Appunti - lezione 11 - interferenza di intersimbolo (isi) - - teoria dei segnali - a.a. 2015/2016 PDF

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INTERFERENZA DI INTERSIMBOLO (ISI)...

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INTERFERENZA DI INTERSIMBOLO (ISI) Nell’accezione comune, le forme d’onda utilizzate in una trasmissione numerica hanno durata finita; in particolare, è frequente il caso in cui si utilizzino, almeno, in principio, impulsi rettangolari di durata uguale o minore di un intervallo caratteristico, denominato tempo di simbolo. La trasmissione di un segnale numerico con queste caratteristiche avrebbe a rigore bisogno di una banda infinita. Ce ne convinciamo facilmente osservando che la necessità di limitare la durata del segnale (con fronti d’onda a pendenza spesso elevata, teoricamente infinita nel caso di impulso rettangolare) nell’andamento temporale del segnale implica la presenza di componenti spettrali significative anche alle alte frequenze. Quando dunque un segnale numerico si trova a transitare attraverso un filtro (e la situazione più frequente è quella di un canale di trasmissione che presenta un comportamento passa-basso o passa-banda) esso verrà inevitabilmente distorto. Così come illustrato qualitativamente in Figura 1, gli impulsi binari, che sono ben distinti nel segnale di ingresso si(t) risultano sovrapposti nel segnale di uscita su(t) 1 . Trattandosi di un fenomeno (indesiderato) di interazione tra simboli, si è soliti parlare di interferenza intersimbolica (ISI: InterSymbol Inteference). La Figura 1 considera il caso di trasmissione binaria ma il problema si pone in termini analoghi anche nel caso di trasmissione M-aria (con più di 2 livelli). I simboli interferenti possono riferirsi allo stesso (e unico) segnale o, più frequentemente, quando il mezzo trasmissivo è condiviso tra più utenti a divisione di tempo, essere associati a segnali relativi a diverse coppie sorgente-destinazione; in quest’ultimo caso si ha un effetto di mutuo disturbo tra comunicazioni distinte.

s i (t) A

...

... t

T Tc

s u(t)

t

Tc

Figura 1 1

La Figura si riferisce al transito del segnale numerico attraverso un filtro passa-basso di tipo RC; l’esempio verrà discusso in dettaglio nel successivo Esercizio n. 2. 1

L’effetto di interferenza intersimbolica può essere facilmente visualizzato su un oscilloscopio: l’asse orizzontale dei tempi viene sincronizzato alla frequenza di campionamento, mentre all’asse verticale viene applicato il segnale. Quale risultato si ottengono figure caratteristiche che, in ragione della loro forma, vengono comunemente denominate “diagramma ad occhio”. Un esempio di diagramma ad occhio per una trasmissione binaria è illustrato in Figura 2.

Figura 2

Dal punto di vista concettuale, il diagramma ad occhio si ottiene generando tutte le possibili sequenze di simboli binari e graficandone sovrapposti gli andamenti a valle del canale distorcente. Alcuni esempi sono riportati in Figura 3, insieme ad una somma parziale delle forme d’onda ricevute.

Figura 3 2

Tra i parametri caratteristici del diagramma ad occhio, quello certamente più importante è la sua apertura. Il modo più semplice di rivelare un segnale numerico consiste nel campionarne il valore in corrispondenza di certi istanti tk = ±kTs (k = 0, 1, 2, …) dove Ts è il tempo di simbolo, vale a dire l’intervallo temporale dedicato alla trasmissione di ciascun simbolo 2 . E’ in corrispondenza di questi istanti caratteristici, anche noti come istanti di decisione, che si deve essere in grado di discriminare quale simbolo è stato trasmesso; ed è evidente che più il livello basso distorto risulta distinguibile dal livello alto distorto più la discriminazione sarà agevole e meno influenzata dagli effetti del rumore3 . L’apertura dell’occhio dà la massima distanza tra i due livelli, ed è allora in corrispondenza di questi punti, distanziati di Ts l’uno dall’altro, che dovranno essere fissati gli istanti di decisione. La Figura 2 fornisce un esempio di occhio molto aperto, in cui dunque l’effetto di interferenza di intersimbolo è del tutto trascurabile. Altri esempi di diagrammi ad occhio pressoché ideali, per una trasmissione binaria bipolare sono riportati, in forma schematica, nelle Figure 4(c) e 4(d): le zone in grigio individuano le regioni contenenti gli inviluppi di tutti gli impulsi possibili nell’intorno dell’istante di decisione. Viceversa, i diagrammi ad occhio di Figura 4(a) e 4(b) sono piuttosto chiusi, e la distanza tra il minimo inviluppo positivo e il massimo inviluppo negativo nell’istante di decisione risulta, a parità di ampiezza dei segnali, significativamente ridotto.

