Appunti - lezione 6 - altre trasformate - hilbert - teoria dei segnali - a.a. 2015/2016 PDF

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TRASFORMATA DI HILBERT La Trasformata di Hilbert è una particolare rappresentazione che, contrariamente ad altre trasformate (Fourier, Laplace, Z, …) non realizza un cambiamento del dominio di definizione. In altre parole, a partire da una funzione del tempo s(t), la trasformata di Hilbert s~( t) è ancora una funzione del tempo. In questo, la trasformata di Hilbert è simile al teorema del campionamento, che pure costituisce una rappresentazione di un segnale analogico, sotto determinate condizioni. L’operazione di trasformazione di Hilbert è concettualmente, ed operativamente, molto semplice: ~s (t ) si ottiene come uscita da un filtro, appunto detto di Hilbert, caratterizzato dalla funzione di trasferimento: ⎧− i ⎪ H H ( f ) = ⎨0 ⎪i ⎩

per f > 0 per f = 0

(1)

per f < 0

in termini di parte reale e parte immaginaria, ovvero: ⎧1 per f ≠ 0 HH ( f ) = ⎨ ⎩ 0 per f = 0

(2a)

⎧ π ⎪− 2 per f > 0 ⎪ arg {H H ( f ) } = ⎨0 per f = 0 ⎪π per f < 0 ⎪ ⎩2

(2b)

in termini di modulo e fase. Nel dominio della frequenza si ha dunque: ~ S ( f ) = H H ( f ) S( f ) ,

(3)

~ dove S(f) è la trasformata di Fourier di s(t) mentre S ( f ) è la trasformata di Fourier di ~s( t) .

La trasformata di Hilbert ~s ( t) può dunque essere ottenuta dapprima utilizzando la (3) e quindi antitrasformando, secondo Fourier, il risultato del prodotto, oppure direttamente nel dominio del tempo, come integrale di convoluzione tra il segnale s(t) e la risposta impulsiva hH(t) del filtro di Hilbert. Quest’ultima si ricava facilmente e vale: hH ( t ) =

1 . πt

(4)

In considerazione del fatto che HH(f) è una funzione puramente immaginaria e dispari, era lecito attendersi che hH(t) fosse puramente reale e dispari. Tutto ciò dalle proprietà della trasformata di Fourier.

1

ESEMPIO: La trasformata di Hilbert della funzione s(t) = Acos(2πfct) vale s~( t) = Asin(2πfct). Infatti: S( f ) =

A [δ( f − f c ) + δ( f + f c )] , 2

e quindi, utilizzando la (1): ~ A A S ( f ) = [ − i δ( f − f c ) + iδ( f + f c )] = [δ( f − f c ) − δ( f + f c )]. 2 2i

Quest’ultima è la trasformata di Fourier di ~s( t) = Asin(2πfct). ***** ESEMPIO: Vogliamo calcolare la trasformata di Hilbert del segnale:

u( t) = m( t) cos(2 πfc t) dove m(t) è un segnale reale con spettro (di ampiezza e fase) compreso tra [−B, B], con B < fc. Sia M(f) ta trasformata di Fourier di m(t). Per il segnale u(t) si avrà allora: U (f )=

1 [ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] 2

La trasformata di Hilbert di u(t), indicata con u (t ), si ottiene facendo passare u(t) attraverso il filtro di Hilbert. Di conseguenza, con ovvia notazione, si avrà: 1 1 U ( f ) = ⎡⎣M ( f − f c ) + M ( f + f c ) ⎤⎦ H H ( f ) = ⎡⎣−iM ( f − f c ) + iM ( f + f c ) ⎤⎦ 2 2

avendo usato la definizione di filtro di Hilbert. A questo punto è sufficiente osservare che si può riscrivere: 1 1 ~ U ( f ) = M ( f )⊗ [− i δ ( f − f c )+ i δ ( f + fc )]= M ( f )⊗ [δ ( f − f c )− δ ( f + f c )] 2 2i dove ⊗ indica la convoluzione. Antitrasformando, si ottiene infine:

u( t) = m( t)sin(2 πfc t) Nel caso sia

u( t) = m( t)sin(2π fc t) con una procedura perfettamente analoga, si dimostra che risulta: 2

u( t) = − m(t)cos(2π f ct) ***** L’operazione di trasformazione inversa di Hilbert, che consente di riottenere il segnale s(t) a partire da s~(t) , richiede, in realtà, una nuova trasformata di Hilbert. E’ immediato, infatti, verificare che: ~ ~ ~ S ( f ) = H H ( f ) S ( f ) = H H ( f ) H H ( f )S ( f ) = − S ( f ) .

