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Profesor: Remi Jean Emile Stellian
Solución Ejercicios de Bonos ...

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Pregrado de Administración de Empresas

Valoración de Inversiones 2017 - 1 Rémi STELLIAN, PhD, Dr. rer. pol.

Ejercicios Valoración de bonos Ejercicio 1 El próximo 05 de mayo de 2017 la empresa OCAIJA emitirá bonos con las siguientes características:

1.

 Valor facial: 1000$  Vencimiento: el 05 de mayo de 2022  Tasa del cupón: 7%  Frecuencia de pago de los cupones: anual Establecer el diagrama de los flujos de caja, asumiendo que se comprará el bono a su fecha de emisión y dejando el precio de compra como una variable desconocida. Luego, calcular el precio al cual se debería comprar un bono para obtener una rentabilidad del 8% anual.

Si se paga un cierto precio P para comprar el bono, entonces se recibirá anualmente un cupón de 0.07 x 1000 = 70$, así como el valor facial en el último año. Entre el 05 de mayo de 2017 y el 05 de mayo de 2022, son 5 años. En consecuencia, el año de vencimiento, denotado n , es igual a 5. Fecha 05/05/2017 05/05/2018 05/05/2019 05/05/2020 05/05/2021 05/05/2022

t 0 1 2 3 4 5

Costos ($)

Ingresos ($)

Flujo de caja ($)

−P

P 70 70 70 70 1070

70 70 70 70 1070

El precio al cual se debería comprar el bono a la fecha de emisión para obtener una rentabilidad del 8% anual se calcula como el valor presente de los cupones y del valor facial. Siendo P8 % este precio: 5

70 1000 =960,07 $ + t ( 1+0,08 )5 t =1 ( 1+0,08 )

P 8 %= ∑ En Excel:

2.

P8 %=−VA ( 0,08 ; 5 ; 70 ; 1000 )

Se debería comprar el bono si se negocia a un precio de 950$?

Sí. Para obtener la rentabilidad que se exige (8% anual), se debe pagar 960,07$. Ahora, se negocia el bono a un precio menor, de tal manera que su rentabilidad supere la que se exige.

Ejercicio 2 Hacer de nuevo el ejercicio 1, asumiendo que los cupones se pagan semestralmente. Si se paga un cierto precio P para comprar el bono, entonces se recibirá anualmente un cupón de 0.07 x 1000 = 70$ y por lo tanto una suma de 70/2 = 35$ semestralmente, así como el valor facial en el último semestre. Entre el 05 de mayo de 2017 y el 05 de mayo de 2022, son 5 años. En consecuencia, el año de vencimiento, denotado n , es igual a 5, lo que equivale a 2 n=2 ×10 = 20 semestres.

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN

Valoración de Inversiones

Fecha 05/05/2017 05/11/2017 05/05/2018 05/11/2018 05/05/2019 05/11/2019

t 0 1 2 3 4 5

Costos ($)

Ingresos ($)

Flujo de caja ($)

⋮

⋮

⋮

⋮

05/11/2021 05/05/2022

9 10

35 1035

35 1035

−P

P 35 35 35 35 35

35 35 35 35 35

El precio al cual se debería comprar el bono a la fecha de emisión para obtener una rentabilidad del 8% anual se calcula como el valor presente de i) las mitades de cupón; y ii) el valor facial; y se utiliza 8%/2 = 4% como equivalente semestral del 8% anual. Siendo P8 % este precio: 10

2×5

35 70 / 2 1000 1000 =∑ =959,45 $ + + 2 ×5 10 t t ( ) ( ) ( ) ( 1+0,08 / 2 1+0,04 ) t =1 1+0,08 / 2 t =1 1+0,04

P 8 %= ∑

P8 %=−VA ( 0,08 /2; 2 × 5 ; 70 /2 ; 1000 )

En Excel:

De nuevo, se debería comprar el bono. Para obtener la rentabilidad que se exige (8% anual), se debe pagar 959,45$. Ahora, se negocia el bono a un precio menor, de tal manera que su rentabilidad supere la que se exige.

