Esercitazione - esercizi svolti per la prova di statistica medica - a.a. 2015/2016 PDF

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ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 2014/15)

INDICE

PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA 1. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

3

2. VALORI CARATTERISTICI DELLE DISTRIBUZIONI

21

3. INDICI DI VARIABILITA’

33

4. DISTRIBUZIONI BIVARIATE

41

5. PROVE INTERMEDIE DI ANNI ACCADEMICI PRECEDENTI

49

APPENDICE Tavola A: Tavola B:

Funzione di ripartizione della normale standardizzata Quantili della normale standardizzata

2

67 68

PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA

1. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

Esercizio 1.1 Data la seguente serie, relativa ad una variabile discreta X rilevata su 20 individui, 0 1 1 0 0 1 1 2 2 2 4 2 2 2 4 4 4 4 4 4 determinare la distribuzione espressa mediante frequenze relative e rappresentarla graficamente.

quote

Soluzione La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. ass. freq. rel. 0 3 0,15 1 4 0,20 2 6 0,30 4 7 0,35 totale 20 1,00 Una rappresentazione grafica adeguata per una variabile quantitativa discreta è il diagramma per ordinate che nel caso esaminato assume la forma riportata nella figura successiva. 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2 x

3

4

Esercizio 1.2 La seguente serie è relativa ad una variabile continua X rilevata su 10 individui: 1,2 1,5 2,0 2,1 2,8 3,3 3,6 4,2 5,9 6,8 sintetizzare i dati in una distribuzione costituita dalle classi 1-|2, 2-|4 e 4-|7 e disegnarne l’istogramma corrispondente. Soluzione La distribuzione espressa in termini di frequenze relative assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. ass. freq. rel. ampiezza classe densità 1 -| 2 3 0,3 1 0,3 2 -| 4 4 0,4 2 0,2 4 -| 7 3 0,3 3 0,1 totale 10 1,0 3

L’istogramma assume la forma seguente 0,3

densità

0,2

0,1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

x

Esercizio 1.3 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile X qualitativa sconnessa, X freq. ass. cum. a 25 b 75 c 95 d 100 calcolare le frequenze relative e rappresentare graficamente la distribuzione così ottenuta mediante un grafico a nastri.

modalità

Soluzione La distribuzione espressa in termini di frequenze relative è la seguente X freq. rel. a 0,25 b 0,50 c 0,20 d 0,05 totale 1,00 Il grafico a nastri corrispondente assume la forma

d c a b 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

quote

Da notare come le modalità della variabile siano state elencate sulla base dei valori assunti dalle frequenze relative associate. 4

Esercizio 1.4 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. -1 0,25 0 0,40 1 0,20 2 0,10 3 0,05 totale 1,00 Determinare inoltre l’espressione formale della funzione di ripartizione corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile compreso nell’intervallo (0, 2]. Soluzione La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma 0,4 0,35 0,3

quote

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -2

-1

0

1

2

3

4

x

L’espressione formale della funzione di ripartizione risulta x  -1 0 0,25 -1 x  0  0,65 0 x  1 F(x)   0,85 1 x  2  2 x  3 0,95 1 x3 La quota di individui con un valore della variabile compreso nell’intervallo (0, 2] è dato da F(2) – F(0) = 0,95 – 0,65 = 0,30.

Esercizio 1.5 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. cum. 2 0,55 4 0,75 6 1,00 rappresentarla graficamente, determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico.

5

quote

Soluzione La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

x

F(x)

L’espressione formale della funzione di ripartizione risulta x 2 0 0,55 2  x 4 F(x)   4 x  6  0,75 1 x 6 e la rappresentazione grafica corrispondente è data da 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

2

4

6

x

Esercizio 1.6 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X freq. rel. cum. 3 -| 4 0,5 4 -| 6 0,8 6 -| 10 1,0 disegnarne l’istogramma corrispondente. Soluzione Sulla base dei risultati riportati nella nella tabella successiva X freq. rel. ampiezza classe densità 3 -| 4 0,5 1 0,50 4 -| 6 0,3 2 0,15 6 -| 10 0,2 4 0,05 totale 1,0

6

8

l’istogramma assume la forma seguente 0,5

densità

0,4 0,3 0,2 0,1 0 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

Esercizio 1.7 Data la seguente serie di valori relativa ad una variabile discreta X 1 3 4 2 2 1 3 3 2 2 determinare la distribuzione di frequenza della variabile espressa mediante le frequenze relative cumulate. Rappresentare graficamente la funzione di ripartizione corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 3. Soluzione La distribuzione è la seguente X freq. ass. freq. rel. 1 2 0,2 2 4 0,4 3 3 0,3 4 1 0,1 totale 10 1,0

freq. rel. cum 0,2 0,6 0,9 1,0

Il grafico della funzione di ripartizione assume la forma 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

F(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 3 è data da F(3) = 0,9.

