Ejercicios DE Vectores 2 BACH PDF

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Ejercicios de vectores del instituto isla de León, ubicado en San Fernando (Cádiz). Alumnos de sobresaliente. De la academia de clases particulares situada en el centro de la ciudad...

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Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

1

VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE EJERCICIO 1 :

  Dados los vectores a 1, 2, 3 , b 1, 1, 1 , c 1, 0, 5 y d

1, 1, 3 :

a) ¿Forman una base de R3?

    b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c. Solución: a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes.     b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d x a y b zc (-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5) (-1, 1, 3) = (x +  y + z, 2x + y, 3x + y + 5z) x y z 1      2x y 1  Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x 2, y - 3, z 0 ⇒ d 2a 3b 0c 3x y 5 z 3  EJERCICIO 2 :     a) Se sabe que u, v y w son linealment e dependient es. ¿Podemos asegurar que u es   combinació n lineal de v y w? Justifica tu respuesta.  b) Halla las coordenada s del vector a 4, 3, 7 respecto de la base = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}. Solución:    a) No. Por ejemplo, si tomamos u 1, 0, 0 , v 0, 1, 0 , y w 0, 2, 0 :   Son linealmente dependient es, pues w 2 v.    Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w .    b) Llamamos b 2, 1, 0 , c 1, 0, 2 , d 0, 0, 3 a los vectores de la base B. Tenemos que encontrar tres     números, x, y, z, tales que: a x b y c z d (4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3) (4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z) 2x y 4  x 3  x 3 y 4 2x 2  7 2y 2y 3z 7  3 z 7 2y z 1 3   Las coordenadas de a respecto de la base B son 3, 2, 1 , es decir : a 3b 2c d EJERCICIO 3 :

Dados los vectores u 2,

a) ¿Son linealmente independientes?    1 v. c) Halla un vector, w , tal que 2u 3 w 2

1, 0 y v 3, 2,

1:

b) ¿Forman una base de R3?

Solución: a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos: x(2,-1, 0) +  y(3, 2, -1)  = (0, 0, 0), es decir: 2x 3y 0  x 2y 0  Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0 y 0  b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres independientes).   1  1   1 2 c) 2u 3w v 3w v 2u w v u 2 2 2 6 3 ⇒ w 1 3, 2, 1 2, 1, 0 6 3

vectores (linealmente

 5 , 1,   6

1  6

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

2

EJERCICIO 4 : → →

→

→

a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo

→

→

→

u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6)

b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución: a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3 z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0) 2x y 3z 0   2 y 2z 0  Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Soluciones : x 2 , y , z 3x 6z 0  b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base. EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :

a) Halla las coordenada s de u 4,

→

→

→

a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1) 7, 14 respecto de la base anterior.

    b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a , b y u. Solución:

   x a y b z c , es decir : (4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3 z, -x + 2y, 3x - y + z) 2x 3z 4   x 2y 7  Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x 5, y 1, z 2  3x y z 14       Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son 5, 1, 2 , es decir : u 5a b 2c b) De la igualdad obtenida en a), tenemos  a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u

   5a b 2c



que: u

 2c

   5a b u

 c

5 a 2

1 1  u b 2 2

PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que forman dos vectores, proyección ortogonal,…)





EJERCICIO 6 : Dados los vetores u 2, 1, 3 , v 4, 2, 2 y     a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v.   b) Obtén el valor de para que u y w formen un ángulo de 60 o . Solución:  a) u 22

 w 1, 2, x :

 3,74 v 42 22 22 24 4,90   Si llamamos al ángulo que forman u y v, tenemos que :     u·v 8 2 6 cos 0 u y v son perpendiculares, es decir, 90o .     u· v u · v   u·w 1 2 2 3x 1 b) Ha de cumplirse que: cos 60o   , es decir : u · w 2 2 14 · 5 x2 70

x2

14 x 2

70 22

12

6x

 x 35   11  x 

32

14

70

14x 2 36 x 2

35 11

  (no vale, pues u · v

35 11

70

3x

22 x 2

0)

3x 70 14 x2

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato   EJERCICIO 7 : Dados los vectores u 1, 0, 0 y v 1, 1, 0 :     a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángul o que form an u y v.