Ejercicio 3 Con los datos del ejercicio 1, determinar el valor del cupón que resulta en Siendo

P8 %=950 $

c la tasa del cupón, entonces: 5

1000 c ×1000 + t 5 ( 1+0,08 ) t =1 ( 1+0,08 )

P 8 %= ∑

Por lo tanto, se debería resolver: 5

c ×1000 + ∑ t ) ( t =1 ( 1+0,08

1000 =950 5 1+ 0,08 )

Basándose en el hecho de que la serie de cupones constituyen una anualidad:

(

)

1 1000 c ×1000 =950 1− 5 + 5 0,08 ( 1+0,08 ) ( 1+0,08 ) Por lo tanto:

c=

(

0,08 1000 950− 5 1000 ( 1+ 0,08)

(

1 1− 5 ( 1+0,08)

)

La tasa del cupón que resulta en

)

≈ 0,0674772

P8 %=950 $ es el 6,74772%.

Nota: En Excel, se puede utilizar el complemento Solver. Ver el archivo .xlsx son la solución del ejercicio.

Ejercicio 4 Con los datos del ejercicio 1, determinar la tasa de oportunidad

r que resulta en

Pr=950 $

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN

Valoración de Inversiones

Se debería resolver: 5

∑ t =1 (

70 1000 =950 + 5 t 1+r ) (1+r )

Utilizando el complemento Solver en Excel, la solución es r ≈ 0,0826092 . Así, el inversionista deber exigir una rentabilidad del 8,26092% anual para comprar el bono a un precio de 950$.

Ejercicio 5 Se comprará un bono el 16 de junio de 2017. Los cupones se pagan en una vez al año, el 24 de octubre de cada año desde 2011. La tasa del cupón es del 7.5% y se pagará un valor facial de 1000$ el 24 de octubre de 2026. Se basa en un año de 360 días. 

Calcular el interés devengado que se debe pagar al vendedor del bono



Establecer el diagrama de los flujos de caja, dejando el precio LIMPIO de compra como una variable desconocida, denotada P .



Calcular el precio LIMPIO al cual se debería comprar el bono para obtener una rentabilidad del 6,50% anual.



Diagnosticar si se debería comprar el bono si se negocia a un precio LIMPIO igual al 107% del valor facial.

El interés devengado, denotada

Ca , se calcula cómo

C m × F M

donde:



C es el valor del cupón



F es la frecuencia de pago de los cupones



m es el número de días entre el último pago de un cupón (o mitad) y la fecha de compra



M

es el número de días entre dos pagos (o entre la fecha de emisión y el primer pago)

A la fecha de compra, a saber el 16 de junio de 2017, el último pago habrá tenido lugar el 24 de octubre de 2016. Entre estas dos fechas pasan m=232 días si se basa en un año de 360 días. Nota: en Excel: =DIAS360(FECHA(2016;10;24);FECHA(2017;6;16))

F=1 . Además, con base en un

Si los cupones se pagan en una vez al año, entonces la frecuencia de pago es año de 360 días, entonces, pasan M =360 días entre dos pagos. Por fin, el cupón es igual al 7.5% del valor facial, es decir, Teniendo en cuenta lo anterior

Ca=

C=vf × c=1000 ×7.5 % =75 $ .

75 232 ≈ 75 × 0,644444 ≈ 48,33 $ × 1 360

El diagrama de los flujos es el siguiente: Último pago Compra

Fecha 24/10/2016 16/06/2017 24/10/2017 24/10/2018 24/10/2019 24/10/2020 24/10/2021 24/10/2022 24/10/2023

t 0 m/M = 0,6444 1 2 3 4 5 6 7

Costos ($)

Ingresos ($)

P+48,33

75 75 75 75 75 75 75

Flujo de caja ($)

− P− 48,33 75 75 75 75 75 75 75

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN

Valoración de Inversiones

24/10/2024 24/10/2025 24/10/2026

8 9 10

75 75 1000 + 75

Siendo Pr el precio limpio al cual se debería comprar el bono, todos los cupones y del valor facial, neto del interés devengado: n−1

C

Pr limpio=∑ t =1

en donde

( 1+r )

t−

m M

vf

+

n−1−

( 1+r )

m M

Pr

75 75 1075

se calcula como el valor presente de

−Ca

n es el año de vencimiento. Reemplazando cada variable por su valor: 10−1

P6,5 % limpio= ∑ t =1

75

t− 360

( 1+ 6,5 %)

9

1000

+ 232

( 1+6,5 % )