(5)

Se ne conclude che la trasformata di Hilbert della trasformata di Hilbert restituisce, a meno del segno, il segnale originale. A rigore, quindi, l’operazione di antitrasformazione è identica a quella di trasformazione con l’introduzione di un cambiamento di segno nel risultato. Va a questo punto precisato che quanto sopra vale per tutti i valori di f ≠ 0. In f = 0, infatti, in ragione delle (1) e (2), il valore di S(0), se diverso da zero, viene annullato, e non potrà essere più recuperato (in particolare dall’operazione di antitrasformazione (5)). Questa puntualizzazione definisce la condizione che deve essere verificata affinché un segnale s(t) sia “Hilbert trasformabile”: è necessario che la sua trasformata di Fourier sia nulla in f = 0. Visto che ∞

S (0) =

∫ s(t )dt è proporzionale al valor medio del segnale s(t), si può concludere che la classe dei

−∞

segnali per cui è applicabile la trasformata di Hilbert è quella dei segnali a valor medio nullo 1 . Applicazioni della trasformata di Hilbert si trovano nell’ambito della sintesi di reti lineari, mentre un utilizzo particolarmente importante per lo studio dei sistemi di telecomunicazione riguarda la rappresentazione dei segnali in modulazione di ampiezza a banda laterale unica (SSB: Single Side Band). ***** Altri esempi di trasformate di Hilbert sono riportati nella Tabella seguente:

~s (t ) 1 − cost t

s (t ) sin t t

1 t− 1 2 − ln 1 π t+ 2 1 πt t 1 + t2

rect(t )

δ(t ) 1 1 + t2 1 t

−πδ(t )

1

In realtà, la definizione qui fornita per il filtro di Hilbert è ideale: le funzioni di trasferimento (1) e (2), infatti, presentano una transizione brusca per f = 0. Un filtro reale (e quindi realizzabile) potrà soltanto approssimare tale definizione nell’intorno dell’origine per cui, onde evitare la comparsa di distorsione nel segnale ricostruito, si dovrà imporre che il segnale s(t) non solo presenti valor medio nullo ma, in aggiunta, non abbia componenti armoniche significative per un opportuno intervallo di frequenze nell’intorno dell’origine. 3

In tabella, rect(t) rappresenta l’impulso rettangolare di ampiezza unitaria centrato nell’origine. Il fatto che la trasformata di Hilbert dell’impulso matematico (delta di Dirac) sia uguale a 1/(πt) è ovvia conseguenza della (4) e della definizione di risposta impulsiva. La trasformata di Hilbert di 1/t, pure riportata in tabella, è allora conseguenza della proprietà di dualità.

4

TRASFORMATA DI LAPLACE La trasformata di Fourier può essere applicata, in senso stretto, solo a segnali assolutamente integrabili. Introducendo l’impulso matematico (delta di Dirac) la definizione può essere estesa ad una classe più generale di segnali2 : ciò si verifica, in particolare, per alcuni segnali a potenza finita, come un segnale costante, il segnale gradino o un segnale periodico. Nondimeno, alcuni segnali possono presentare potenza illimitata: è questo il caso, ad esempio, del segnale a rampa, ottenuto dall’integrazione del segnale gradino. Per questi segnali la trasformata di Fourier non è comunque applicabile. C’è da aggiungere che, operativamente, l’utilizzo della delta di Dirac potrebbe risultare non agevole o non conveniente, anche se essa può risolvere, nel senso precisato, il problema della trasformabilità. Per i motivi menzionati, è allora opportuno introdurre la Trasformata di Laplace, la quale è interpretabile come un’estensione della trasformata di Fourier. Riconsideriamo l’espressione della trasformata di Fourier di un segnale x(t): ∞

X (f )=

∫ x (t )e

− i2 π ft

dt

(6)

−∞

ovvero ∞

X (ω ) =

∫ x (t )e

− iω t

dt

(7)

−∞

con ω = 2πf. t Definendo ora una nuova funzione ν(t) = x(t)e−σ , con σ numero reale, la definizione precedente, applicata a questo nuovo segnale, fornisce: ∞

V (ω ) =

∫ ν (t )e

∞

− iω t

dt =

−∞

∫ x (t )e

−∞

∞

− σ t − iω t

e

dt =

∫ x (t )e

−( σ + iω) t

dt .

(8)

−∞

Per confronto con la (7), l’ultimo membro di questa equazione rappresenta X( σ+iω). Posto dunque s = σ+iω (s è la variabile di Laplace), la (8) può essere riscritta come: ∞

X (s ) =

∫ x(t )e

− st

dt .

(9)

−∞

La (9) rappresenta la trasformata di Laplace del segnale x(t). A partire dall’espressione della trasformata inversa di Fourier: 1 x (t ) = 2π 2

∞

∫ X (ω )e

iω t

dω ,

(10)

−∞

Si parla di trasformata di Fourier in senso generalizzato. 5

è poi immediato ricavare, sempre in virtù della sostituzione s = σ+iω (⇒ d ω = d σ/i), l’espressione della trasformata inversa di Laplace che sarà: 1 x (t ) = i 2π

σ +i ∞

∫

X (s )es tds .

(11)

σ −i ∞

Nel caso di segnali causali, e cioè nulli per t < 03 , la (9) si specializza in ∞

∫

X (s ) = x (t )e− st dt ,

(12)

0

mentre l’espressione (11) per la trasformata inversa resta valida. Qualitativamente, il senso della modifica introdotta dalla trasformata di Laplace è evidente: il σ segnale x(t) è stato moltiplicato per il “fattore di smorzamento” e− t (σ > 0); si capisce allora come la definizione (9) possa essere applicata a molti segnali che non sono, invece, Fourier trasformabili in quanto non assolutamente integrabili. Allo stesso tempo, la semplicità del legame tra trasformata di Fourier e trasformata di Laplace lascia intendere che le proprietà di quest’ultima possano essere immediatamente ricavate dalle proprietà della prima, tenendo conto del cambiamento di variabile. Così, ad esempio, la proprietà di traslazione temporale che per la trasformata di Fourier si scrive: x (t ) ⇔ X (ω ) −ω x (t − t0 ) ⇔ X (ω )e i t0

,

(13)

per la trasformata di Laplace diventa: x (t ) ⇔ X (s ) x (t − t0 ) ⇔ X (s )e− st 0

.

(14)

Analogamente si procede per le altre proprietà. ESEMPIO: Il semplice circuito RC di Figura 1 è descritto dall’equazione: t

∫

1 vin (t ) = i (t )R + i (ϑ )d ϑ . C 0

Applicando la trasformata di Laplace, e utilizzando le proprietà della trasformata (in particolare la proprietà dell’integrazione), si ottiene: 3

Il principio di causalità viene introdotto, preliminarmente, con la definizione di risposta impulsiva di un sistema lineare, e qui esteso ad un segnale qualsiasi. 6

I( s) =

V in ( s) . 1 R+ sC

Se ora si assume come tensione in ingresso un gradino unitario la cui trasformata vale Vin(s) = 1/s, la precedente fornisce: 1 R

I( s) = s+

1 RC

la cui antitrasformata vale: i( t) =

1 −t /(RC ) . e R

Questa funzione descrive l’andamento della corrente nel circuito per qualunque valore di t ≥ 0.

Figura 1 ***** ESEMPIO: Con riferimento alla Figura 2, essendo Vout(s) = I(s)/(sC), si può scrivere: H ( s) =

Vout ( s) 1 . = Vin ( s) sRC + 1

Questa espressione ha il significato di funzione di trasferimento (secondo Laplace) del sistema, per estensione dell’analoga definizione valida per la trasformata di Fourier, quest’ultima potendosi ottenere direttamente da quanto appena ricavato ponendo s = i ω.

