Esercitazione 4 - esercizi svolti statistica per prova d\'esame PDF

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esercizi svolti statistica per prova d'esame ...

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ESERCIZI

ESERCIZIO 1

La Tabella 1 riporta i dati di prezzo di un campione di smartphone venduti dall’azienda X. Tabella 1 Smartphone

Prezzo

1

200

2

99

3

180

4

450

5

20

6

130

7

100

8

100

9

100

10

360

11

150

12

130

13

200

14

50

15

100

16

195

a) definire che tipo di variabile è il prezzo b) utilizzando gli indici di posizione definire se la distribuzione è simmetrica o asimmetrica c) Rappresentare la distribuzione utilizzando un grafico a barre

Risposta a) definire che tipo di variabile è il prezzo La variabile prezzo è di tipo quantitativo discreto

b)utilizzando gli indici di posizione definire se la distribuzione è simmetrica o asimmetrica

M=(200+99+180+450+20+130+100+100+100+360+150+130+200 +50+100+195)/16=160.25 Per calcolare la mediana bisogna riordinare i valori in senso crescente 20,50,99,100,100,100,100,130,130,150,180,195,200,200,360,450

Me=(130+130)/2=130  Per calcolare la Moda abbiamo bisogno delle frequenze assolute

Prezzo

Freq.assolute

20

1

50

1

99

1

100

4

130

2

150

1

180

1

195

1

200

2

360

1

450

1

totale

16

Mo= 100

Media (160.25)>Mediana (130)>Moda (100) La distribuzione è asimmetrica positiva con coda a destra.

c) Rappresentare la distribuzione utilizzando un grafico a barre

ESERCIZIO 2 In Tabella 2 è riportata la distribuzione di 125 atleti per classi di altezza. a)utilizzando gli indici di posizione definire se la distribuzione è simmetrica o asimmetrica b)Rappresentare la distribuzione utilizzando un grafico a barre c)Guardando il grafico la distribuzione è leptocurtica o platicurtica? Tabella 2 Atleti altezza

N.persone

171-175

14

176-180

18

181-185

28

186-190

33

191-195

17

196-200

15

Totale

125

Risposta a)utilizzando gli indici di posizione definire se la distribuzione è simmetrica o asimmetrica

Atleti altezza

N.persone

xi

ni*xi

171-175

14

173

2422

176-180

18

178

3204

181-185

28

183

5124

186-190

33

188

6204

191-195

17

193

3281

196-200

15

198

2970

Totale

125

23205

M= 23205/125=185.64 

Atleti altezza

N.persone

ampiezza di classe

densità di frequenza

171-175

14

4

3.5

176-180

18

4

4.5

181-185

28

4

7

186-190

33

4

8.25

191-195

17

4

4.25

196-200

15

Totale

125

4

3.75

classe modale 186-190 Mo=(186+190)/2= 188 

Atleti altezza

N.persone

xi

Freq.relative cumulate

171-175

14

173

14/125=0.11

176-180

18

178

32/125=0.26

181-185

28

183

60/125=0.48

186-190

33

188

93/125=0.74

191-195

17

193

110/125=0.88

196-200

15

198

125/125=1

Totale

125

Me= 186+ [(0.5-0.48)*(190-186)/(0.74-0.48)]= 186.31 

Media (18*1+27*1)/2=22.5 Mx/y=27-> (18*1+23*2)/3=21.33 Mx/y=28-> (20*2+22*1+30*1)/4=23 Mx/y=30-> (28*1)/1=28 Dato che al variare di Y la media condizionata di X varia allora si ha DIPENDENZA. ESERCIZIO 6 Data la seguente distribuzione doppia di frequenze riportata in tabella

Y

totale

X

0

5

15

5

10

10

20

40

10

10

10

0

20

20

0

30

10

40

Totale

20

50

30

100

a) Calcolare la media e la varianza della distribuzione di X condizionata ad Y=0

b) Calcolare la media e la varianza della distribuzione di Y condizionata ad X=10 c) Determinare la media di X, la varianza di X d) Determinare il coefficiente di correlazione tra X e Y e interpretare il risultato

Risposta a) Calcolare la media e la varianza della distribuzione di X condizionata ad Y=0 In tabella si ha la distribuzione di X/Y=0 Y X

0

5

10

10

10

20

0

MX/Y=0 -> (5*10+10*10+20*0)/20=150/20=7.5 VARX/Y=0 ->[(5-7.5)2 *10+(10-7.5)2 *10+(20-7.5)2 *0]/20=(62.5+62.5)/20=6.25

b)Calcolare la media e la varianza della distribuzione di Y condizionata ad X=10

Y X

0

5

15

10

10

10

0

MY/X=10 -> (0*10+10*5+15*0)/20=50/20=2.5 VARY/X=10 ->[(0-2.5)2 *10+(5-2.5)2 *10+(15-2.5)2 *0]/20=(62.5+62.5)/20=6.25 c)Determinare la media di X, la varianza di X

totale X 5

40

10

20

20

40

Totale

100

Mx= (5*40+10*20+20*40)/100= 1200/100=12 VARX= [(5-12)2 *40+(10-12)2*20+(20-12)2*40]/100=(1960+80+2560)/100=46 d)Determinare il coefficiente di correlazione tra X e Y e interpretare il risultato

Y

totale

X

0

5

15

Totale

20

50

30

100

MY= (20*0+50*5+15*30)/100= 700/100=7 VARY= [(0-7)2*20+(5-7)2 *50+(15-7)2 *30]/100=(980+200+1920)/100=31 Cov (X,Y)= M(XY)-M(X)*M(Y)=82.5-(12*7)=-1.5 M(XY)=(5*5*10)+(5*15*20)+(10*5*10)+(20*5*30)+(20*15*10)/100= (250+1500+500+3000+3000)/100=82.5 r=-1.5/(31*46)½ =0.04  

ESERCIZIO 7 In tabella sono riportati i dati relativi al reddito lordo e tasse pagate nell’anno X di 7 persone

persone

reddito X

tasse Y

1

35.8

16.7

2

80.2

20

3

14.9

15.2

4

7.3

10.1

5

9.1

12.2

6

150.7

23.2

7

25.9

17.3

a) Calcolare il coefficiente di correlazione e commentare il risultato. Risposta MX= (35.8+80.2+14.9+7.3+9.1+150.7+25.9)/7= 46.27  MY= (16.7+20+15.2+10.1+12.2+23.2+17.3)/7= 16.38  VARX=[(35.8-46.27)2 +(80.2-46.27)2 +(14.9-46.27)2 +(7.3-46.27)2 +(9.1-46. 27)2+(150.7-46.27)2+(25.9-46.27)2 ]/7=(109.62+1151.24+984.08+1518.66 +1381.61+10905.62+414.94)/7=2352.25 VARY=[(16.7-16.38)2 +(20-16.38)2+(15.2-16.38)2+(10.1-16.38)2 +(12.2-16 .38)2+(23.2-16.38)2+(17.3-16.38)2]/7=(0.10+13.10+1.39+39.43+17.47+4 6.51+0.85)/7=16.98 Cov (X,Y)= M(XY)-M(X)*M(Y)=936.77-(46.27*16.38)=178.86  M(XY)=(35.8*16.7)+(80.2*20)+(14.9*15.2)+(7.3*10.1)+(9.1*12.2)+(150.7 *23.2)+(25.9*17.3)/7= (597.86+1604+226.48+73.73+111.02+3496.24+448.07)/7=936.77 r=178.86/(2352.25*16.98)1/2  =0.89-> reddito-tasse di tipo positivo

elevata

correlazione

lineare

ESERCIZIO 8 In tabella sono riportati i dati relativi alle precipitazioni ed agli arrivi turistici negli stessi anni in una data località

anni

Precipitazioni X

Arrivi Y

1990

155

189

1991

231

135

1992

301

90

1993

412

70

1994

437

65

1995

90

121

1996

380

54

a) calcolare il grado di correlazione tra arrivi e precipitazioni e commentare i risultati b) Disegnare il diagramma a dispersione