10−1−

232 −48,33= ∑

t =1

360

75 232 t− 360

( 1+6,5 % )

1000

+

9−

(1+6,5 % )

232 360

−48,33 ≈ 10

La siguiente tabla da el detalle de los cálculos: Último pago Compra

Fecha 24/10/2016 16/06/2017 24/10/2017 24/10/2018 24/10/2019 24/10/2020 24/10/2021 24/10/2022 24/10/2023 24/10/2024 24/10/2025 24/10/2026

t 0 m/M = 0,6444 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t-m/M 0,0000 0,3556 1,3556 2,3556 3,3556 4,3556 5,3556 6,3556 7,3556 8,3556 9,3556

Pr

Flujo de caja ($)

75 75 75 75 75 75 75 75 75 1075 TOTAL = TOTAL −Ca

VP ($)

73,34 68,86 64,66 60,71 57,01 53,53 50,26 47,19 44,31 596,40 1116,28$ 1067,95$

Nota: consultar el archivo Excel de las soluciones. Nota: En Excel, se puede verificar con la función RENDTO. Ésta debe resultar en la tasa de oportunidad utilizando el precio calculado: =RENDTO(FECHA(2016;06;16);FECHA(2026;10;24);0.075;100*1067,95/1000;100;1;0) ≈ 6,50000%

Si se negocia el bono a un precio limpio igual al 107% del valor facial, esto equivale a decir que el bono se negocia a un precio limpio igual a 1000 x 107% = 1070$. Sin embargo, para obtener la rentabilidad que se exige, a saber el 6,50% anual, se debe pagar 1067,95$. Por lo tanto, se debe pagar más que lo que se debería pagar para obtener el 6,50% anual, lo que significa que no se supere el 6,50% anual. Al final, el bono no se debería comprar.

Ejercicio 6 Hacer de nuevo el ejercicio 5, basándose en una frecuencia semestral de pago de los cupones. A la fecha de compra, a saber el 16 de junio de 2017, el último pago habrá tenido lugar el 24 de abril de 2017. Entre estas dos fechas pasan m=52 días si se basa en un año de 360 días. Si los cupones se pagan en dos veces al año, entonces la frecuencia de pago es año de 360 días, entonces, pasan M =180 días entre dos pagos. Por fin, el cupón es igual al 7.5% del valor facial, es decir,

F=2 . Además, con base en un

C=vf × c =1000 ×7.5 %=75 $

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN Teniendo en cuenta lo anterior

Valoración de Inversiones

Ca=

75 52 ≈ 37,5 × 0,2889 ≈ 10,83 $ × 2 180

El diagrama de los flujos es el siguiente: Fecha 24/04/2017 16/06/2017 24/10/2017 24/04/2018 24/10/2018 24/04/2019 24/10/2019 24/04/2020 24/10/2020

Último pago Compra

t 0 m/M = 0,2889 1 2 3 4 5 6 7

⋮

Costos ($)

P+10,83

37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 ⋮ 3 7,5 1000 + 37,5

⋮

24/04/2026 24/10/2026

Ingresos ($)

18 19

Flujo de caja ($)

−P−10,83 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 ⋮ 37,5 1037,5

Siendo Pr el precio limpio al cual se debería comprar el bono, Pr se calcula como el valor presente de i) todos las mitades de cupón; y ii) el valor facial; este valor presente luego se calcula neto del interés devengado, y se utiliza 6,5%/2 como equivalente semestral del 6,5% anual: 2 n−1

Pr limpio= ∑

t=1

en donde

vf C /2 m+ m −Ca r t −M r 2 n−1− M 1+ 1+ 2 2

( ) ( )

n es el año de vencimiento. Reemplazando cada variable por su valor: 2 ×10−1

P6,5 % limpio=

∑ t =1

75 / 2 6,5 % 1+ 2

(

)

t−

+ 52 180

19 1000 1000 37,5 −10,83= + ∑ 52 52 52 −1 2 ×10−1− t− 19− 6,5 % t =1 180 1+ ( 1+3,25 % ) 180 ( 1+3,25 % ) 180 2

(

)

La siguiente tabla da el detalle de los cálculos: Último pago Compra

Fecha 24/10/2016 16/06/2017 24/10/2017 24/10/2018 24/10/2019 24/10/2020 24/10/2021 24/10/2022 24/10/2023

t 0 m/M = 0,2889 1 2 3 4 5 6 7

⋮

⋮

24/10/2025 24/10/2026

18 19

t-m/M

Flujo de caja ($)