Figura 2 *****

7

Un sistema lineare è per definizione descritto da una equazione integro-differenziale (che possiamo assumere, per quanto segue, a coefficienti costanti); ad esempio (equazione del secondo ordine): y (t ) = A

d 2 x (t ) dt 2

+B

dx(t ) d 2 y (t ) dy (t ) + Cx (t ) + D +E . 2 dt dt dt

(15)

I vari ordini di derivazione e integrazione si ottengono utilizzando componenti di tipo capacitivo e induttivo, eventualmente in combinazione con amplificatori (tipicamente retroazionati, ad esempio amplificatori operazionali) di ordine opportuno. Utilizzando la trasformata di Laplace, le derivate e gli integrali presenti nel dominio del tempo si convertono in potenze, positive e negative, della variabile s. Ad esempio, la (15) diventa: Y (s ) = As 2 X (s ) + BsX (s ) + CX ( s ) + Ds 2Y ( s) + EsY ( s) .

(16)

Si può allora definire la funzione di trasferimento H(s) = Y(s)/X(s), che per il caso in questione vale: H( s) =

As 2 + Bs + C − Ds − Es + 1 2

=

A(s − a 0 )(s − a1 ) . − D (s − b 0 )(s − b1 )

(17)

Le radici [a0, a1] del numeratore sono gli zeri della funzione, mentre le radici [b0, b1] del denominatore sono i poli. E’ facile verificare che il sistema con funzione di trasferimento H(s) è stabile4 se tutti i suoi poli hanno parte reale minore di zero. ESEMPIO: Si consideri la funzione di trasferimento: H (s) =

1 s −σ

con σ = ρ + i ζ. L’antitrasformata di questa funzione, che ha il significato di risposta impulsiva del sistema, vale h(t ) = eσ t = e ρt ei ζ t .

Ora, eiζ t è una funzione oscillante; la risposta impulsiva diverge se ρ = Re[σ] > 0, converge (e, in particolare tende a zero, come ragionevole per un segnale “fisico” di durata efficace limitata) se ρ < 0. ***** Per un sistema stabile, dunque, i poli della funzione di trasferimento si trovano a sinistra dell’asse immaginario. Ai fini della stabilità nessun particolare vincolo si pone, invece, sugli zeri della funzione di trasferimento. Nel caso di funzioni H(s) rappresentative di sistemi descritti da equazioni 4

Come già nella trattazione dei filtri numerici, la stabilità che qui interessa considerare è di tipo Bounded Input Bounded Output (BIBO): ad ingresso limitato corrisponde uscita limitata. 8

con coefficienti (detti “di Laplace”) reali (e quindi, come nella (17), espresse da rapporti di polinomi in s con coefficienti reali) i poli e gli zeri sono reali o, a coppie, complessi coniugati. ESEMPIO: Si consideri la funzione di trasferimento: H ( s) =

s 3 − 0.5s 2 + 0.12s − 0.008 . s3 + 2 s2 + 1.5 s + 0.5

La distribuzione dei suoi poli e dei suoi zeri è riportata in Figura 3. I poli sono in: s = −1, −0.5 − i0.5, −0.5 + i0.5; gli zeri in: s = 0.1, 0.2 − i0.2, 0.2 + i0.2. Il sistema è certamente stabile.

Figura 3 ***** Problemi di stabilità si pongono soprattutto nei sistemi retroazionati. Per questi ultimi, dunque, la quantità della retroazione (che di per sé viene introdotta per ottenere effetti benefici: ad esempio un aumento del guadagno nel caso di retroazione positiva, o una riduzione di sensibilità nel caso di retroazione negativa) deve essere adeguatamente controllata, al fine di evitare che il sistema diventi instabile. Dalle definizioni fornite, risulta chiara la corrispondenza tra la trasformata di Laplace e la trasformata Z (la cui definizione verrà richiamata nel seguito di questa dispensa). In effetti quest’ultima può essere vista come l’equivalente discreto della trasformata di Laplace. Considerando un segnale x(t) campionato in istanti regolarmente spaziati di T secondi l’uno dall’altro, si ottiene la sequenza di campioni (a tempo discreto) x(0), x(T), x(2T), …, x(kT). Utilizzando la definizione (12) dove, in accordo con il teorema del campionamento (ideale), la funzione x(t) è costituita da una successione di impulsi matematici centrati in kT e di area x(kT), la trasformata di Laplace della sequenza di campioni sarà: 9

∞

X (s ) =

∑x (kT )e

−s kT

.