3

  0, 0, 0 , que sea combinació n lineal de u y v, y que sea

, , b) Encuentra un vector perpendicular a (1, 0, 0).

Solución:

  1 1  u· v 1 Proyección de u sobre v: u´=  2 v = (1,1, 0) = ( , ,0) 2 2 2 v  u u    b) Un vector que sea combinació n lineal de u y v es de la forma au   a u b v a 1, 0, 0 b 1, 1, 0 a b , b, 0   al ángulo que forman u y v, tenemos que : cos

Si llamamos

 · v 1 · v 1· 2  bv, es decir :

1 2

2 2

Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero: (a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 ⇒ a +  b = 0 ⇒ b = - a Por tanto, cualquier vector de la forma: (0, b, 0), con b 0 cumple las condiciones exigidas.

  EJERCICIO 8 : Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen ,   el mismo módulo u v 2.     a) ¿Cuál es el módulo de u v ? ¿Y el de u v?     b) Demuestra que u v y u v son perpendicu lares. Solución:   2 a) u v

4 2· u  u  u

    u v · u v



        u·u u· v v ·u v ·v

   · v · cosu , v 4

 2     v u v · u v  v 8 4 2 1,53

2

  2·u ·v

 v

2

2   4 8 4 2 u v 8 4 2 3,70 2    2   2u · v v 4 2 · u · v · cos45o 4 8 4 2

4 8·

 2 u

             b) u v ·u v u u· u v· v ·u v ·v u 2 EJERCICIO 9 :

 u

 Dados los vectores a 1,

 v 2 4 4

 1, 0 , b 0, 1,

 0⇒ u

 1 y c

  para que a y c sean perpendicu lares.   2, halla el ángulo que forman b y c.

 v

  ma b :

a) Halla el valor de

b) Para Solución:    a) c m a b   a c

m1, 1, 0

  a ·c 1, 1, 0

0, 1, 1 · m ,

 2, queda c 2,  b· tenemos que: cos  b ·

m ,

m 1, 1

b) Para m

m 1, 1 1 2   al ángulo que forman b y c,

m m 1 2 m 1 0

3, 1 . Si llamamos  c  c

4

4

2 · 14

28

0,76

  u v

m

139 o 27' 51' '

45o

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →

→

→

→ →

→

→

→

→ →

→

a =2 i - j ; b = i + 2 j – k ; halla x e y de forma que c =x i + y j

EJERCICIO 10 : Dados los vectores → →

sea perpendicular a

→

4

→ →

b y tenga el mismo módulo que a .

 Solución: a 2, 1, 0     c b c· b 0   c a x2 y 2

 b 1, 2,

1

2y

0

x

 c x , y, 0

x2

5

 x   5 4y

y2

2y 2

y

2

5

5y 2

5

y

2

1

y  y

1

x

1

x

2 2

Hay dos soluciones:  1, que correspond e a c 2, 1, 0 . x 2, y  2, y 1, que correspond e a c 2, 1, 0 . x PRODUCTO VECTORIAL

  Dados los vectores u 1, 3, 0 y v 2, 1, 1 :    a) Halla un vector, w , demódulo 1, que sea perpendicular a u y a v.   b) ¿Cuál es el área del paralelogramo determinado por u y v?

EJERCICIO 11 :

Solución:     a) Un vector perpendicu lar a u y a v es: u v

3, 1,   u Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1: w  u

 3  ,   35

Hay dos soluciones:

b) Área

  u v

35

1 35

,

5    35 

1, 3, 0

 3 , y   35

2, 1, 1

1 35

,

5

 v  v

 3  ,  35

1 35

,

5  35 

5    35 

5,92 u2

EJERCICIO 12 :

  a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquie ra, se tiene que:       u v u v 2u v  2, 1, 1 y a v 3, 0, 1 . b) Halla un vector perpendicular a u

Solución:

 a) u

 v

 u

 v

  u u

     u v v u v    (* ) Tenemos en cuenta que u u 0 y que b) u v 2, 1, 1 3, 0, 1 1, 5, 3

 (*)  v 0   u v

 u  v

   v u v  u.