VP ($)

0,0000 0,7111 1,7111 2,7111 3,7111 4,7111 5,7111 6,7111

37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5

36,6567 35,5029 34,3854 33,3030 32,2547 31,2395 30,2561

⋮

⋮

17,7111 18,7111

Pr

37,5 1037,5 TOTAL = TOTAL −Ca

⋮ 21,2825 570,2820 1079,99$ 1069,16$

Nota: consultar el archivo Excel de las soluciones.

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN

Valoración de Inversiones

Nota: En Excel, se puede verificar con la función RENDTO. Ésta debe resultar en la tasa de oportunidad utilizando el precio calculado: =RENDTO(FECHA(2016;06;16);FECHA(2026;10;24);0.075;100*1067,95/1000;100;2;0) ≈ 6,5000000%

Si se negocia el bono a un precio limpio igual al 107% del valor facial, esto equivale a decir que el bono se negocia a un precio limpio igual a 1000 x 107% = 1070$. Sin embargo, para obtener la rentabilidad que se exige, a saber el 6,50% anual, se debe pagar 1069,16$. Por lo tanto, se debe pagar más que lo que se debería pagar para obtener el 6,50% anual, lo que significa que no se supere el 6,50% anual. Al final, el bono no se debería comprar.

Ejercicio 7 Calcular el Yield to Maturity (YTM) de los siguientes bonos, con el fin de verificar si se puede obtener por lo menos una rentabilidad del 6.5% (anual). Cada bono se comprará el 01/07/2017 a un precio limpio igual al 105% del valor facial, el cual es igual a 1000$. Igualmente, la siguiente tabla da cuenta de las otras características de los bonos. Bono Fecha de vencimiento Tasa del cupón (%) Frecuencia de pago del cupón por año

A 09/07/2024 7

B 09/07/2024 7

C 09/07/2025 7,25

D 09/07/2025 7,25

anual

semestral

anual

semestral

Por fin, se admite que se pagará el 100% del valor facial a la fecha de vencimiento, y se utiliza una base de 365 días al año. Para cada bono, se debería resolver la siguiente ecuación: n−1

C

P =∑ ¿

t =1

m t− M

( 1+YTM )

+

vf

(1+YTM )

n−1−

m M

−Ca

¿

P es el precio limpio de compra; C es el valor del cupón ; vf es el valor facial ; Ca es el interés devengado ; m es el número de días entre el último pago de un cupón (o mitad) y la fecha de compra; M n es el año de es el número de días entre dos pagos (o entre la fecha de emisión y el primer pago); vencimiento. Respecto al bono A:   

¿

P =1,05× vf =1,05× 1000=1050 $ C=tasa del cupón × vf =7 % ×1000=70 $ 2016 ; 07 ; 09 En Excel, FECHA ( 2017 ; 07 ; 01 ) ; FECHA ( ¿) =357 m=DIAS ¿

(la segunda fecha es la de último de pago de

un cupón si el bon ha sido emitido antes de dicha fecha, o la fecha de emisión misma si el bono ha sido emitido en dicha fecha).  



M =365 C m donde F Ca= × F M 70 357 Ca= × ≈68,47 $ 1 365 n=8

es la frecuencia de pago de los cupones. Por lo tanto,

Así se debería resolver:

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN 8 −1

70

1050=∑ t =1

( 1+YTM )

357 t− 365

Valoración de Inversiones

1000

+

8−1−

( 1+YTM )

357 365

−68,47

Lo que se reescribe: 7

70

1050=∑ t =1

( 1+YTM )

357 t− 365

1000

+

7−

( 1+YTM )

357 365

−68,47

La resolución se puede hacer mediante Excel, con la función RENDTO. Los argumentos de la función serían los siguientes: “Liquidación” “Vencimiento” “Tasa” “Pr” “Amortización” “Frecuencia” “Base”

