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Introduzione ai segnali e sistemiSegnale di input  SISTEMA LTIS (Linear time invariant system) processa il segnale di input per generare un segnale di output SEGNALI SISTEMI Insieme di informazioni su un dato; grandezza fisica (va rappresentata rispetto alla variabile indipendente) misurabile che ...

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Introduzione ai segnali e sistemi Segnale di input  SISTEMA LTIS (Linear time invariant system) processa il segnale di input per generare un segnale di output SEGNALI SISTEMI Insieme di informazioni su un dato; grandezza Un sistema processa dei segnali per estrarre fisica (va rappresentata rispetto alla variabile informazioni e produrre un output, tramite una indipendente) misurabile che varia nel tempo. funzione di trasferimento simbolo h(·) Variabili indipendenti: tempo(t), spazio Una parte dell’output può rientrare nel sistema e (1,2,3dimensioni). Variabile dipendente: ampiezza. contribuire all’input (anello chiuso, feedback). Vettore Matrice Classificazione dei segnali: • Continui-Discreti o Continui: un segnale che è specificato per ogni valore reale della variabile indipendente. Quest’ultima è continua (prende ogni valore nell’asse dei reali: t ∈ R R), il dominio ha cardinalità dei reali. Segnale f=f(t). o Discreti: un segnale che è definito solo per valori discreti della variabile indipendente (n, t ∈ Z interi). È solitamente generato dal campionamento e quindi avrà valori a intervalli uguali lungo l’asse temporale. Segnale  f=f[n] sequenza. • Analogici-Digitali o Analogici: un segnale la cui ampiezza (codominio, l’asse y) può assumere qualsiasi valore in un intervallo continuo (ha la cardinalità dei numeri reali). Non è detto che sia continuo per forzasegnale analogico a tempo discreto (sequenze). o Digitali: segnale la cui ampiezza può assumere solo un numero finito di valori, quindi viene quantizzato. Se l’ampiezza di un segnale di questo tipo può prendere soltanto M diversi valori si dice che è M-ario; caso particolare: segnale binario (M=2). Non è detto che sia discreto per forza  segnale digitale a tempo continuo (segnale quantizzato) I segnali a tempo continuo e a tempo discreto qualificano la natura di un segnale lungo l'asse temporale (orizzontale). I termini analogici e digitali, dall'altro, qualificano la natura dell'ampiezza del segnale (asse verticale). • Periodici-Aperiodici o Periodici: un segnale f(t) è periodico se esiste una costante positiva T0 tale che f(t+ T0) = f(t)per ogni t; il più piccolo T0 che soddisfa questa relazione è detto il PERIODO della funzione f(t). Rimane invariato se lo traslo di un multiplo di T: per questo motivo parte da -∞ a +∞. Un'altra proprietà importante di un segnale periodico è che x (t) può essere generata mediante estensione periodica di qualsiasi segmento di x (t) di durata T. Di conseguenza possiamo generare x (t) da qualsiasi segmento x (t) (aventela durata T) inserendo questo segmento ela sua riproduzione ad infinito da entrambi i lati. o Aperiodici: un segnale che non è periodico • Causali-Anticausali-Noncausali o Causali: segnali che sono a zero per ogni tempo negativo (o posizioni spaziali). f(t)=0 per t=0 o Non causali: segnali che hanno dei valori diversi da zero sia in tempi positivi che negativi. Parte da prima di zero: esiste un t1 < 0: f(t1) =0.

• Pari-Dispari o Pari: qualsiasi segnale f tale che f(t)=f(-t) può essere riconosciuto perché è speculare all’asse verticale. Es: coseno. L’area totale è 2 volte metà area. o Dispari:segnale f tale che f(t)=-(f(-t))Es: seno. L’Area totale = 0. Qualsiasi segnale può essere scritto come combinazione di un segnale pari e uno dispari. f(t)=1/2*(f(t)+f(-t))+1/2*(f(t)-f(-t))prima parte componente pari, seconda dispari. Pari x dispari = dispari, disp x disp=pari, pari x pari=pari.