 0

  2u v

EJERCICIO 13 : Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por →

v (0,m,1) sea 2. Solución:     El área del paralelogramo determinado por u y v es igual a u v .     Calculamos u v y hallamos su módulo : u v 2, 0, 1 0, m, 1



u v



m2

Igualamos a 2: Área

22

2m 2

5m 2

4

m2

2

4

4m2

5m 2

5m2

4

4

m,

2, 2m

4

5m 2

0

m

0

→

u (2,0,1) y

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

5

EJERCICIO 14 : a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0)       b) ¿Es cierto que u v w u v w ? Pon un ejemplo. Solución: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5)  2 5 1  Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:  , , 30 30 30    2 5  1  También cumple las condiciones su opuesto:  , , 30  30  30   v 1, 0, 0 w 0, 1, 0 b) En general, no es cierto. Por ejemplo: u 1, 0, 0              u v w 0 w 0  Por tanto, u v w u v w .     u v w u 0, 0, 1 1, 0, 0 0, 0 , 1 0, 1, 0  EJERCICIO 15 : Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores    siendo: u 2 1 1 , v 0 1 1 y w 1, 0, 1

→

→

→

→

u x v y u x w,

Solución:     Calculamos u v y u w :

      b u w 1, 1, 1 a u v 0, 2, 2 El área del paralelogramo determinado por a y b es igual al módulo del producto vectorial:   a b 0, 2, 2 1, 1, 1 4, 2, 2 Área

42

22

22

16

4

4

24

4,90 u 2

PRODUCTO MIXTO EJERCICIO 16 : a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

→

→

→

u (2,-1,1), v (3,0.-2), w (2,-3,0)        b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: 2u , v, w ; u , v, u v Solución:    a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto

   de su producto mixto: u, v, w

2 3 2

1 0 3

1 2 0

Volumen 17 u 3

17

   b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que: 2u, v, w     u, v, u v 0 (el tercer vector depende linealment e de los dos primeros).

   2 u , v, w

2

17

34

EJERCICIO 17 : → →

→

→

a) Halla los valores de m para que los vectores u (0,1,1), v (-2,0,1) y w (m,m-1,1) sean linealmente independientes.    b) Estudia si el vector 2, 1, 0 depende linealmente de u, v y w para el caso 3. Solución: a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero: 0 1 1 u, v, w 2 0 1 4 m 0 m 4 ⇒ Ha de ser m 4.

m

m 1 1

   3, los vectores u, v y w son linealmente independientes, y forman una base de R3. Por tanto, cualquier vector de R3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos.

b) Para m

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →

→

EJERCICIO 18 : Dados los vectores u (1,2,3), v (1,1,1) y a) determinen un paralelepípedo de volumen 10.

→

6

w (1, ,5), halla el valor de

para que: b) sean linealmente dependientes.

Solución:    a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto

1 2 3 1 1 1 1 5

   de su producto mixto: u, v, w

Volumen

2

6

Hay dos soluciones :

2 10  2

6

2

16

2    b) Su producto mixto ha de ser cero: u, v, w 1

8,

6 10 6 10

2

2

8 4

⇒ 2

2

2



6

0

3





EJERCICIO 19 : Dados los vectores u 1, 0, 1 , v 0, 2, 1 y w 2, 2, 1 , se pide: a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.  b) Halla, si existe, el valor de para que el vector a , , 6 se pueda expresar como   combinació n lineal de u y v. Solución:

1 1 4 Volumen 4 u 3 1      b) Los vectores u, v y a han de ser linealment e dependient es (u y v son linealmente independientes);

   a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: u, v, w

   por tanto, su producto mixto ha de ser cero: u, v, a

1 0 2

0 2 2

1 0

1

0

1

2

3

12

0

4

6 EJERCICIO 20 :    a) Demuestra que los vectores u k , 3, 2 , v k , 3, 2 y w 1, 0, 0 son linealment e independientes, cualquiera que sea el valor de .    b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w ? Solución: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k. 3 2 k    u, v, w k 3 2 12 0 para todo k. 1 0 0 b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen = 12 u3 REPASO