7

Esercizio 1.8 La seguente serie è relativa ad una variabile discreta X rilevata su 10 individui: 242, 245, 244, 248, 247, 242, 248, 244, 246, 242. Scrivere l’espressione analitica della funzione di ripartizione corrispondente e disegnarne il grafico. Determinare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 243.

F(x)

Soluzione L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da x  242 0 0,3 242  x  244  244  x  245 0,5 F(x)   0,6 245 x  246 0,7 246  x  247  0,8 247 x  248  x  248 1 ed il grafico corrispondente assume la forma 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

x

La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 243 è data da F(243) = 0,3. Esercizio 1.9 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X freq. rel. 18 -| 20 0,06 20 -| 25 0,10 25 -| 30 0,30 30 -| 60 0,54 totale 1,00 calcolare la quota di individui con un valore della variabile: inferiore a 19, b) superiore a 22, c) compreso fra 40 e 50.

8

Soluzione L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da x  18 0  0,03 x -18  18  x  20  0,06 0,02 x - 20  20  x  25 F(x)   0,16  0,06 x - 25  25  x  30   0,46  0,018x -30 30  x  60 1 x  60 per cui le quote richieste sono: a) F(19) = 0,03, b) 1F(22) = 1(0,06+0,022) = 0,9, c) F(50)F(40) = 0,46+0,01820(0,46+0,01810) = 0,18.

Esercizio 1.10 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X densità 2 -| 10 0,025 10 -| 20 0,020 20 -| 40 0,030 calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore a 5, b) superiore a 30, c) compreso fra 10 e 15. Soluzione Sulla base delle informazioni riportate nella tabella seguente le quote richieste risultano X freq. rel. freq. rel. cum. 2 -| 10 0,2 0,2 10 -| 20 0,2 0,4 20 -| 40 0,6 1,0 totale 1,0 a) F(5) = 0,025(52) = 0,075, b) 1F(30) = 1[0,4+0,03(3020)] = 0,30, c) F(15)F(10) = 0,2+0,02(1510) – 0,2 = 0,10.

Esercizio 1.11 Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 10 individui 8,0 6,4 7,8 7,4 7,6 7,8 7,0 6,4 8,4 8,8 costruire la distribuzione di frequenza nelle classi 6-|7, 7-|8 e 8-|9. Disegnare i grafici sovrapposti delle funzioni di ripartizione della serie originaria e della distribuzione in classi. Soluzione La distribuzione in classi è data da X freq. rel. freq. rel. cum. 6 -| 7 0,3 0,3 7 -| 8 0,5 0,8 8 -| 9 0,2 1,0 totale 1,0

9

F(x)

Pertanto i grafici sovrapposti delle due funzioni di ripartizione assumono la forma riportata nel grafico seguente 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10 x

Esercizio 1.12 Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui 2,6 2,0 2,2 2,0 2,3 2,4 determinare l’espressione analitica della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. Determinare la quota di individui con un valore della variabile superiore a 2,5.

F(x)

Soluzione La serie ordinata è 2,0 2,0 2,2 2,3 2,4 2,6 L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da x  2,0 0 0,3 2,0  x  2,2  0,5 2,2  x  2,3  F(x)   2,3  x  2,4 0,6  0,83 2,4  x  2,6 1 x  2,6  ed il grafico corrispondente assume la forma 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1,8 1,9

2

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

3

x

La quota di persone con un valore di X maggiore di 2,5 è data da 1F(2,5)  10,83  0,16 .