• Deterministico-Probabilistico (random) o Deterministico: un segnale la cui descrizione fisica è completamente conosciuta, sia in forma matematica che in forma grafica. o Random: un segnale i cui valori non possono essere previsti con precisione ma sono conosciuti solo in termini di descrizione probabilistica, come il valore medio ovalore medio quadrato. I valori futuri di un segnale casuale non possono essere previsti in modo accurato e di solito possono essere indovinati basandosi sulle medie di set di segnali. Esempi: EEG, rumore fotografico. • Lunghezza finita-Lunghezza infinita o Finite length: un segnale che non è zero su un insieme finito di valori della variabile indipendente: o Infinite length: segnale che non è zero su un insieme infinito di valori della variabile indipendente. Es: f(t)=sin(ωt) La NORMA descrive la dimensione di un segnale, ovvero la grandezza o la forza. Utilizziamo il concetto matematico di norma per quantificare questa nozione sia per i segnali a tempo continuo che per quelli a tempo discreto. L'energia è rappresentata dall'area sotto la curva (del quadrato del segnale). La potenza media di un segnale f(t), valutata sull’intervallo di osservazione [-T/2;T/2] è per definizione pari all’energia rapportata alla durata dell’intervallo stesso (T): P=E/T. La radice quadrata della potenza dà il valore quadratico medio (rms), che è una misura di similarità tra segnali. Inoltre è la base per la definizione del rapporto segnale/rumore (SNR), se è basso c’è tanto rumore. Esistono segnali per i quali né l'energia né la potenza sono finiti (segnale rampa) • Energia-Potenza o Energia: un segnale con energia finita; condizione necessaria: ampiezza va a zero come la variabile indipendente tende ad infinito. o Potenza: un segnale con potenza finita e diversa da zero. La media di un'entità in un intervallo infinito esiste se l'entità è periodica o ha una certa regolarità statistica. Un segnale di potenza ha energia infinita e un segnale di energia ha zero potenza. Tutti i segnali pratici hanno energia finita e sono quindi segnali energetici. È impossibile generare un vero segnale di potenza perché questo avrebbe durata infinita ed energia infinita. Operazioni utili sui segnali • Shifting: dato un segnale f(t) lo posso anticipare o ritardare di T secondi  f(t+T) lo anticipa, f(t-T) lo ritarda. • Scaling: Compressione o espansione di un segnale nel tempo. Per a>1 (t) = f(at) compressione, (t) = f(t/a) dilatazione (espansione). Per a0) o decrescente (σ 0 } t→∞

t→∞

Un sistema è: 1. stabile se e solo se ogni sua radice caratteristica si trova nella metà sinistra del piano complesso 2. instabile se una delle radici sta nella metà destra del piano complesso 3. marginalmente stabile se una delle radici sta sull’asse immaginario

Sistemi BIBO In un sistema stabile, un input limitato genera un output limitato

y(t) = h(t) * f(t) = ∫−∞ h(τ) f(t - τ) dτ +∞

|y(t)| ≤ ∫−∞ |h(τ)|| f(t - τ)| dτ Perciò:

+∞

|y(t)| ≤ K1∫−∞ |h(τ)| dτ +∞

Se f(t) è limitato si ha che |f(t − τ)| < K1 < ∞ ,e

Siccome h(t) contiene termini del tipo eλjt o t k eλjt , h(t) decresce esponenzialmente nel tempo se Re{ λj< 0 } e di conseguenza:

∫−∞ |h(τ)| dτ< K2< ∞ e |y(t)| ≤ K1K2< ∞ +∞

Tempo di risposta nei sistemi a tempo costante Siccome y(t) = h(t) * f(t), l’ampiezza dell’output è la somma delle ampiezze dell’input e della risposta impulsiva. Se l’input è una funzione delta, l’output ha un’ampiezza finita che significa che il sistema richiede tempo per poter rispondere pienamente (Th, l’ampizza di h(t)). Se l’input ha ampiezza Tf, l’output ha ampiezza Tf + Th.

Costante di tempo del sistema La costante di tempo del sistema descrive quanto il sistema è veloce: in particolare, più piccola è la costante e maggiore è la velocità del sistema Un possibile modo di vederlo è definendolo come altezza di un impulso rettangolare con la stessa area di h(t): Thh(t0) =

+∞ ∫−∞ h(τ)

dt Th =

+∞

∫−∞ h(t) dt h(𝑡0 )

Per un sistema a singola radice caratteristica: 1 +∞ 1 h(t) = Aeλtu(t)  h(0) = A e quindi Th = A ∫ 0 eλt d(t) = − λ Per un sistema multimodale, h(t) è una somma pesata dei modi caratteristici in modo che Th sia una somma pesata delle costanti di tempo dei modi caratteristici del sistema

Costante di tempo, filtraggio e tasso di informazione C’è una stretta connessione tra il sistema a tempo costante e le sue proprietà di filtraggio: una costante di tempo breve indica che il sistema è in grado di reagire velocemente a variazioni dell’input. Un sistema con una costante di tempo Th si comporta come un filtro passa-basso con una frequenza di 1 taglio Fc = Th Hertz Il sistema impiega Th secondi per reagire completamente ad un singolo impulso, perciò per evitare interferenze tra le risposte impulsive devono essere distanziate di almeno Th secondi Il tasso massimo 1 k ottenibile dal sistema non può eccedere di Th impulsi al secondo. Fc = Tr

Capitolo 3 Rappresentazione dei segnali con le serie di Fourier I segnali come vettori Un segnale può essere assimilato come un vettore. Le operazioni tra segnali possono essere facilmente interpretate come operazioni tra vettori: 1. componenti di un vettore (versori) fx = |f|cosϑ = f ∙ x fy = |f|senϑ = f ∙ y 2. prodotto interno (scalare): f ∙ x = |f||x|cosϑortogonalità -> f ∙ x = |f|cos90° = 0 3. norma |x|2 = x ∙ x : prodotto scalare di un vettore con se stesso Componente di un segnale La proiezione ortogonale di un vettore su un altro minimizza l’errore ed ha norma minima. Consideriamo il problema di approssimare un segnale reale f(x) in termini di un altro segnale x(t) su un intervallo [t1, t2]: f(t)≈cx(t) t1< t < t2. L’errore è: e(t)=f(t)-cx(t) nell’intervallo, 0 altrimenti. L’energia del segnale è una possibile misura della dimensione del segnale: per una buona approssimazione dobbiamo minimizzare il segnale di errore e , che vuol dire minimizzare la sua t2 dimensione. L’energia del segnale di errore è: Ee= ∫t1 𝑒 2 (t)d.tMinimizzando Eesi può vedere che il (t)x(t (t)x(t)) d𝐭 . valore ottimale della costante c è dato da: c= 𝑬 ∫𝐭𝟏 𝐟(t)x(t 𝟏

𝒙

𝐭𝟐

Quindi f(t) contiene una componente cx(t), che è la proiezione di f su x; il prodotto interno di f(t) su x(t) t2 è dato da: ∫t1 f(t)x(t) d,te vale zero se f e x sono ortogonali. Coefficiente di correlazione Maggiore è c maggiore è la similarità tra i segnali f e x; in altre parole, se c è grande allora f e x sono simili. Inoltre la similarità tra due vettori dipende dall’angolo ϑ tra di essi: più piccolo è maggiore è la similarità e viceversa. Ci conviene però misurare il grado di similarità usando il cosϑ (se aumenta, 𝐟∙𝐱 aumenta la similarità): cn =co co coss ϑ = . cn è il coefficiente di correlazione tra due vettori.-1T e G2: g...