(18)

k =0

Posto z = esT e sostituita la variabile temporale discreta kT con il solo numero intero k (identificando, in tal modo, ugualmente il campione, ma eliminando la dipendenza dall’intervallo di campionamento) la (18) diventa: ∞

X (z ) =

∑ x (k )z

−k

,

(19)

k=0

che coincide con la definizione di trasformata Z, per segnali causali. In particolare, è interessante evidenziare che l’asse immaginario sul piano s = i ω viene “mappato”, dalla legge di corrispondenza, nel cerchio di raggio unitario sul piano z; di conseguenza, il semipiano a sinistra dell’asse immaginario sul piano s corrisponde all’interno del cerchio unitario sul piano z, mentre i punti a destra dell’asse immaginario corrispondono alla regione del piano z esterna al cerchio unitario. Si giustifica in tal modo anche il motivo per cui, trattando la trasformata Z, per sistemi causali stabili la regione di convergenza include sempre il cerchio di raggio unitario. Si verifica infatti che nel caso di sequenze causali, in particolare (genericamente) di durata infinita, X(z) converge nella regione esterna al cerchio di raggio pari al modulo del polo di X(z) più lontano dall’origine nel piano complesso; la condizione per cui tali poli si trovino tutti all’interno del cerchio unitario (con ciò garantendo la stabilità) è dunque che quest’ultimo appartenga alla regione di convergenza.

10

TRASFORMATA WALSH La Trasformata Walsh utilizza come funzioni espansione delle opportune sequenze di impulsi rettangolari (funzioni di Walsh), suscettibili di assumere i valori ±1. Si tratta quindi di una tecnica di rappresentazione particolarmente semplice ed efficiente quando si lavora con l’algebra binaria. La Trasformata Walsh è particolarmente indicata per descrivere segnali che presentano discontinuità; al contrario, è minore la sua capacità di rappresentazione nel caso di forme d’onda continue. Le funzioni di Walsh dipendono dal tempo (t) e dalla sequenza (n). La variabile sequenza (sequency) prende il posto della frequenza nella Trasformata di Fourier: indicata con T la durata di una forma d’onda elementare, la variabile sequenza (detta anche “indice del codice di Walsh”) rappresenta il numero di transizioni +1/−1 all’interno di T. La generica funzione di Walsh viene allora indicata con WAL(n, t). Le funzioni di Walsh WAL(0, t), WAL(1, t), ….., WAL(7, t) sono rappresentate in Figura 4; nella rappresentazione, le funzioni sono ordinate in sequenza (cioè con un numero di attraversamenti dello zero crescente).

Figura 4 Indicando con N il numero di funzioni di Walsh (N = 8 in Figura 4), una funzione f(t) può essere espressa in termini di tali funzioni come segue: N−1

f (t ) = a 0WAL(0, t ) +

∑ a WAL(i, t)

(20)

i

i =1

con 11

T

1 ai = T

∫ f (t )WAL(i, t )dt

(21)

0

D’altro canto, le funzioni WAL(n, t) con n pari (n = 2k) vengono anche indicate con CAL(k, t), mentre le funzioni WAL(n, t) con n dispari (n = 2k + 1) vengono anche indicate con SAL(k, t). Di conseguenza, ipotizzando che N sia pari (e in effetti è questo il caso più frequente in pratica) la funzione f(t) può essere espressa in termini di funzioni di Walsh pari e dispari come segue: N / 2 N / 2− 1

f (t ) = a0CAL (0, t ) +

∑ ∑ ⎡⎣b SAL(i, t ) + c CAL ( j ,t )⎦⎤ . i

i= 1

j

(22)

j= 1

Le funzioni di Walsh sono ortogonali. Vale infatti la relazione: ⎧T

T

∫ WAL(m, t )WAL(n, t )dt = ⎩⎨ 0 0

per n = m per n ≠ m

(23)

Le definizioni precedenti sono del tutto generali. Nondimeno, dal punto di vista pratico, il maggior utilizzo della Trasformata Walsh si ha nella rappresentazione di segnali in forma discreta. Nel qual caso, indicando con x(n) la sequenza numerica rappresentativa del segnale e con X(k) la sequenza dei coefficienti della Trasformata Walsh, si può scrivere, per la coppia trasformata/antitrasformata: 1 X (k ) = N

N −1

∑ x(n)WAL(k, n)

k = 0,1,..., N − 1

(24)

n =0

e N −1

x (n ) =

∑ X (k )WAL (k , n)

n = 0,1,..., N − 1

...