Figura 4

Diagrammi ad occhio ideali possono essere ottenuti con una scelta adeguata della funzione di trasferimento del canale, ovvero introducendo una opportuna equalizzazione della funzione di trasferimento di un canale preassegnato. In pratica, partendo dal presupposto che la distorsione del generico impulso trasmesso non può essere eliminata (giacché questo, come detto, implicherebbe la disponibilità di una banda infinita) l’idea è quella di eliminarne gli effetti, facendo in modo che la distorsione subita da un impulso sia nulla in corrispondenza degli istanti di decisione degli altri impulsi. Va subito detto che questo tipo di risultato non sempre è conseguibile. In particolare, se la banda B del canale è minore della metà della frequenza di simbolo del segnale numerico (vale a dire 2

Come illustrato implicitamente in Figura 1, nel caso binario si userà indifferentemente, ad indicare la stessa quantità, anche Tc (tempo di cifra) o Tb (tempo di bit); in questa descrizione introduttiva utilizziamo Ts per maggiore generalità. D’altro canto è buona norma ricordare che la notazione usata è un fatto puramente convenzionale; ciò che conta è l’interpretazione del suo significato. 3 Il rumore che interessa, prima di tutto, considerare è il rumore termico, il quale verrà introdotto in una successiva dispensa nonché trattato, con particolare dettaglio, nell’ambito del Corso di Telecomunicazioni. 3

se B < Fs/2 = 1/(2Ts)) l’obiettivo dell’annullamento dell’interferenza di intersimbolo non potrà essere, in alcun modo, conseguito. Per una data frequenza di simbolo, caratteristica della trasmissione, esiste dunque una larghezza di banda minima per la banda del canale, al di sotto della quale l’ISI non può essere compensata. Dualmente, un sistema caratterizzato da una banda B, se necessario opportunamente equalizzato, può annullare l’interferenza intersimbolica di sistemi con frequenza di simbolo al più uguale a 2B, ma non maggiore. Ad esempio, se B = 1 MHz non si può annullare l’ISI di un sistema con frequenza di simbolo Fs > 2 Mbit/s. Posto dunque B ≥ Fs/2, possiamo ora fornire alcuni esempi di funzioni di trasferimento potenzialmente in grado di annullare l’interferenza intersimbolica. La funzione H(ω) che, in questo senso, verrà specificata di seguito, rappresenta la funzione di trasferimento della cascata di reti 2porte schematicamente illustrate in Figura 5; tale cascata include: -

la rete di formazione degli impulsi R(ω); la funzione di trasferimento del mezzo trasmissivo L(ω); la funzione equalizzatrice in ricezione E(ω).

Si ha dunque

H ( ω) = R ( ω) L(ω) E(ω)

(1)

R(ω)

L( ω)

E(ω )

H(ω) Figura 5

La rete di formazione degli impulsi, in particolare, trasforma una sequenza di delta di Dirac in ingresso (cui è associata, in senso stretto, l’informazione) in una sequenza di impulsi di durata finita. Un esempio è illustrato in Figura 6 per una sequenza di informazione 1001.

0 Tc 2Tc 3Tc

α

t

0 Tc 2Tc 3Tc

R(ω)

t

β

Figura 6

L’informazione trasmessa è chiaramente già contenuta nella successione di delta di Dirac, ma tale successione non è un segnale fisico (in quanto un impulso matematico ideale non può essere 4

