Equations différentielles 3, Equation logistique PDF

Preview

Summary

Equations diff´erentielles 3, ´Equation logistique
...

Description

L1 Portail BECV, Cours de Math´ematiques

Universit´e de Rennes 1, 2018-2019

´ Feuille 11 : Equations diff´ erentielles 3, Equation logistique Exercice 1. 1. Trouver toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle f ′ (x) − 2f (x) = 2x2 . 2. Donner l’unique solution qui v´erifie f (0) = 1.

Exercice 2. 1. Trouver toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle f ′ (x) − f (x) = 2 sin x. Pour la recherche de solution particuli`ere, appliquer la m´ethode de la variation de la constante puis int´egrer deux fois par parties. 2. Donner l’unique solution qui v´erifie f (0) = 0. 3. Existe-t-il des solutions p´eriodiques ? Si oui donnez-les.

Exercice 3. On souhaite r´esoudre l’´equation diff´erentielle f ′ (x) = f (x) × (1 − f (x)). Elle ne rentre pas dans le cadre des ´equations diff´erentielles f ′ (x) + a(x)f (x) = b(x) vues en cours. Toutefois, nous allons pouvoir trouver ses solutions. Cette ´equation diff´erentielle s’appelle l’´ equation logistique, elle peut servir pour mod´eliser la population d’un pays, la propagation d’une rumeur, le nombre de cellules au cours d’une exp´erience, etc. Elle est plus fine que l’´equation diff´erentielle f ′ (x) = f (x), dont les solutions cex tendent vite vers +∞, ce qui n’est pas tr`es cr´edible pour mod´eliser une population. Nous verrons que les solutions v´erifiant f (0) > 0 tendent vers 1 lorsque x tend vers +∞. 1. Rappeler la formule donnant la d´eriv´ee de

1 u

o` u u est une fonction.

2. On suppose que la fonction f v´erifie f ′ (x) = f (x) × (1 − f (x)). En divisant cette ´equation par 1 f 2 , montrer que la fonction g d´efinie par g(x) = f (x) v´erifie une ´equation diff´erentielle du type ′ g (x) + ag(x) = b, o` u a, b sont des constantes. 3. Donner toutes les solutions g de cette ´equation diff´erentielle. 4. Donner enfin toutes les solutions de f ′ (x) = f (x) × (1 − f (x)). 5. Donner la solution f qui v´erifie f (0) = 1/2. Donner son domaine de d´efinition, calculer sa d´eriv´ee, ´etablir son tableau de variations, donner ses limites en +∞ et −∞, et tracer son graphe. 6. Mˆemes questions pour f (0) = 1, puis f (0) = 2....