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Errores tipo 1y2

Herramientas Matemáticas V Estadística II

Errores tipo 1 y 2 Bibliografía básica Recuerda revisar este tema en detalle en el texto de Berenson y Levine (1996). El punto 11.2.4 complementa lo explicado en este apartado.

Riesgos considerados en las pruebas de hipótesis Como presentamos en las analogías a las pruebas de hipótesis, la decisión estadística tiene asociados riesgos o errores derivados de tomar una decisión incorrecta. Se comete el error tipo I cuando la hipótesis nula es cierta, pero se la rechaza (esto ocurre cuando la evidencia de la muestra indica que es inverosímil nuestra hipótesis, lo cual nos lleva a tomar esa decisión incorrecta). El error tipo II está implicado en el no rechazo de la hipótesis nula cuando esta es falsa. Si bien debería ser rechazada, también, a instancias de un valor muestral no tan alejado, se toma una decisión incorrecta. Veamos las situaciones posibles que pueden encontrarse en las decisiones de una prueba estadística: Tabla 1:

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El coeficiente de confianza (1-α) indica la probabilidad de no rechazar la Ho cuando esta es verdadera. El nivel de significación (α) es la probabilidad de cometer el error tipo I, es decir, de rechazar la Ho cuando esta es verdadera. Potencia de una prueba Este punto del programa será tratado en detalle más adelante, juntamente con el desarrollo de la prueba de hipótesis de la media en la Unidad 3.

El riesgo (β) es la probabilidad de cometer un error tipo II o, lo que es lo mismo, de no rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa. La potencia de la prueba (1-β) es la probabilidad de rechazar la Ho cuando esta es falsa. Las probabilidades α y β están relacionadas, de manera que, si una de ellas disminuye, la otra aumenta. Por ello, la manera de disminuir ambos riesgos es aumentar el tamaño de la muestra.

Clasificación de las pruebas de hipótesis Como hemos explicado anteriormente, las pruebas de hipótesis pueden ser de uno o dos extremos (unilaterales o bilaterales). Esto dependerá del planteo de la hipótesis nula, en función del cual la zona de rechazo se ubicará en uno de los extremos o se distribuirá entre ambos. Este concepto se desarrollará mejor a medida que se presenten cada uno de los casos de pruebas de hipótesis.

Pasos para realizar una prueba de hipótesis En todos los casos y ejercicios de pruebas de hipótesis, se deben desarrollar ordenadamente los siguientes pasos: Establecer la hipótesis nula. Establecer la hipótesis alternativa. Seleccionar el nivel de significación. Definir el tamaño de la muestra. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, se utilizará en la prueba. 6) Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una regla de decisión). 7) A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico muestral.

1) 2) 3) 4) 5)

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8) Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales. 9) Tomar la decisión estadística con base en la regla de decisión. 10) Indicar la conclusión del problema.

Potencia de una prueba La potencia de la prueba es la sensibilidad que esta tiene para detectar situaciones en las cuales corresponde rechazar la hipótesis nula por ser esta falsa. Como mencionamos anteriormente, la potencia tiene una probabilidad 1-α, ya que es el complemento del riesgo β (asociado con el error tipo II, correspondiente a no rechazar Ho cuando esta es falsa). En general, el cálculo de la potencia de una prueba es una tarea compleja, cuando puede llegar a calcularse. Intuitivamente, se puede comprender que es más alta esta probabilidad a medida que más alejada está la hipótesis nula de la realidad: mientras más distanciado sea el valor que se postula en la hipótesis nula referido al parámetro del que realmente tiene, más probable es que la evidencia muestral nos señale el error. Por el contrario, cuando el valor que se postula en la hipótesis nula está próximo (aunque no exacto) al verdadero, la evidencia muestral nos confundirá, ya que en muchos casos caerá el estadístico muestral en la zona de no rechazo. El siguiente ejemplo está elaborado teniendo en cuenta la distribución de la media muestral, en una prueba de hipótesis para la media poblacional. El sitio http://www.seeingstatistics.com/seeing1999/resources/opening.html permite ver cómo varía la potencia de la prueba para diferentes escenarios que suponemos referidos al verdadero valor de la media poblacional. Como permiten ver los paneles gráficos de las siguientes páginas, en los casos en los cuales el verdadero valor está alejado de lo hipotetizado, la probabilidad de rechazar la hipótesis nula es alta. La potencia de la prueba está identificada como el área sombreada de azul en cada una de las figuras. Las áreas sombreadas de rojo corresponden a la significación (que tiene una probabilidad α) y se grafican en la distribución que supone que la hipótesis nula es cierta. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula, siendo falsa, se ilustra en la distribución correspondiente a cada verdadero valor alternativo (asociado con ese escenario en particular).

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En todos los casos, se supone en la hipótesis nula que la media poblacional es igual a 10. Figura 1: La potencia de la prueba

Escenario 1: el verdadero valor de la media es 7,69.

Fuente: elaboración propia.

Figura 2:

Escenario 2: el verdadero valor de la media es 7,89.

Fuente: elaboración propia.

Figura 3: Escenario 3: el verdadero valor de la media es 8,13

Fuente: elaboración propia.

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Figura 4:

Escenario 4: el verdadero valor de la media es 8,38.

Fuente: elaboración propia.

Figura 5:

Escenario 5: el verdadero valor de la media es 8,87.

Fuente: elaboración propia.

Figura 6:

Escenario 6: el verdadero valor de la media es 9,13

Fuente: elaboración propia.

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Figura 7:

Escenario 7: el verdadero valor de la media es 9,7.

Fuente: elaboración propia.

Figura 8: Escenario 8: el verdadero valor de la media es 10,02.

Fuente: elaboración propia.

Figura 9: Escenario 9: el verdadero valor de la media es 11,56.

Fuente: elaboración propia.

Figura 10:

Escenario 10: el verdadero valor de la media es 12,12.

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Fuente: elaboración propia.

Figura 11: Escenario 11: el verdadero valor de la media es 12,51.

Fuente: elaboración propia.

Figura 12: Escenario 12: el verdadero valor de la media es 12,98

Fuente: elaboración propia.

Reflexiona sobre la información que proveen los gráficos. ¿Qué dato te está faltando si quieres corroborar estos cálculos de probabilidades, considerando que se trata de una distribución normal? Sinteticemos la información del ejemplo en una tabla donde se consignen los valores de la potencia.

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Tabla 2: Relación entre el verdadero del valor del parámetro y la potencia

Fuente: elaboración propia.

La relación descripta en la tabla anterior puede representarse en un gráfico que se denomina curva de potencia. El gráfico presenta un mínimo en el valor correspondiente al que se postula en la hipótesis nula. La potencia en ese caso es igual a la significación.

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Figura 13:

Fuente: elaboración propia.

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Referencias Berenson, M. L. y Levine, D. M. (1996). Estadística para administración y economía (6.a ed.). México D. F., MX: Prentice Hall Hispanoamericana. Levine, D. M., Krehbiel, T. C. y Berenson, M. L. (2014). Estadística para administración (6.a ed.). México D. F., MX: Pearson.

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