ottenuto in pratica) mentre tale risulta la successione di impulsi rettangolari. Il segnale effettivamente emesso dalla sorgente, ed inviato al destinatario, è quindi quello che si rinviene nella sezione β, ma nella definizione della H(ω) conviene inglobare anche la R(ω) perché così facendo si ottiene un risultato che è indipendente dalla forma degli impulsi trasmessi. Se la H(ω) che annulla l’interferenza di intersimbolo fosse specificata solo a valle della sezione β, e dunque includesse solo L(ω) ed E(ω), il risultato varrebbe esclusivamente per quella specifica forma degli impulsi, e dovrebbe essere cambiato quando, ad esempio, in luogo di impulsi rettangolari si trasmettessero impulsi triangolari o gaussiani. Tenendo conto di questa precisazione, una prima importante classe di funzioni in grado di annullare l’interferenza di intersimbolo è quella che va sotto il nome di “funzione di trasferimento a coseno rialzato”. L’espressione analitica di H(ω) per questa classe di funzioni è la seguente: ⎧ ⎪ Ho ⎪ ⎪H ⎡ ⎛ ω Ts − π ⎞ ⎤ ⎟⎥ H (ω) = ⎨ o ⎢1 − sin⎜⎜ ⎟ 2 2 b ⎪ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎪ ⎪0 ⎩

per ω ≤ π per π

1− b Ts

1 −b 1+ b ≤ ω≤π Ts Ts

per ω ≥ π

(2)

1+ b Ts

dove Ho è una costante reale, mentre b è detto “fattore di roll-off” e varia tra 0 e 1. Alcuni andamenti di H(ω), limitatamente alle pulsazioni positive, sono riportati in Figura 7, assumendo b = 0, b = 0.5 e b = 1, rispettivamente. La larghezza di banda, espressa in Hz, della funzione di trasferimento a coseno rialzato vale B=

1 ⎛ 1+ b ⎞ 1 + b ⎟= ⎜π 2 π ⎜⎝ Ts ⎟⎠ 2Ts

(3)

e il suo valore minimo, quando b = 0, è pari a 1/(2Ts). Ciò, da una parte, conferma le precedenti considerazioni sulla banda minima in grado di annullare l’ISI e, dall’altra, evidenzia che se l’obiettivo è quello di minimizzare l’occupazione spettrale la scelta b = 0 è la più conveniente. D’altro canto, guardando la figura, ci si rende anche conto che la funzione di trasferimento per b = 0 è pressoché impossibile da realizzare con componenti fisici, mentre la funzione con b = 1, ad esempio, presentando una transizione più graduale, sarà realizzabile in modo relativamente semplice ed efficiente. La scelta del valore di b ottimo, oltre che legata all’occupazione spettrale della H(ω), dipende peraltro anche da considerazioni nel dominio del tempo. E’ possibile verificare che l’antitrasformata della H(ω) assume, in generale, la seguente espressione: ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin⎜⎜ t ⎟⎟ cos⎜⎜ bt ⎟⎟ 1 ⎝ Ts ⎠ ⎝ Ts ⎠ h( t) = H o 4 π Ts t 1 − 2 b2 t 2 Ts Ts

(4)

h(t) ha il significato di risposta impulsiva del sistema di Figura 5; tre possibili andamenti, di nuovo per b = 0, b = 0. 5 e b = 1, sono rappresentati in Figura 8, dove si è posto ho = Ho/Ts. Tutte le curve verificano la condizione: 5

h (0) = h o

, h ( kTs ) = 0 , k = ± 1, ± 2, …

(5)

H(ω )

b=0 Ho

b=0.5 b=1

π/T s

0

ω

2π/T s

Figura 7

La (5) esprime la condizione necessaria e sufficiente per l’annullamento dell’ISI in quanto una delta di Dirac applicata in t = 0 produce una funzione che, seppur distorta, si annulla in corrispondenza dei potenziali istanti di applicazione delle delta di Dirac precedenti o successive4 . Per una delta di Dirac applicata in t = mTs il discorso è analogo: la distorsione che subirà tale segnale non avrà alcun effetto in corrispondenza di istanti che distano per multipli interi (positivi o negativi) del tempo di simbolo, e che dunque potranno essere assunti come istanti di decisione.

h(t) ho

b=1

-3T s -2T s

-T s

0 Ts

2Ts 3Ts

b=0

t

b=0.5

Figura 8

4

Si noti che la h(t) definita dalla (4) e graficata per alcuni valori di b in Figura 8 non soddisfa il principio di causalità, in quanto h(t) ≠ 0 per t < 0. Per renderla causale, comunque, è sufficiente aggiungere un ritardo tr, il che corrisponde in ω a moltiplicare la (2) per un fattore e–iωtr. 6

Dalla Figura 8 osserviamo che all’aumentare del valore di b le “code” della h(t) risultano maggiormente confinate intorno all’asse dei tempi. Per b = 1 si hanno addirittura ulteriori passaggi per lo zero oltre a quelli risultanti dalla (5). Ciò può essere un vantaggio quando, ad esempio in conseguenza di “derive” degli oscillatori, gli istanti di decisione non risultano sempre esattamente equispaziati di Ts: l’entità del disturbo introdotto dalla h(t) per b = 1 sarà infatti certamente minore dell’entità del disturbo per b = 0. Combinando l’esigenza di avere un’occupazione spettrale comunque contenuta ed un’ISI tollerabile nel caso di comportamento non ideale degli oscillatori, la scelta più comune è quella di adottare fattori di roll-off intermedi. I valori più frequenti di b sono compresi tra 0.6 e 0.8. Osservando l’espressione analitica (2) o la sua rappresentazione grafica di Figura 7 è possibile rendersi conto che la famiglia delle funzioni a coseno rialzato verifica la seguente importante proprietà: ∞

H o (ω o ) =

⎛

∑ H⎜⎜⎝ω

n = −∞

o

+n

2π ⎞ ⎟ = Ts h o T s ⎟⎠

,

−

π π ≤ ωo ≤ Ts Ts

(6)

In altre parole, considerata una generica pulsazione ωo nell’intervallo [–π/Ts, π/Ts] la funzione Ho(ωo), che si ottiene sommando i valori assunti dalla H(ω) in ωo ed in punti che distano da ωo per multipli interi di 2π/Ts, è costante. Questo risultato è evidente nel caso b = 0, essendo la funzione di trasferimento diversa da zero (e, appunto, costante) nel solo intervallo [–π/Ts, π/Ts], ma può essere facilmente verificato anche, ad esempio, nel caso b = 0.5 o nel caso b = 1. Ovviamente occorre tener conto anche della porzione di spettro per ω negative, omessa in figura per semplicità. Questa proprietà, nota come criterio di Nyquist, è di validità generale e consente di definire una famiglia di funzioni, appunto note come funzioni della classe di Nyquist, tutte in grado di annullare l’interferenza intersimbolica. Come osservato, le funzioni a coseno rialzato sono particolari funzioni della classe di Nyquist. Quest’ultima, però, ne include molte altre: tutte quelle che verificano la (6). In pratica, data una funzione H(ω), per verificare se essa è in grado o meno di annullare l’ISI di una trasmissione con frequenza di simbolo Fs = 1/Ts, si deve valutare la funzione Ho(ωo) (anche detta “spettro equivalente”) per ogni ωo∈[–π/Ts, π/Ts]: se Ho(ωo) ha ampiezza costante5 non si avrà ISI sul segnale di uscita; altrimenti l’ISI sarà presente, e il suo effetto sulla qualità di trasmissione dovrà essere valutato. Un modo operativo per costruire la funzione Ho(ωo) consiste nel “tagliare a fettine” di ampiezza 2π/Ts (la prima “fettina” è centrata nell’origine) la funzione di trasferimento H(ω) e nel ripiegare le “fettine” nell’intervallo [–π/Ts, π/Ts]; un esempio di tale procedura è riportato in Figura 9. Se, dopo aver sovrapposto tutti i possibili contributi, il risultato è una costante si potrà concludere che la H(ω) assegnata appartiene alla classe di Nyquist. Come espresso esplicitamente dalla (1), La H(ω) è il risultato della combinazione della rete di formazione degli impulsi R(ω), della funzione di trasferimento del canale L(ω) e di una eventuale rete equalizzatrice E(ω) in ricezione. Una volta scelto il mezzo trasmissivo L(ω) è assegnata; ad esempio, nel caso di un cavo coassiale, sotto l’ipotesi di piccole perdite, si può scrivere: ⎡ L(ω ) = exp⎢− ⎣

⎤ ω (1 + i ) − iω tc ⎥ ωo ⎦

(7)

Per completezza, va detto che occorre anche verificare che la fase di Ho(ωo) sia lineare; come si vede, queste condizioni non sono diverse da quelle che definiscono l’assenza di distorsione lineare sul segnale che transita attraverso lo spettro equivalente. 5

7

dove ωo è una pulsazione caratteristica, mentre tc è il tempo di propagazione delle onde elettromagnetiche nel mezzo. Ben difficilmente la L(ω) appartiene, di per sé, alla classe di Nyquist; in generale, è quindi necessario introdurre l’opportuna correzione attraverso R(ω) e/o E(ω).