10

Esercizio 1.13 Data la seguente serie relativa al numero di figli rilevati su una collettività di 10 famiglie, 2 1 3 4 4 3 2 2 1 2 costruire la distribuzione di frequenza e farne la rappresentazione grafica corrispondente. Soluzione La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. rel. 1 0,2 2 0,4 3 0,2 4 0,2 totale 1,0 Una rappresentazione grafica adeguata è il diagramma per ordinate

quote

0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

x

Esercizio 1.14 Date le frequenze cumulate relative alle ore di funzionamento di un componente elettronico, determinare le frequenze relative associate a ciascuna classe e le frequenze assolute corrispondenti sapendo che la numerosità complessiva è pari a 20. ore freq. rel. cum. 2.000 -| 3.000 0,10 3.000 -| 5.000 0,25 5.000 -| 7.500 0,40 7.500 -| 10.000 0,65 10.000 -| 14.000 0,90 14.000 -| 20.000 1,00 Soluzione Le frequenze richieste sono riportate nella tabella successiva. ore freq. relative freq. assolute 2.000 -| 3.000 0,10 2 3.000 -| 5.000 0,15 3 5.000 -| 7.500 0,15 3 7.500 -| 10.000 0,25 5 10.000 -| 14.000 0,25 5 14.000 -| 20.000 0,10 2 totale 1,00 20

11

Esercizio 1.15 La seguente serie di dati si riferisce alle altezze (in centimetri) di 15 piantine 17,4 20,4 20,0 20,0 18,4 18,6 18,6 15,3 16,5 18,0 16,3 18,0 11,8 15,5 18,0 Sintetizzare la serie con un raggruppamento nelle classi 11-|16, 16-|18, 18-|22 e disegnare l’istogramma ed il grafico della funzione di ripartizione corrispondente. Soluzione Dalla serie originaria si ottengono i dati contenuti nella tabella successiva altezze freq. ass. freq. rel. ampiezza intervallo densità 11 -| 16 3 0,2 5 0,04 16 -| 18 6 0,4 2 0,20 18 -| 22 6 0,4 4 0,10 totale 15 1,0 L’istogramma assume la forma seguente

freq. rel. cum 0,2 0,6 1,0

0,2

densità

0,15 0,1 0,05 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x

ed il grafico della funzione di ripartizione risulta 1

F(x)

0,8 0,6 0,4 0,2 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x

Esercizio 1.16 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. ass. 2 -| 4 28 4 -| 10 12 10 -| 20 10 totale 50 determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico.

12

Soluzione Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. freq. rel. cum. densità 2 -| 4 0,56 0,56 0,28 4 -| 10 0,24 0,80 0,04 10 -| 20 0,20 1,00 0,02 totale 1,00 Pertanto l’espressione formale della funzione di ripartizione risulta x 2 0 0,28 x  2 2x 4       F(x)  0,56 0,04 x 4 4 x  10  0,8 0,02x 10 10  x  20 1 x 20  ed il grafico corrispondente assume la forma 1

F(x)

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

x

Esercizio 1.17 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. rel. cum. 5 -| 20 0,60 20 -| 30 0,80 30 -| 35 0,95 35 -| 40 1,00 determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico Soluzione Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. amp. classe densità 5 -| 20 0,60 15 0,04 20 -| 30 0,20 10 0,02 30 -| 35 0,15 5 0,03 35 -| 40 0,05 5 0,01 totale 1,00 Pertanto l’espressione formale della funzione di ripartizione risulta

13

x 5 0 0,04x 5 5  x  20   0,6 0,02x  20  20  x  30 F(x)     30 x 35  0,8 0,03 x 30   35 x  40   0,95 0,01 x 35  1 x  40 ed il grafico corrispondente assume la forma 1 0,8

F(x)

0,6 0,4 0,2 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

Esercizio 1.18 Data una variabile discreta X la cui funzione di ripartizione è data da x0 0 0,4 0  x 1  F(x)  0,6 1 x  2 0,9 2 x  3 1 x 3  disegnare il grafico corrispondente, determinare la distribuzione della variabile X e farne il grafico. Soluzione Il grafico della funzione di ripartizione è 1 0,8 F(x)

