df

Fuentes. C. (2015). Sentido numérico y abstracto. https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2015/01/17/suma-oadición/#comments Mancil, J. (1962). Álgebra Elemental Moderna (Vol. Volumen 1). Quito, Ecuador: Editorial Kapelusz. https://es.slideshare.net/Rouderick/libro-algebra-de-mancil

EJERCICIOS: 1. Juan tiene 85$ y se ha comprado una chocolatina que le costó 35$ y unos caramelos que le costaron 25$. ¿Cuánto dinero le sobrará? A) 15 B) 25 C) 20 D) 30 Solución: 1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos. Total ($) = 85 Chocolatina ($) = 35 Caramelos ($) = 25 debe ($) =?

2. Para saber cuánto dinero le sobró tenemos que

+35 25 60

−85 60 25

Por lo tanto, le sobra un total de: 25$

2. Si en la tienda escolar, unas salchipapas cuestan $1.255 ¿Cuánto costarían 25 salchipapas para el grado preescolar? A) 21.375 B) 31.375 C) 32.375 D) 35 Solución:

1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos. Costo salchipapas ($) = 1.255 25 salchipapas ($) =?

2. Para saber cuál es el costo de las 25 salchipapas, tenemos que multiplicar el número de salchipapas por el precio de cada

x1.255 31.375 Por lo tanto, el precio total de las salchipapas es: 31.375$

3. Tenía 95$. Compré un balón de 68$ y un chocolate de 24$ ¿cuánto dinero me sobro? A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 solución: 1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos.  

Total ($) = 95 Balón ($) = 68 Chocolate ($) = 24 sobró ($) =?

2. Para saber cuánto dinero le sobro, debemos sumar todo lo gastado y el resultado restarlo por el total.

+68 24 92

+9592

Por lo tanto, el dinero que le sobra será igual a: 3$

4. Germán tiene 12 cromos y Luis tiene 17. ¿Cuántos tienen entre los dos? A) 19 B) 29 C) 30 D) 28 Solución: 1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos. 

Germán(cromos) = 12 Luis (cromos) = 17

2. Para saber la cantidad de cromos que tiene entre los dos procedemos a sumar los dos términos.

+12 29 Por lo tanto, la cantidad de cromos que tienen entre los dos es de: 29 cromos

5. En el cuartel hay 426 soldados. Han llegado 318 soldados más y se han ido 26. ¿Cuántos hay ahora? A) 718 B) 708 C) 700 D) 728 Solución:

1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos.  

2. Para saber la cantidad de soldados que hay se debe sumar al total la cantidad de soldados que llegaron y al resultado restar la cantidad de soldados que se fueron

Total (soldados) = 12 llegaron (soldados) = 17 Se fueron (soldados)

+426

−744

744

718

318

026

Por lo tanto, la cantidad de soldados que hay ahora es la de : 718 soldados

6. Dos quintales de naranjas cuestan $ 48. ¿Cuánto costará cada quintal? A) 17 B) 16 C) 24 D) 48 Solución: 1. Se debe obtener los datos del problema. Quintales (x)= 2 Dinero (y) = 48

2. Para saber cuánto cuesta cada quintal se debe dividir el dinero por la cantidad de costales. 48 q= q = 24 Por tanto, cada quintal de naranjas cuesta $ 24.

7. Si Paúl desea cambiar un telar rojo de 6 m de largo y de 5m de ancho, por uno nuevo de color negro. ¿Cuánto metros cuadrados de telar negro debe comprar para reemplazar el telar rojo? A) 30 m2 B) 11 m2 C) 30 mm 2 D) 30 cm2 Solución: 1. Se debe obtener los datos del problema. l = 6m a = 5m

2. Para obtener los metros cuadrados se debe multiplicar la el largo por el ancho, y se obtendría los metros cuadrados del telar negro. m2 = l ∗ a m2 = 6m∗ 5m m2 = 30m2 Por tanto, se necesitan 30 m2 de telar negro para reemplazar el telar rojo.

8. Jonathan desea comprar un auto nuevo de $ 12 900, abona $ 7 060 a la concesionaria automotriz. ¿Cuánto dinero le falta abonar para poder adquirir el auto? A) $ 4058 B) $ 5840 C) $ 4850 D) N.A Solución: 1. Se debe obtener los datos del problema y renombrarlos. Total (x)= 12 900 abona (y)= 7 060. debe (z)=?

2. Para saber cuánto le falta abonar se debe: restar el total menos lo que abonó. z=x−y z = 12900 − 7060 z = 5840 Por tanto, debe un abono de $ 5840.

9. Resolver la siguiente operación: 4(2 − 5)2 ÷ 2 + 5 – 20 36

A. 12

B. -6 C. 3 D. -

104 7

Solución: 4(2 − 5)2 ÷ 2 + 5 − 20

1. Resolver los

4(−3)2 ÷ 2 + 5 − 20

paréntesis.

2. Resolver exponentes.

4(9) ÷ 2 + 5 − 20

3. Resolver

36 ÷ 2 + 5 − 20

multiplicación.

4. Resolver división.

18 + 5 − 20

5. Resolver adición.

23-20

6. Resolver sustracción

3

10. Resolver la siguiente operación: 2+ 5 ∗ 7 − 9 ÷ 3 A. B. C. D.

28 14 -3 34 25

Solución

2+ 5 ∗ 7 − 9 ÷ 3

1. Resolver multiplicación.

2 + 35 − 9 ÷ 3

2. Resolver división.

2 + 35 − 3

3. Resolver adición y

34

sustracción

11. Un número aumentado en 3 unidades es igual al doble de dicho número. Luego, el número aumentado en 6 unidades será: A) 0 B) 1 C) 3 D) 4

Solución: Sea “x” el número Un

número

aumentado

RUTA DE APRENDIZAJE en

unidades: x + 3 Doble del número: 2x Planteamiento de la ecuación x + 3 = 2x 3= 2x − x

3

1) Leer detenidamente comprendiendo el enunciado. 2) Extraer los datos. 3) Ubicar la incógnita y representarla. 4) Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica. 5) Plantear la ecuación. 6) Resolver la ecuación. 7) Dar respuesta a la incógnita.

3 =x x=3 El número aumentado en 6 unidades es: x+6=3+6=9

12. La mitad más el tercio más la cuarta parte de los años que tiene Manuel, suman los años que tiene más 3. ¿Qué edad tiene Manuel? A) 36 B) 35 C) 34 D) 33

Solución: Sea “x” la edad de Manuel 1 2

x+

1 3

x+

1 4

6x + 4x + 3x 12 13 12

x = x +3

=x+3

x = x +3

13x = 12(x + 3) 13x – 12x = 36 x = 36 Manuel tiene 36 años

RUTA DE APRENDIZAJE 1) Leer detenidamente comprendiendo el enunciado. 2) Extraer los datos. 3) Ubicar la incógnita y representarla. 4) Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica...