Esercizi sezioni 2 PDF

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Esercizio completo sullo stato di tensione di una sezione...

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ESERCIZIO2

T=50kN M=100kNm

 Svolgimento: Siassumeilsistemadiriferimentox’‐y’difigura.



Ricercadellaposizionedelbaricentro:  

󰆒



󰇟󰇛10 ∙ 420󰇜 ∙ 205󰇠  󰇟󰇛100 ∙ 10󰇜 ∙ 150󰇠  󰇟󰇛200 ∙ 10󰇜 ∙ 100󰇠  168.19 󰇛10 ∙ 420󰇜  󰇛100 ∙ 10󰇜  󰇛200 ∙ 10󰇜

 󰆒 󰇟󰇛10 ∙ 420󰇜 ∙ 210󰇠  󰇟󰇛100 ∙ 10󰇜 ∙ 215󰇠  󰇟󰇛200 ∙ 10󰇜 ∙ 5󰇠    153.75  󰇛10 ∙ 420󰇜  󰇛100 ∙ 10󰇜  󰇛200 ∙ 10󰇜  Ricercadelsistemaprincipalediinerzia:   󰇩

10 ∙ 420 100 ∙ 10  󰇛100 ∙ 10󰇜 ∙ 61.25 󰇪  󰇛420 ∙ 10󰇜 ∙ 56.25 󰇪  󰇩 12 12 200 ∙ 10 󰇩  󰇛200 ∙ 10󰇜 ∙ 148.75 󰇪  1.2306 ∙ 10    12

  󰇩

420 ∙ 10 10 ∙ 100  󰇛100 ∙ 10󰇜 ∙ 18.19 󰇪  󰇛420 ∙ 10󰇜 ∙ 36.81 󰇪  󰇩 12 12 10 ∙ 200  󰇛200 ∙ 10󰇜 ∙ 68.19 󰇪  2.2857 ∙ 10   󰇩 12

  󰇟󰇛420 ∙ 10󰇜 ∙ 󰇛56.25󰇜 ∙ 󰇛36.81󰇜󰇠  󰇟󰇛100 ∙ 10󰇜 ∙ 󰇛61.25󰇜 ∙ 󰇛18.19󰇜󰇠  󰇟󰇛200 ∙ 10󰇜 ∙ 󰇛148.75󰇜 ∙ 󰇛58.19󰇜󰇠  2.7868 ∙ 10   

tan 2  

  0.5663   

  14.54°(antiorarioapartiredall’asseξ)

               1.3029 ∙ 10      2 2                1.5627 ∙ 10     2 2   



       



 

 134.52  46.59

Studiodellasollecitazioneflettente:

 Ilvettoremomentoèapplicatoparallelamenteall’assex,pertantol’assedellasollecitazione,adesso perpendicolare,coincideconl’assey. L’asseneutrodellaflessione,coniugatorispettoall’ellissecentralediinerziadell’assedellasollecitazione, vienedeterminatoattraversol’equazionedeidiametriconiugati: tan  tan   







Doveαèl’angoloformatodalsemiasseminoredell’ellissecentralediinerziael’assedellasollecitazione mentreβèl’angoloformatodallostessosemiasseminoreel’asseneutro.   90°  ||  104.54°

tan   

 1 ∙   65.19° tan  

L’assedellaflessioneèperpendicolareall’asseneutroedorientatoinmodotaledacostituireconessouna ternalevogira.

Letensioniσzzdeterminatedallasollecitazioneflettenteassegnatavengonoquindideterminateattraverso laformulamonomiadiNavier:  

  

Chiamiamol’angoloformatodall’assex(cheindividualadirezionedelvettoremomentoM)el’asse neutro:     ||  50.64°

   cos   6.3415 ∙ 10 

   cos     sin   3.8575 ∙ 10   Ipuntimaggiormentesollecitatisonoipuntipiùdistantidall’asseneutro,infiguraindicaticonlelettereAe B.LecoordinatediAeBnelsistemadiriferimenton‐fpossonoesseredeterminateattraversolamatricedi rotazione:  cos  󰇥󰇦    sin 

sin    󰇥 󰇦 cos  

   sin    cos  Essendo:  󰇥 󰇦  󰇥 31.81 󰇦  266.25

 41.81 󰇦 󰇥 󰇦  󰇥 153.75 

e

Siottiene:

  144.25

  129.8 Letensionimassimeeminimerisultano:          



 

 

   

6.3415 ∙ 10  󰇛144.25󰇜  237.14 3.8575 ∙ 10 

6.3415 ∙ 10  󰇛129.8󰇜  213.42 3.8575 ∙ 10  

Studiodellasollecitazionetagliante: L’azionetaglianteèapplicataparallelamenteall’asseycherisultaquindiesserel’assedisollecitazionedelle flessioneassociataaltaglioecoincideconl’assedellasollecitazionedelmomentoapplicatoM.Pertanto l’asseneutroel’assediflessionesarannoglistessideterminatinelpuntoprecedente. LetensionitangenzialivengonovalutateconlaformuladiJourawsky:  