Figura 9

Chiaramente deve essere: E(ω ) R (ω ) =

H ( ω) L( ω)

(8)

Questa espressione, peraltro, presenta ancora un grado di libertà, in quanto essa specifica il solo prodotto tra le funzioni R(ω) ed E(ω). Una soluzione molto frequente consiste nell’assumere: E(ω ) = R (ω ) =

H (ω)

(9)

L(ω)

scegliendo arbitrariamente la fase di E(ω) (anche tenendo conto di eventuali difficoltà realizzative) e ricavando quella di R(ω) in modo da soddisfare la (8). Se il rapporto H(ω)/L(ω) è reale si può porre semplicemente: E( ω) = R * ( ω) (10)

Un progetto più completo dovrebbe tener conto anche dell’effetto del rumore, e sfruttare il grado di libertà offerto dalla (8) in modo da minimizzare la probabilità di errore a valle del ricevitore. Si dimostra comunque che la scelta (9) è ottima, a meno eventualmente di un irrilevante fattore di scala, nel caso di rumore a spettro piatto (rumore bianco) e di funzione L(ω) che può essere assunta costante almeno nell’intervallo di frequenze di interesse. La famiglia di funzioni della classe di Nyquist sembra dunque risolvere completamente il problema dell’annullamento dell’interferenza di intersimbolo. Nondimeno, come si è avuto modo di accennare, la pratica realizzabilità di un filtro di Nyquist potrebbe non essere agevole; oltretutto, se la funzione di trasferimento del canale ha banda passante B < Fs/2 l’annullamento dell’ISI non potrà in alcun caso essere conseguito. Si può pensare di rendere meno stringenti le condizioni imposte più sopra tollerando, ad esempio, che la risposta impulsiva h(t) sia diversa da zero non solo in corrispondenza dell’istante di decisione

8

di interesse ma anche in corrispondenza dell’istante di decisione immediatamente successivo. Ciò significa porre, in luogo delle (5), assunto per comodità ho = 1 6 :

⎧1 ⎪ h( kTs ) = ⎨ ⎪0 ⎩

per k = 0, 1 (11)

per k ≠ 0, 1

Sulla base della (11), il sistema introdurrà una certa ISI, ma si tratta, per così dire, di un’ISI “controllata” e che potrà quindi essere compensata in ricezione. La funzione di trasferimento in grado di soddisfare le condizioni assegnate ha la seguente struttura:

⎧ ⎛ ωTs ⎪2Ts exp ⎜ − i 2 ⎝ ⎪ H (ω) = ⎨ ⎪0 ⎪⎩

⎞ ⎛ ωTs ⎞ ⎟ cos⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠

per ω ≤

π Ts

(12)

π per ω > Ts

cui corrisponde, per antitrasformazione, h( t) =

sin( πFs t ) sin(πFst − π ) + πFs t πFst − π

(13)

L’andamento del modulo di H(ω) è riportato in Figura 10, e quello di h(t) in Figura 11. La risposta impulsiva, in particolare, prende il nome di “segnale impulsivo duobinario” (duobinary signal pulse) ed è un esempio di segnale cosiddetto “a risposta parziale” (partial response signal). In virtù della (11), indicato con Im il valore dell’informazione nell’m-esimo istante di decisione, è chiaro che il campione, ym, rivelato in uscita dal filtro ricevente sarà in realtà:

y m = I m + I m− 1

(14)

in quanto vi è l’effetto del simbolo di informazione precedente. Resta peraltro confermato che l’interferenza introdotta è di tipo deterministico, e il valore di Im potrà essere recuperato sottraendo al campione corrente rivelato il campione precedente. |H( ω )|

2T s

-π/T s

0

Figura 10 6

La normalizzazione della risposta impulsiva è ovviamente sempre possibile. 9

π/T s

ω

h(t) 4/π 1

t -3T s -2T s

-T s

0

T s 2T s

3T s

Figura 11

Tenendo anche conto della presenza del rumore (trascurato nella (14) per semplicità), è qualitativamente evidente che il maggior problema di questa tecnica consist...