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Esercizi segnali...

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Esercizi svolti di Teoria dei Segnali Enrico Magli, Letizia Lo Presti, Gabriella Olmo, Gabriella Povero Versione 1.0

Prefazione A partire dall’anno accademico 2005/2006 viene fornita agli studenti dei corsi di Teoria dei Segnali del Politecnico di Torino questa dispensa per aiutarli nella preparazione dell’esame. La dispensa contiene un campionario di esercizi svolti che coprono la maggior parte del programma, e contengono alcuni dei metodi di soluzione pi` u tipici per diverse classi di esercizi. Come in ogni raccolta di esercizi svolti, dato l’elevato numero di formule `e inevitabile che siano presenti degli errori. Al fine di migliorare la qualit`a delle edizioni successive di questa dispensa, si prega di segnalare eventuali errori inviando un’e-mail a [email protected]. Gli autori ringraziano Pietro Macchi per l’aiuto nella stesura della versione preliminare di questa dispensa.

Sommario Unit` a 1 1.1 Calcolo di energia e potenza media di un segnale . . . . . . . 1.2 Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier . . . . . .

2 2 5

Unit` a 2 11 2.1 Studio di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Dimostrazione di linearit`a e invarianza temporale . . . . . . . 14 Unit` a 3 16 3.1 Segnali a potenza media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Filtraggio di segnali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unit` a 4 23 4.1 Densit`a di probabilit`a, valore atteso e funzione di autocorrelazione di processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Processi casuali filtrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Unit` a1

1.1

Calcolo di energia e potenza media di un segnale

Esercizio 1 Calcolare l’energia del segnale x(t) = e−Kt cos(2πf0 t)u(t) con K > 0. Soluzione Come in molti altri casi, anche in questo semplice esercizio la soluzione si pu`o trovare calcolando l’energia sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza. Procediamo per esempio nel dominio del tempo: Ex =

Ex =

Z

0

Z

+∞ −∞

|x(t)|2 dt

+∞ ¯

¯ ¯e−Kt cos(2πf0 t)¯ 2 dt =

Z

+∞

e−2Kt cos2 (2πf0 t)dt

0

Ricordando la formula di duplicazione del coseno si ottiene 1 Ex = 2

Z

+∞

−2Kt

e 0

1 dt + 2

Z

+∞

e−2Kt cos(4πf0 t)dt

0

Al secondo termine conviene applicare la formula di Eulero ed esprimere il coseno come somma di esponenziali complessi: 1 −2Kt ¯¯ ∞ 1 + e Ex = − 0 2 4K

Z

+∞

−2Kt

e

0

2

µ

ej4πf0 t + e−j4πf0 t 2

¶

dt

Ex =

1 1 + Ex = 4K 4

Ex =

1 1 + 4 4K ·µ

Z

+∞

e−2(K−j2πf0 )t dt +

0

1 4

Z

+∞

e−2(K +j2πf0 )t dt

0

¯ ¸ ¯ µ ¯∞ ¯∞ −1 −1 −2(K +j2πf0 )t ¯ −2(K −j2πf0 )t ¯ e dt¯ e dt¯ + 2(K + j 2πfo ) 2(K − j2πfo ) 0 0

· ¸ 2K 1 1 1 1 1 1 + + + = 2 4K 4K 4 2(K + 4π 2 f02 ) 4 2(K − j2πf0 ) 2(K + j 2πfo ) ¸ · 1 K2 Ex = 1+ 2 K + 4π 2 f02 4K

3

Esercizio 2 Calcolare la potenza media del segnale ∞ X

x(t) =

n=−∞

p(t − nT )

dove p(t) `e riportato in Fig. 1.1.

p(t)

A T 0

t

T 2

-A Figura 1.1

Soluzione x(t) `e periodico di periodo T . Quindi, indicando con Ep l’energia del segnale p(t) in un periodo, si ottiene Px =

Ep 1 = T T

Px =

1 T

Z

T 0

4

Z

T 0

|p(t)|2 dt

A2 dt = A2

1.2

Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier

Esercizio 3 £

Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier del segnale, definito nell’intervallo ¤ − T2 , T2 ½ ¤ £ 2π Ae τ t t ∈ − 2τ , 2τ x(t) = 0 altrove

Soluzione `E necessario calcolare i coefficienti µn dello sviluppo in serie di Fourier applicando la definizione. Si ottiene µn =

1 T

Z

T 2

−T 2

2π

x(t)ej T

nT

dt =

A T

Z

T 2

− T2

t

n

ej2π ( τ − T )t dt

i h t t n τ n τ 1 A ¡ 1 n ¢ ej2π ( τ − T ) 2 − e−j2π ( τ − T ) 2 T j2π τ − T ¢¤ ¢¤ £ ¡ £ ¡ Aτ sin πτ τ1 − nT A sin πτ τ1 − nT ¢ = = ¡ ¡ ¢ T T πτ τ1 − nT π τ1 − nT

µn =

£ ¡ ¢¤ ³ Aτ sin π 1 − nτ nτ ´ Aτ T ¡ ¢ µn = sinc 1 − = T T T π 1 − nτ T

Si noti che, per certi valori di τ , alcuni dei coefficienti µn potrebbero diventare nulli. Per esempio, prendendo τ = T/2, si ottiene µn =

³ Aτ n´ sinc 1 − 2 T

e quindi µn = 0 per n pari e diverso da 2.

5

Esercizio 4 Determinare lo spettro del segnale x(t) rappresentato in Fig. 1.2, usando opportunamente le propriet`a della trasformata di Fourier.

x(t) A A/2 +T

+(3/2)T

t

Figura 1.2

Soluzione Possiamo scrivere il segnale x(t) come somma di due contributi: x(t) = x1 (t) + x2 (t) La scomposizione si pu` o fare in modi diversi, si veda p.es. la Fig. 1.3. Nel seguito scriviamo il segnale seguendo l’esempio B come A pT /2 (t − (τ + 5T/4)) 2 Quindi per linearit`a si ottiene la trasformata di Fourier x(t) = ApT (t − (T + τ /2)) +

X(f) = X1 (f) + X2 (f) sin (πfT ) −j2πf ( T +τ ) 2 e πf ¡ T¢ A sin πf 2 −j2πf ( 5 T +τ ) 4 e πf 2

X1 (f) = A X2 (f) =

Utilizzando alcune propriet`a trigonometriche si pu`o scrivere X(f) in modo pi` u elegante: ¡ ¢ sin (πfT ) −jπf T −j2πf τ A sin πf T2 −jπf 5 T −j2πfτ 2 e = e e + e X(f) = A πf 2 πf ¾ ½ µ ¶ µ ¶ µ ¶ AT −j2πf τ T T 1 T −jπf T −jπf 25 T = = e 2 sin πf cos πf e + sin πf e πfT 2 2 2 2 µ ¶½ µ ¶ ¾ 5 AT −j2πfτ T T 1 e sin πf = 2 cos πf e−jπf T + e−jπf 2 T T 2 2 2 2πf 2 6

x1(t)

A

B

x1(t)

A

A

A/2

A/2

t

t

x2(t)

x2(t)

A

A

A/2

A/2

t

t

Figura 1.3

X(f) =

¢ ¡ ¶ µ ½ ¾ AT sin πf T2 −j2πf (τ + T ) 1 −jπf 3 T T 2 2 e e 2 cos πf + 2 2 2 πf T2

7

Esercizio 5 Si considerino i due segnali x(t) = e−kt u(t) sin(θt) πt dove “∗” denota il prodotto di convoluzione. Si determini la relazione che deve intercorrere tra le costanti k e θ affinch`e l’energia di y(t) sia pari alla met`a dell’energia di x(t). y(t) = x(t) ∗

Soluzione x(t) = e−kt u(t) L’energia di x(t) si pu`o calcolare facilmente nel dominio del tempo: Z ∞¯ Z ∞ ¯ 1 ¯ −kt ¯ 2 Ex = ¯e ¯ dt = e−2kt dt = 2k 0 0

Per calcolare l’energia di y(t) `e opportuno lavorare nel dominio della frequenza, dove il prodotto di convoluzione viene trasformato in un prodotto semplice. (Per semplicit` a indichiamo con F la trasformazione di Fourier di una funzione del tempo). sin(θt) y(t) = x(t) ∗ πt ¾ ½ 1 sin(θt) = Y (f ) = X(f )F p θ (f ) πt k + j2πf π n o dove per il calcolo di F sin(θt) si `e utilizzata la propriet`a di dualit`a. πt Ey =

Z

+∞

−∞

Z

θ 2π θ − 2π

θ 2π

1 df + 4π 2 f 2 0 µ ¶¯ θ 2π ¯¯ 2π 2 arctan f ¯ k2π k 0

= 2 =

Z

|Y (f)|2 df =

¯ ¯ ¯ ¯2 1 ¯ ¯ df ¯ k + j2πf ¯

k2

Imponiamo ora la condizione richiesta dall’esercizio. Ey =

θ 1 arctan kπ k 8

1 Ex 2 µ ¶ θ π θ π θ 1 1 1 → arctan = → = tan = 1 arctan = k 4 k kπ k 4 2 2k Ey =

Quindi la soluzione `e θ=k

k 6= 0

9

Esercizio 6 Si consideri il segnale x(t) = a(t − T )ej2πf0 t dove

sin πt T πt con k una costante strettamente positiva. a(t) =

e f0 =

k T

• Calcolare lo spettro di ampiezza di x(t) • Calcolare l’energia di x(t) Soluzione Il segnale x(t) si pu`o scrivere come x(t) = a(t − T )ej2πf0 t = y(t)ej2πf0 t dove si `e posto y(t) = a(t − T ). Per la propriet` a di traslazione in frequenza la X(f) vale X(f) = Y (f − f0 )

A sua volta, per la propriet`a di traslazione nel tempo, la Y (f) vale Y (f) = A(f)e−j2πfT e quindi lo spettro del segnale x(t) si pu`o scrivere come

Ponendo f0 =

k T

X(f) = A(f − f0 )e−j2πfT ej2πf0 T si ottiene

X(f) = A(f − f0 )e−j2πfT ej2πk = A(f − f0 )e−j2πf T

Inoltre la trasformata di Fourier di a(t) si pu` o calcolare facilmente grazie alla propriet`a di dualit`a, che permette di stabilire che la trasformata di una funzione di tipo sinc `e una porta: A(f) = p 1 (f ) T

A questo punto `e banale calcolare l’energia di x(t) nel dominio della frequenza sfruttando l’uguaglianza di Parseval, ricordando che il modulo quadro di un esponenziale complesso vale sempre 1: Z +∞ 1 Ex = |X(f)|2 df = T −∞ 10

Unit` a2

2.1

Studio di sistemi LTI

Esercizio 7 Un sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T . L’ingresso vale x(t) = sin (2πf0 t) Si denoti come y(t) l’uscita del sistema. Determinare per quali valori di f0 l’uscita `e identicamente nulla: y(t) = 0 ∀t. Soluzione La risposta all’impulso del sistema si pu`o scrivere come h(t) = pT (t − T/2), dove pT (t) ¡ `e una¢ porta di ampiezza unitaria e durata T , con supporto nell’intervallo − T2 , T2 . La trasformata di Fourier di h(t) `e molto facile da calcolare; inoltre la trasformata di x(t) sar`a formata da delta di Dirac, dal momento che x(t) `e periodico. Queste considerazioni ci fanno propendere per una soluzione nel dominio della frequenza. In particolare la funzione di trasferimento vale H(f) = X(f) =

sin(πft) −jπf e πf

1 [δ (f − f0 ) − δ (f + f0 )] 2j Y (f) = X(f )H(f )

La condizione Y (f) = 0 `e verificata se le delta di Dirac nello spettro di X(f ) cadono in corrispondenza degli zeri di H(f), cio`e per f0 = kT k = 1, 2...

11

Esercizio 8 Si consideri lo schema in Fig. 2.1, dove φ e f0 sono costanti, e x(t) `e un segnale strettamente limitato in banda: X(f) = 0 per |f| > B.

x(t) cos(2 f0t)

H(f)

z(t)

y(t)

1

X -B

0

B

f

cos(2 f0t+ ) Figura 2.1 Si supponga f0 = 10B . • Ricavare un’espressione analitica per y(t). • E’ possibile trovare un valore di φ affinch`e y(t) = 0 ∀t ? Soluzione Scriviamo esplicitamente il segnale z(t), applichiamo le formule di Werner, e quindi quelle di Eulero: z(t) = x(t) cos (2πf0 t) cos (2πf0 t + φ) 1 x(t) [cos(φ) + cos (4πf0 t + φ)] = 2 1 1 1 x(t) cos(φ) + x(t)ej(4πf0 t+φ) + x(t)e−j(4πf0 t+φ) = 4 2 4 A questo punto si pu`o calcolare facilmente la sua trasformata di Fourier. Z(f) =

1 1 1 cos φX(f) + ejφ X (f − 2fo ) + e−jφ X (f + 2fo ) 2 4 4

Come si pu`o notare, questa trasformata contiene tre termini, ovvero lo spettro originale X(f) e due sue versioni traslate. Ci chiediamo come questo spettro venga modificato passando attraverso il sistema LTI, ed in particolare se alcuni di questi termini vengano cancellati. Ci`o si pu`o determinare pi` u facilmente per via grafica, facendo un disegno qualitativo, come in Fig. 2.2, della trasformata di Fourier Z(f) e della funzione di trasferimento H (f ), e disegnando quindi lo spettro del segnale di uscita Y (f ). 12

Z(f)

~ X(f)

−2f0

−B

B H(f)

2f0

f

f

Y(f)

~ X(f)

−B

B

f

Figura 2.2

In particolare, si noti che per f0 = 10B non si ha sovrapposizione in frequenza dei tre termini; inoltre il filtro passabasso ideale cancella le due repliche intorno alle frequenze ±f0 . Quindi lo spettro del segnale di uscita vale Y (f) = Z (f )H (f) = 12 cos φX(f), e il segnale nel dominio del tempo si pu`o scrivere come 1 y(t) = cos(φ)x(t) 2 Cerchiamo i valori di φ tali per cui y(t) = 0 ∀t. La condizione da imporre `e quindi cos(φ) = 0, che a sua volta implica φ = (2k + 1) π2 .

13

2.2

Dimostrazione di linearit` a e invarianza temporale

Esercizio 9 L’uscita di un sistema `e legata all’ingresso x(t) dalla relazione: Z t y(t) = x(τ )dτ + x(t − 2) t−1

• Dimostrare che il sistema `e lineare e tempo-invariante. • Calcolare la risposta all’impulso e la funzione di trasferimento. Soluzione Per la linearit`a dobbiamo verificare che l’uscita z1 (t), quando l’ingresso `e una combinazione lineare di segnali, `e pari alla combinazione lineare delle uscite ai singoli segnali:

z1 (t) = = a1

·Z

Z

t

t−1

t

[a1 x1 (τ ) + a2 x2 (τ )] dτ + a1 x1 (t − 2) + a2 x2 (t − 2) = ¸ ¸ ·Z t x2 (τ ) dτ + x2 (t − 2) = x1 (τ ) dτ + x1 (t − 2) + a2 t−1

t−1

= a1 y1 (t) + a2 y2 (t) Per la tempo-invarianza dobbiamo verificare che l’uscita z2 (t) ad un ingresso ritardato sia pari all’uscita, ritardata della stessa quantit` a, corrispondente all’ingresso non ritardato: Z t−T y(t − T ) = x(τ )dτ + x(t − T − 2) t−T −1

z2 (t) =

Z

t

t−1

x(τ − T )dτ + x(t − T − 2)

Ponendo τ − T = θ z2 (t) =

Z

t−T t−T −1

x(θ)d(θ) + x(t − T − 2) = y(t − T )

Quindi si pu`o osservare che il sistema `e lineare e tempo-invariante. La risposta all’impulso si ottiene imponento che l’ingresso sia una delta di Dirac, x(t) = δ(t), e calcolando l’uscita. Questo calcolo `e spesso abbastanza semplice, perch`e si possono sfruttare le propriet`a delle delta sotto l’operatore 14

di integrale. In questo caso specifico si noti che l’integrale non `e tra −∞ e ∞, quindi occorre renderlo tale moltiplicando la funzione integranda per una porta.

h(t) =

Z

t

δ (θ)dθ + δ (t − 2) = µ ¶ 1 = p1 t − + δ(t − 2) 2 t−1

Z

+∞ −∞

¶¸ · µ 1 dθ + δ(t − 2) = δ(θ)p1 θ − t − 2

A questo punto `e semplice ricavare la funzione di trasferimento: ¡ ¢ sin 2πf 12 −j2πf 1 sin(πf) −jπf −j2πf2 2 +e H(f) = F {h(t)} = = e + e−j4πf e πf πf

15

Unit` a3

3.1

Segnali a potenza media finita

Esercizio 10 Un impulso ideale δ(t) `e inviato all’ingresso del sistema rappresentato in Fig. 3.1. • Calcolare l’energia e la potenza media di y1 (t) e y2 (t). • Calcolare (se esistono) gli spettri di energia di y1 (t) e y2 (t). • Dire se il sistema racchiuso nel riquadro tratteggiato `e lineare e/o tempo-invariante.

ej2 (t)

ft

1 1+j2 f

y1(t) y2(t) A

j2 ft

e

Figura 3.1

Soluzione Dalle tavole della trasformate di Fourier si ottiene che H(f) =

1 −→ h(t) = u(t)e−t 1 + j2πf

16

Quindi il segnale x1 (t) si ottiene come x1 (t) = δ(t) ∗ h(t) = u(t)e−t A loro volta y1 (t) e y2 (t) valgono y1 (t) = u(t)e−t ej2πfo t £ ¤ y2 (t) = A + u(t)e−t ej2πfo t

L’energia di y1 (t) si calcola facilmente usando la definizione nel dominio del tempo. y1 (t) `e quindi un segnale ad energia finita. ¯ ¯∞ Z ∞¯ Z +∞ Z ∞ ¯ ¯ 1 ¯ 1 ¯ −t j2πf0 t ¯2 2 −2t e dt = ¯¯− e−2t ¯¯ = |y1 (t)| dt = E y1 = ¯ dt = ¯e e 2 2 0 −∞

0

0

Il calcolo dell’energia di y2 (t) mostra che l’integrale diverge, quindi il segnale `e ad energia infinita. Per questo segnale non ha quindi senso calcolare uno spettro di energia. Z +∞ Z +∞ £ ¤2 A + u(t)e−t dt −→ ∞ Ey2 = |y2 (t)|2 dt = −∞

−∞

Il calcolo della potenza media di y1 (t) d`a zero. Questo era prevedibile, dal momento che un segnale a energia finita ha necessariamente potenza media nulla. Calcoliamo quindi la potenza media di y2 (t). L’integrale si pu` o calcolare indifferentemente negli intervalli [−T/2, T/2] e [0, T ]. Py2

= = = = =

Z 1 T |y2 (t)|2 dt t→∞ T 0 Z ¤2 1 T £ A + u(t)e−t dt lim t→∞ T 0 Z ¤ 1 T £ 2 A + 2Au(t)e−t + u(t)e−2t dt lim t→∞ T 0 ½ ¾ Z Z 2A T −t 1 T −2t lim A2 + e dt e dt + t→∞ T 0 T 0 ¾ ½ ¡ ¢ ¢ 1 ¡ 2A = A2 1 − e−2T lim A2 + 1 − e−T + T T t→∞ lim

Lo spettro di energia di y1 (t) vale ¯ ¯ ¯ ¯2 1 1 ¯ ¯ Sy1 (f ) = |Y1 (f )| = ¯ = 2 1 + j2π (f − f0 ) ¯ 1 + 4π (f − f0 )2 2

17

Verifichiamo la linearit`a e tempo invarianza del sistema nel riquadro. Applichiamo la notazione compatta L[x] per indicare l’uscita del sistema quando il segnale di ingresso `e X(t). Per quanto riguarda la linearit`a: L {a1 x1 + a2 x2 } = A + [a1 x1 (t) + a2 x2 (t)] ej2πf0 t L {x1 } = [A + x1 (t)] ej2πf0 t L {x2 } = [A + x2 (t)] ej2πf0 t L {a1 x1 + a2 x2 } 6= a1 L {x1 } + a2 L {x2 } Quindi il sistema non `e lineare. Per la tempo-invarianza: L {x(t − θ)} = [A + x(t − θ)] ej2πf0 t y (t − θ) = [A + x(t − θ)] ej2πf0 (t−θ) Pertanto il sistema non `e neanche tempo-invariante.

18

3.2

Filtraggio di segnali periodici

Esercizio 11 Si consideri il segnale periodico x(t) rappresentato in Fig. 3.2. Tale segnale viene filtrato con un filtro la cui risposta all’impulso h(t) `e rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T . x(t) 1

-T

-T 2

T 2

0

T

3T 2

t

Figura 3.2 Calcolare: • Lo spettro di potenza del segnale filtrato y(t). • La potenza media del segnale filtrato y(t). • Una espressione analitica per y(t). Soluzione P 2 x(t) `e periodico, quindi il suo spettro di potenza `e Gx (f) = +∞ n=−∞ |µn |δ(f − n/T ). I coefficienti µn , che determinano univocamente lo spettro di potenza, si possono ottenere dalla trasformata di Fourier del¡segnale ¢ XT (t) considerato nel periodo fondamentale, ovvero xT (t) = pT/2 t − T4 . +∞ ¯¯ ´ ³ ´¯¯2 ³ X ¯ 1 XT n ¯ δ f − n Qx (f) = ¯T ¯ T T n=−∞

¢ ¡ sin πf T2 −j2πf T 4 XT (f) = e πf ¡ ¢ T sin π2 fT −jπf T 2 = e π 2 2 fT

µn

³n ´ 1 1 XT = = T T 2  1  2 = 0  vd. seguito 19

¡ ¢ sin n 2π −jn π 2 e n π2 per n = 0 per n pari per n dispari

µ2n+1

¡ ¢ ³ ³ π´ 1 sin (2n + 1) π2 h π ´i cos (2n + 1) = = − j sin (2n + 1) π 2 (2n + 1) 2 2 2 = −j

1 sin2 (2n + 1) π2 1 = π 2 (2n + 1) 2 jπ (2n + 1)

µn =

  

µ2n

=

  

1 2

0

1 jπn

per n = 0 per n pari per n dispari

1 4

per n = 0 per n pari per n dispari

0 1 π 2 n2

Lo spettro di potenza del segnale all’uscita del filtro si ottiene come T2 δ(f ) 4 Infatti tutte le altre delta di Dirac nello spettro di potenza Gy (f) vengono poste a zero dagli zeri di |H(f )|2 (di cui abbiamo omesso il calcolo). Il calcolo della potenza risulta quindi banale: Gy (f) = Gx (f ) |H(f )|2 = |µ0 |2 T 2 δ (f) =

T2 4 Il calcolo di un espressione per il segnale y(t) `e abbastanza semplice. Visto che il segnale di ingresso `e periodico, il segnale di uscita y(t) deve essere anch’esso periodico (eventualmente una costante, o pari a zero). La densit` a spettrale di potenza Gy (f) ci dice che y(t) `e una costante diversa da zero, in quanto il contributo alla frequenza zero `e non nullo. Ci rimane da stabilire il segno (si ricordi che i coeffic...