 ∙ ′  ∙ 



Convenzione:  positivesonoentrantinell’areaA’consideratanellaformuladiJourawsky  negativesonouscentidall’areaA’consideratanellaformuladiJourawsky

   cos   31707.42   3.8575 ∙ 10   

  10

Pertuttelecorde:  

 ∙ ′  8.2197 ∙ 10  ∙ ′  ∙ 



Calcolodellatensionetangenziale   sullacordab1 Ilmomentostaticodelrettangoloindividuatoallasinistradellasezione1è: ′   ∙   

dove:   󰇛1 ∙ 10󰇜

coordinata delbaricentrodelrettangolonelriferimenton‐f

 cos  󰇥 󰇦    sin  

sin   cos  󰇥 󰇦 cos    sin 

 sin  168.19    2  cos  153.75  5

  ∙ 󰇛 sin 󰇜  󰇛148.75󰇜 ∙ cos   130.0498  0.3866  94.3296 2  35.7203  0.3866 

  168.19 

′   ∙   󰇛1 ∙ 10󰇜󰇛35.7203  0.38661 󰇜  357.2031  3.86612  

   8.2197 ∙ 10 ∙  󰆒   1

  0 →     0

  50 →    0.673

  100 →     0.242   205 →     7.336 

8 7 6 5 τ1zx[MPa]



4 3 2 1 0 ‐1

0

50

100 d1 [mm]

 

150

200





Calcolodellatensionetangenziale   sullacordab2 Ilmomentostaticodelrettangoloindividuatoallasinistradellasezione2è: ′   ∙   

dove:   󰇛2 ∙ 10󰇜

coordinata delbaricentrodelrettangolonelriferimenton‐f

 cos  󰇥 󰇦    sin  

sin   cos  󰇥 󰇦 cos    sin 

sin  68.19    2  cos  61.25

  ∙ 󰇛 sin 󰇜  󰇛61.25󰇜 ∙ cos   52.7287  0.3866  38.8416 2  91.5703  0.3866 

  68.19 

′   ∙   󰇛2 ∙ 10󰇜󰇛91.5703  0.38661 󰇜  915.7032  3.86622  

   8.2197 ∙ 10 ∙  󰆒   2

  0 →    0

  50 →    2.969



  105 →     4.400 0 ‐0,5 0

20

40

60

80

100

‐1

τ2zx[MPa]

‐1,5 ‐2 ‐2,5 ‐3 ‐3,5 ‐4 ‐4,5 ‐5 d2 [mm]

  





Calcolodellatensionetangenziale   sullacordab3 Ilmomentostaticodelrettangoloindividuatoaldisopradellasezione3è: ′   ∙   

dove:   󰇛3 ∙ 10󰇜

coordinata delbaricentrodelrettangolonelriferimenton‐f

 cos  󰇥 󰇦    sin  

sin   cos  󰇥 󰇦 cos    sin 

36.81 sin     cos  266.25   2

  ∙ cos   28.4585  168.8420  0.3171 2  140.3836  0.3171 

  󰇛36.81󰇜 ∙ 󰇛 sin  󰇜  266.25 

′   ∙   󰇛3 ∙ 10󰇜󰇛140.3836  0.31713 󰇜  1403.8363  3.17132  

   8.2197 ∙ 10 ∙  󰆒   3

  0 →    0

  100 →     8.933

  205 →     12.702 

 

0 0

50

100

150

200

‐2

τ3zx[MPa]

‐4 ‐6 ‐8 ‐10 ‐12 ‐14 d3 [mm]

 





Calcolodellatensionetangenziale   sullacordab4 Ilmomentostaticodellaporzionedifiguraaldisopradellasezione4è: ′  󰇛205 ∙ 10󰇜 ∙ 󰇛36.81 sin   163.75 cos 󰇜  󰇛105 ∙ 10󰇜 ∙ 󰇛15.69 sin   61.25 cos 󰇜 4  󰇛4 ∙ 10󰇜 󰇧36.81 sin   󰇧61.25  󰇨 cos 󰇨 2 



′   154535.8516  53525.551787  󰇛4 ∙ 10󰇜󰇛28.4585  38.8416  0.31714 󰇜 

′   208064.4034  103.8314  3.17142 

   8.2197 ∙ 10 ∙  󰆒   4

  0 →    17.102

  100 →     15.349 



  200 →     8.384

 0 ‐2 0

50

100

150

200

‐4

τ4zx[MPa]

‐6 ‐8 ‐10 ‐12 ‐14 ‐16 ‐18 ‐20 d4 [mm]







 



Studiodellasollecitazionetorcente: ÈinprimoluogonecessariocalcolarelaposizionedelcentroditaglioCT. Lafiguranonpossiedeassidisimmetria. Siapplicaunaforzaunitariaagenteindirezionedell’asseprincipalediinerziaξ,sihapertanto: assesollecitazione≡asseξ; asseneutro≡asseη asseflessione≡‐(asseξ) LaposizionedCTpuòesseredeterminatafissandounpoloPqualsiasiedimponendol’eguaglianzavettoriale frailmomentodellaforzaunitariaassegnataequellodellarisultantedelleτzassociateallastessaforza

 Scegliendocomepolo PilpuntodicoordinateP≡(205;215)nelriferimentoxy,ènecessariocalcolare solamentelarisultantedelleτ zxagentisull’alainferioredellasezione. 