01/17/2017 09/07/2024 7% 105 100 1 1

El resultado es 0,061025181. Así, el YTM del bono A es igual al 6,1025181% anual. Según el mismo procedimiento: Bono B C D “Liquidación” 01/17/2017 01/17/2017 01/17/2017 “Vencimiento” 09/07/2024 09/07/2025 09/07/2025 “Tasa” 7 7,25 7,25 “Pr” 105 105 105 “Amortización” 100 100 100 “Frecuencia” 2 1 2 “Base” 1 1 1 YTM 6,1979% 6,4310% 6,4404% Ningún bono se caracteriza por un YTM superior al 6.5% (anual). Por lo tanto, no se deberían comprarlos. Ejercicio 8 La empresa Adrenaline emitirá bonos el 01 de junio de 2017 con vencimiento el 01 de junio de 2021, con el fin de obtener recursos financieros. El valor facial será 1000$. Una inflación bastante alta caracteriza el contexto macroeconómico. Por lo tanto, se recomienda indexar la tasa del cupón sobre la tasa de inflación. El objetivo de esta indexación es evitar que el cupón pagado al inversionista pierda poder adquisitivo, y por lo tanto garantizar más de la venta de los bonos a emitir.  Se pagaría el cupón anualmente el 01 de junio de cada año (a partir del año 2018).  Se tomaría como medición de la inflación el equivalente anual de la variación del IPC en el mes de mayo. La siguiente formula se utilizaría. Siendo c t la tasa del cupón el 01 de junio del año 2017+t e inf t el

2017+t : c 1=0.05 ×( 1+inf 1 )

equivalente anual de la variación del IPC en el mes de mayo de

c 2=0.05 ×( 1+inf 1 ) × ( 1+inf 2 ) c 3=0.05 ×( 1+inf 1 ) ×( 1+inf 2) × ( 1+ inf 3 ) ⋮ t

c t =0.05 × ∏( 1+ inf u ) u=1

1. Año inf_t

Llenar la siguiente tabla: 2017 5%

2018 5,50%

2019 6,50%

2020 7,50%

2021 8%

8

Dr. rer. pol. Rémi STELLIAN

Valoración de Inversiones

c_t Cupón en t Año inf_t c_t Cupón en t

2017 5% 0,05250 52,50

2018 5,50% 0,05539 55,39

2019 6,50% 0,05899 58,99

2020 7,50% 0,06341 63,41

2021 8% 0,06848 68,48

2.

Se compra el bono a un precio igual al 93,45% de su valor facial a su fecha de emisión. Establecer el diagrama de los flujos de caja. Se comprará el bono a un precio de 1000 x 93,45% = 934,50$. Teniendo en cuenta los diferentes cupones que se pagarán, el diagrama es el siguiente: Fecha t Costos Ingresos Flujo de caja 01/07/2017 0 934,50 -934,50 01/07/2018 1 52,50 52,50 01/07/2019 2 55,39 55,39 01/07/2020 3 58,99 58,99 01/07/2021 4 63,41 63,41 01/07/2022 5 1068,48 1068,48 3. El bono permitió obtener por lo menos una rentabilidad del 7,5% anual? Calculamos el valor presente de los cupones y del valor facial utilizando el 7.5% anual. Como la fecha de compra a su fecha de emisión, no hay ningún interés devengado y los periodos no son fraccionales. El valor presente es igual:

58,99 63,41 1068,48 55,39 52,50 + + + + ≈ 935,99 $ 2 3 4 1+0.075 ( 1+0,075 ) ( 1+0,075 ) ( 1+0,075 ) ( 1+0,075 ) 5 Así, para obtener una rentabilidad del 7,5% anual, se debe comprar el bono a un precio de 935,99$. Ahora, el precio es menor, a saber 934,50$. Por lo tanto, se paga menos que lo se debería pagar para obtener una rentabilidad del 7,5%, de tal manera que el bono genera una rentabilidad mayor. Ejercicio 9 Se comprará un bono el 12 de junio de 2017. Los cupones se pagan en una vez al año, el 7 de septiembre de cada año desde 2012. La tasa del cupón es del 9,21% y se pagará un valor facial de 1000$ el 7 de septiembre de 2028. Se basa en un año de 365 días. Diagnosticar si se debería comprar el bono si se negocia a un precio SUCIO igual al 110% del valor facial. Es necesario calcular el valor presente de todos los cupones y del valor facial a la fecha de compra. Basándose en el mismo tipo de cálculos que en el ejercicio 5, obtenemos: vf 1000 c 0...