0,6 0,4 0,2 0 -1

0

1

2

3

x

14

4

La distribuzione di frequenza e il grafico corrispondente sono X freq. rel. 0 0,4 1 0,2 2 0,3 3 0,1 totale 1,0

quote

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

x

Esercizio 1.19 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da x 5 0 0,1x  5  5 x  7 0,2 0,1x 7  7  x 10  F(x)  0,5  0,03 x 10 10  x  20   0,8 0,01 x  20 20  x  40 1 x  40 determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e disegnare l’istogramma. Soluzione La distribuzione di frequenza è data da X densità ampiezza intervallo 5 -| 7 0,10 2 7 -| 10 0,10 3 10 -| 20 0,03 10 20 -| 40 0,01 20 totale per cui l’istogramma assume la forma seguente

freq. rel. 0,2 0,3 0,3 0,2 1,0

0,1

densità

0,08 0,06 0,04 0,02 0 4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 x

15

Esercizio 1.20 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri =10 e =2, determinare la quota di individui che presentano un’intensità di X: a) inferiore a 8, b) superiore a 13, c) compresa fra 9 e 11. Soluzione

X μ per poter utilizzare le tavole della σ distribuzione normale standard. In questo modo le soluzioni sono  810  a) F(8)      1 1 1 0,159  2   13 10  b) 1F(13) 1    1 1,5  0,067  2   11 10  910  c) F(11)F(9)        20,51 0,382  2   2  Bisogna ricorrere alla variabile standardizzata U

Esercizio 1.21 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri =25 e =6, determinare la quota di individui che presentano un’intensità di X: a) superiore a 28, b) compresa fra 24 e 26. Soluzione Una volta effettuata la standardizzazione le quote richieste risultano  28 25  a) 1F(28)    1 0,5 0,309  6   26 25   24 25  b) F(26)F(24)        20,17 1 0,134  6   6  Esercizio 1.22 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico x  1 0  1  1 x 1 F(x)   x 3  1 2  1 x 1 determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente.





Soluzione Data la funzione di ripartizione, la funzione di densità corrispondente si ottiene effettuando dFx  3 2 la derivata. Risulta  x , per cui la funzione di densità di frequenza è data da dx 2 3 2  1 x  1  x f(x)   2 0 altrove 

16

Esercizio 1.23 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico 2  0 x  1  3x f(x)    altrove 0 si determini la funzione di ripartizione corrispondente Soluzione Data la precedente funzione di densità, la funzione di ripartizione si ottiene effettuando l’integrale x

x

x

 t3    x3 3t dt  3 t dt  3   3 0   x 3  3 0   3 0 0 per cui risulta x 0 0  3 0  x 1 F(x)   x  x 1 1



2



2

Esercizio 1.24 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico  x 1 1 x  3  f(x)   6 0 altrove  si determini la funzione di ripartizione corrispondente Soluzione La funzione di ripartizione si ottiene effettuando l’integrale da 1 a x della funzione di densità. Dato che x

x





x

2  2   2  t 1 1 t 1dt 1  t  t  1  x  x   1 1  x  x  1 dt  6 61 6  2 1 6  2  2  12 6 4 1 la funzione di ripartizione assume la forma x 1 0  2 x x 1 F(x)     1 x  3  12 6 4 1 x3 

Esercizio 1.25 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico 20x3 1 x 0  x 1  f(x)    altrove 0 si determini la funzione di ripartizione corrispondente

17

Soluzione Dato che x

x

x

 t 4 t5  20t 1- t dt 20 t - t dt 20   5x 4 4x 5  4 5 0 0 0 la funzione di ripartizione assume la forma x 0 0  4 0  x 1 F(x)  5x  4x 5  x 1 1





3

3

4

Esercizio 1.26 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico x0 0  1 0  x 1 F(x)   x6  x 5  1 x 1 determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente. Soluzione dFx  1  6 2x per cui la funzione di densità di frequenza è data da Risulta dx 5 1 0 x  1  6 2x  f(x) 5 0 altrove  Esercizio 1.27 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico 3 2 x  2x -2 x  0  f(x)   20 0 altrove  si determini la funzione di ripartizione corrispondente





Soluzione Dato che x

x

3 2 3 t 3 2  3  x 3 2  8  3  x3 2 20   t - 2t dt   t   x     4    x   3  20 20  3  3  20  3 -2 20  3 -2

 



la funzione di ripartizione assume la forma x  -2 0   1 3 F(x)   x  3x 2  1 -2  x  0 20  1 x0





18

Esercizio 1.28 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da x  -1 0 0,3 0,3 x -1 x  0  F(x)  0,...