  



  

dove:

  1 ∙  1   

  ∙ ′  1 ∙ ′ 1 ∙ 10 ∙  1 ∙ 1    7  ∙   ∙  1.5627 ∙ 10 ∙ 10   ∙ sin󰇛90°  ||󰇜 󰇛148.75󰇜 ∙ cos󰇛90°  | |󰇜 2  162.8058  0.4840   37.3508  125.4549  0.4840 

   168.19 

′   󰇛10 ∙  ∙ 󰇜  1254.549   4.8402



  



  1 ∙  1   

 



 

 4.840 2 ∙󰇜  1.5627 ∙ 10 ∙ 10

1 ∙ 󰇛1254.549 

2 6.399 ∙ 10 9 ∙ 󰇛1254.549   4.840  ∙󰇜  

  󰇩8.028 ∙ 10  ∙ 

1 2 2

 3.0971 ∙ 10



∙

1 3 3

󰇪

 

 0.1687  0.0889  0.0798

 󰇟4.014 ∙ 10  ∙ 1 2   1.0324 ∙ 10  ∙ 1 3 󰇠 

Imponendol’equilibriovettorialefraimomentisiottiene:

↶ ↶   1 ∙   ∙ 148.75

   ∙ 148.7  11.86 PercuilacoordinataηCTdelcentroditaglioè:       68.53  11.86  56.67

Perdeterminarelacoordinata siapplicaunaforzaunitariaagenteindirezionedell’asseprincipaledi inerziaη,sihapertanto: assesollecitazione≡asseη asseneutro≡asseξ asseflessione≡asseη LacoordinataξCTpuòesseredeterminatafissandounpoloPqualsiasiedimponendol’eguaglianza vettorialefrailmomentodellaforzaunitariaassegnataequellodellarisultantedelleτzassociateallastessa forza



AncheinquestocasoscegliendocomepoloPilpuntodicoordinateP≡(205;215)nelriferimentoxy,è necessariocalcolaresolamentelarisultantedelleτzxagentisull’alainferioredellasezione.   





  

  1 ∙ 1   

 ∙ ′ 1 ∙ ′ 1 ∙ 10 ∙ 1 ∙ 1      ∙   ∙  1.3029 ∙ 108 ∙ 10

Essendoθ=‐14,54°siha:

  ∙ sin   󰇛148.75󰇜 ∙ cos   42.233  0.1255  143.9843 2  186.2176  0.1255 

   168.19 

′  󰇛10 ∙  ∙  󰇜  1862.175  1.2552   







  1 ∙ 1     

 



1 ∙ 󰇛1862.175  1.2552󰇜

1.3029 ∙ 10 ∙ 10



7.6753 ∙ 1010 ∙ 󰇛1862.175  1.2552 ∙󰇜  

  󰇩1.4293 ∙ 10



1 1 2  9.6363 ∙ 10 󰇪 ∙ 2 3 3





 󰇟7.1464 ∙ 10 ∙ 1 2   3.2121 ∙ 10

∙ 1 3 󰇠  0.0328  0.0028  0.0273

Imponendol’equilibriovettorialefraimomentisiottiene:

↶ ↷  󰇡 󰇢 1 ∙   ∙ 148.75

   ∙ 148.7  4.0557

Lacoordinata delcentroditaglioè:

    | |  18.36  4.0557  14.3

Lecoordinatedelcentroditagliodelriferimentoξηsonoquindi:CT≡(‐14.3;56.67) Lecoordinatedelcentroditagliodelriferimentoxysono:CT≡(‐12.87;58.45) Ilmomentotorcentechesigenerapereffettodelfattochelaforzaditaglioapplicatanonpassaperil centroditaglioè:    ∙    50 ∙ 10 ∙ 󰇛58.45  168.19󰇜  50 ∙ 10 ∙ 226.64  1.133 ∙ 10 

dovecon  sièindicatoilbracciodellaforzaTrispettoalcentroditaglio.

LetensionitangenzialidovutealmomentotorcentevengonovalutateestendendolateoriadiBredtalle sezionicompostedarettangoliallungati:  

     ∑ ,

dove: , 

    3

Essendo e rispettivamenteillatolungoedillatocortodell’i‐esimorettangolochecomponelafigura. Nell’eserciziosiha:  

420 ∙ 10 100 ∙ 10 200 ∙ 10  240000    3 3 3

Essendolospessorebcostanteintuttiirettangoli,suciascunacordasiavràunadistribuzionedelletensioni tangenzialiafarfallaconvalorenulloincorrispondenzadellafibramediaevaloremassimoin corrispondenzadeibordiparia: _   

1.133 ∙ 10 240000



∙ 10  472.08...