   , ,1 1, v 3 1 0 y w , ,2 : EJERCICIO 21 : Dados los vectores u 2   a) Halla el valor de para que u y w sean perpendicu lares.     b) Calcula el ángulo que forman u y v. c) Halla el área del triángulo que determinan u y v. Solución:   a) Para que u y w sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero :   u w · 2, 1, 1 · m , 2, m 2 m2 m m2 0 m 2   b) Si llamamos al ángulo que forman u y v, tenemos que :   | u · v | 7 7 o cos 0,904 25 21' 6 ' ' |u|·| v| 6 · 10 60

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato c) Área

1   u v 2

1 1, 3, 1 2

1 1 9 1 2

7

1 11 1,66 u2 2

   EJERCICIO 22 : Consideram os los vectores a 1, 1, 2 , b 0 2 1 y c 3, 2, 1 . Calcula:   a) El área del triángulo que determinan a y b.    b) El volumen del paralelepípedo determinado por a , b y c. Solución: 1   1 1 1 1 a b 1, 1, 2 0, 2, 1 5, 1, 2 30 25 1 4 2 2 2 2 2 b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: 1 1 2    a, b, c 0 2 1 11 Volumen 11 u 3

2,74 u 2

a) Área

3

2

1

 Dados los vectores u

EJERCICIO 23 :

 1, 1, 1 , v 2, 0,

 3 y w k , 1, k :

   para que el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w valga 11u3 .   b) Calcula el ángulo que forman u y v.

a) Halla el valor de

Solución: a) El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: 12  1 1 1 k     5k 1 11 5 u, v , w ⇒ 5k 1 11 2 0 3 5k 1 Volumen   k 1 k k 2  5k 1 11   b) Si llamamos al ángulo que forman u y v, tenemos que:   |u · v | | 5| 5 0,80 36 o 48 ' 31' ' cos   |u | · | v | 3 · 13 39 EJERCICIO 24 : Dados los puntos (-2,0,1), (1,-3,2), a) El área del triángulo de vértices , y . b) El volumen del tetraedro de vértices , , y .

(-1,  4, 5) y

(3, 1, -2), calcula:

Solución: a) AB 3, 3, 1 ; AC 1, 4, 4 1 1 16, 11, 15 AB AC 2 2 b) AB3, 3, 1 ; AC1, 4, 4 ; AD 5, 1, 3 Área

3 AB, AC, AD

3

1 5

1 2

16

2

11

2

15 2

1 2

602

12,27 u 2

1

4 1

4 3

136

EJERCICIO 25 : Sean los puntos

Volumen

(2, -1, 3),

136 u3

(-1,5,m),

( , 2, -2) y

, sabiendo que el paralelepí pedo determinad o por los vectores

(0, 1,-3). Calcula el valor de

,

y

tiene un

volumen de 40 u . 3

Solución: AB 3, 6, m 3 ; AC m 2, 3, 5 ; AD 2, 2,

3 AB, AC, AD

m

6 m 2 3

2

2

3 5 6

6

[54 + 2(m -2)( m -3) +60] – [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m2 + 32m + 6

Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato

8

Volumen: V = |2m2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades: 2m2 + 32m + 6 = 40 ⇒ 2m2 + 32m - 34 = 0 ⇒ m2 +16m - 17 = 0 16 256 68 16 324 16 18 m 1 m  2 2 2 17 m 2 2 2m + 32m + 6 = -40 ⇒ 2m + 32m + 46 = 0 ⇒ m2 + 16m + 23 = 0

256 92 16 164 16 2 41 8 2 2 2 Hay cuatro soluciones: m1 17 ; m2 1; m3 8 41 ; m4 m

16

41 8

41

REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes: a) (2, 3, -4), (5, 3, 0) y (0, 0, 4) b) (0, 5, 2), c) (0, 0, 2), (3, 2, 4) y (4, -1, 3) d) (0, 3, 1),

(1, 3, 0) y (0, 3, 0) y

(2, -3, 1) (1, -2, 4)

Solución:

APLICACIONES DE LOS VECTORES EJERCICIO 27 : Los puntos (3, 0, 2), (5, -1, 1) y (-2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obtén el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. Solución:

Como se trata de un paralelogramo, se tiene que AB DC. Si D

x, y, z :

(2,-1,-1)=(-2-x,3-y,1- z) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 ⇒ D(-4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:

M