Risposta a)calcolare il grado di correlazione tra arrivi e precipitazioni e commentare i risultati

MX= (155+231+301+412+437+90+380)/7= 286.57  MY= (189+135+90+70+65+121+54)/7= 103.43  VARX=[(155-286.57)2 +(231-286.57)2 +(301-286.57)2 +(412-286.57)2 +(43 7-286.57)2 +(90-286.57)2 +(380-256.57)2]/7=(17310.66+3088.02+208.22+ 15732.68+22629.18+38639.76+15234.96)/7=16120.50 VARY=[(189-103.43)2 +(135-103.43)2 +(90-103.43)2 +(70-103.43)2 +(65-10 3.43)2+(121-103.43)2+(54-103.43)2 ]/7=(7322.22+996.66+180.36+1117.5 6+1476.86+308.70+2443.32)/7=1977.95

Cov (X,Y)= M(XY)-M(X)*M(Y)=25175-(286.57*103.43)=-4464.93 M(XY)=(155*189)+(231*135)+(301*90)+(412*70)+(437*65)+(90*121)+(3 80*54)/7= (29295+31185+27090+28840+28405+10890+20520)/7=25175 r=-4464.93/(16120.50*1977.95)1/2  =-0.79-> elevata correlazione lineare precipitazioni-arrivi di tipo negativo

b)Disegnare il diagramma a dispersione

ESERCIZIO 9 In tabella sono riportati i dati relativi a numero di automobili(X) e televisori (Y) posseduti da un campione di famiglie Y

totale

X

0

1

2

3

0

6

5

4

2

17

1

2

3

3

0

8

2

0

2

2

2

6

3

3

2

2

2

9

Totale

11

12

11

6

40

a) calcolare la media condizionata di X/Y=2

b) c) d) e)

calcolare la media condizionata di Y/X=2 calcolare la la media condizionata di Y/X=3 Determinare la media di X, la varianza di X Determinare il coefficiente di correlazione tra X e Y e interpretare il risultato

Risposta a)calcolare la media condizionata di X/Y=2

Y X

2

0

4

1

3

2

2

3

2

MX/Y=2 :[(0*4)+(1*3)+(2*2)+(3*2)]/11=13/11=1.18 b)calcolare la media condizionata di Y/X=2

Y X

0

1

2

3

2

0

2

2

2

MY/X=2 : (0*0+1*2+2*2+3*2)/6=12/6=2

c) calcolare la la media condizionata di Y/X=3

Y X

0

1

2

3

3

3

2

2

2

MY/X=3 : (0*3+1*2+2*2+3*2)/6=12/6=2

c)Determinare la media di X, la varianza di X

totale X 0

17

1

8

2

6

3

9

Totale

40

Mx= (0*17+1*8+2*6+3*9)/40= 47/40=1.18 VARX= [(0-1.18)2 *17+(1-1.18)2 *8+(2-1.18)2 *6+(3-1.18)2 *9]/40=(23.67+0.26+4.03 +29.81)/40=1.44

d)Determinare il coefficiente di correlazione tra X e Y e interpretare il risultato

Y

totale

X

0

1

2

3

Totale

11

12

11

6

40

MY= (0*11+1*12+2*11+3*6)/40= 52/40=1.3 VARY= [(0-1.3)2 *11+(1-1.3)2 *12+(2-1.3)2 *11+(3-1.3)2 *6]/40=(18.59+1.08+5.39+1 7.34)/40=1.06 Cov (X,Y)= M(XY)-M(X)*M(Y)=1.73-(1.18*1.3)=0.2 M(XY)=(1*1*3)+(1*2*3)+(2*1*2)+(2*2*2)+(2*3*2)+(3*1*2)+(3*2*2)+(3*3*2 )/40= (3+6+4+8+12+6+12+18)/40=1.73 r=0.2/(1.44*1.06)½ =0.16    ...