Esercizi Cap. 2 PDF

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Esercizi con soluzioni e grafici....

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Cap. II. Reti elettriche lineari. Analisi DC. Esempi ed Esercizi Vengono presentati esempi ed esercizi illustrativi delle procedure di calcolo delle reti elettriche in regime continuo (analisi DC o in Direct Current) costituite da resistenze e da generatori di tensione e/o corrente indipendenti e/o dipendenti. Per alcuni esempi si procederà con tecniche alternative (metodo di Kirchhoff, basato cioè sulla sistematica applicazione delle leggi KCL e KVL; metodo della riduzione a reti equivalenti semplificate, metodo della sovrapposizione degli effetti etc.): il sistema di equazioni lineari risultante potrà essere risolto o per sostituzione o mediante il metodo di Cramer. Seguiranno esempi di calcolo dei circuiti equivalenti secondo Thevenin e Norton. Dall’analisi degli esempi si evince che non esiste una procedura di calcolo consigliabile “a priori”, in quanto la procedura ottimale dipende e dalle incognite da calcolare e dalla tipologia della rete da analizzare. 1. Calcolare la tensione V4 ai terminali della resistenza R4 nella rete di figura. I1

R1

I3

a I2

Dati: E=15V R1= R2 =10  R3= R4 =5 

R3 E

Va

R2 R4

V4=?

b a)metodo di Kirchhoff. Trattandosi di una rete ad un solo nodo, supposto alla tensione Va (rispetto al riferimento Vb=0), applico KCL ( o anche metodo delle tensioni ai nodi): da cui:

I  I

1

nodo

 I 2  I3 

E  Va Va Va 0   R1 R2 R3  R4

da cui:

 1 E 1 1   Va     R1  R1 R2 R3  R4 

15 1  3 1 1  Va      Va 10 10  10 10 5  5 

e risolvendo: Va=5V e quindi V4 = (Va / 2) = 2.5V b)metodo della riduzione a reti equivalenti semplificate. R1

I

R1

R3

E Va

equiv.

R2

E

Va

Req

R4

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 35

dove:

Req  R3  R4  R2 

R3  R4  R2  R3  R4   R2



5  5  10  5 5  5 10

per cui:

I 

E 15   1A R1  Req 10  5

I 

E 15   1A R1  Req 10  5

La I si ripartisce sul partitore di corrente, per cui sul ramo R3+R4 circola la corrente:

IReq Va R2 I3   I  R3  R4   R2 R3  R4 R 3  R 4 10 1  0.5A 5  5  10

I3

I

R3 Va

V4  R4 I4  5 0.5  2.5V

R2

R4

V4

2. Si calcolino tensioni e correnti nella rete di figura. R1

R3

Va I1

R2

I2

E1

Dati: E1=10V E2=5V R1=1  R2=2  R3=3  R4=4 

I3 R4

E2

b Trattandosi di una rete con più generatori ed un unico nodo a (il nodo b viene assunto come riferimento) procedo applicando la KCL al nodo supposto a tensione Va:

I  I

1

nodo

 I2  I3 

E1  Va Va  E 2 Va 0   R1 R2 R3  R 4

10 5 1  1 1   Va     1 2 1 2 3  4 

1 E1 E 2 1 1     Va    R1 R2  R1 R2 R3  R4 

da cui Va=7.6V e quindi I1=2.4A; I2=1.3A; I3=1.08A

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 36

3. Data la rete di figura, calcolare VS=? sapendo che V=15V. R1 IX VS=?

Si ha: I R 2 

kIX

R2

Dati: R1=10  R2=5  k=0.5

V =15V

V 15   3A 5 R2

Applico KCL: I X  kI X  I R 2 ; I X  0.5 I X  3 da cui IX =2A; Applico KVL: VS  V R1  V  0 ; V S  V R 1  V  R1I X  V  10  2  15  35V

4. Si calcolino tensioni e correnti nella rete di figura. R5 I5 Va

R1

R3

Vb I1

R2

I2

Vc I3

E3

E1 E2

I4

R4

Dati: E1= E2=10V E3=5V R1=50  R2=100  R3=50  R4=100  R5=50 

d (riferimento) Si tratta di una rete a tre nodi a, b, c, più d assunto come riferimento, e di cui si conosce la tensione al nodo a, essendo Va=E1. Applico KCL ai restanti nodi b e c:

  Va  E1  E 1  Vb E2  Vb Vb Vc   0 I  R R R nodob 1 2 3   E  Vc V b  V c V c E3   0 I 1 R5 R3 R4  nodoc

 Va  E1  10V  10  Vb 10  Vb Vb  Vc   0  100 50  50 10  V c V b V c V c  5  50  50  100  0 Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 37

Il sistema di equazioni lineari a coefficienti costanti può essere risolto per sostituzione:

 5 25   5 2V c  2   2V c  30  0    V  5 V  25  b 2 c 2

  5V b  2V c  30  0   5 25 Vb  2 Vc  2

  5Vb  2Vc  30  0   2V b  5V c  25  0 da cui si ottiene Vc  8.6V e quindi Vb  9.5V. Può in alternativa essere risolto con il metodo di Cramer o delle Matrici:

30 5  2 Vb 30   2  5 Vc  25

Vb 

5

2

 25  5  150  50   9.5V 5 2 25  4 2 5

30 2 25  8. 8V Vc  5 2 2 5

5. Calcolare le tensioni e le correnti nella rete elettrica di figura. R2

I3 R3

R5

R1

R4 I1

I2

R6

Dati: E=10V R1=1  R2=2  R3=3  R4=4  R5=5  R6=6 

E

Si tratta di una rete a tre nodi (più il nodo di riferimento) ed a tre maglie indipendenti. Risolvo con KVL o metodo delle correnti alle maglie.

V  E  R I

1 1

 R3 I1  I3   R4 I1  I2   0

maglia1

 V   R I 4

2

 I1   R5 I 2  I 3   R6 I 2  0

maglia2

V   R I 3

3

 I1   R2 I3  R5  I3  I2   0

maglia3

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 38

Sostituendo i valori numerici e semplificando si ottiene il sistema:

8 I 1 4 I 2 3 I 3 10   4 I1  15I 2  5I 3  0  3I  5I  10I  0 2 3  1 che può essere risolto o per sostituzione o con il metodo di Cramer. Con quest’ultimo si ottiene:

8  4 3    4 15 5  8 150  25  4  15  40  3 20  45  585  3  5 10 e quindi:

10  4  3 0 15  5 0  5 10

8 10  3  4 0 5 3

0

10

8 4

 4 10 15 0

3

5

0

 1.11A    Note le correnti è immediato calcolare le cadute di tensione ai terminali di ciascun resistore.

I1 

 2.14 A

I2 

 0.94 A

I3 

6. Con riferimento alla rete elettrica di figura calcolare la corrente I attraverso la resistenza R2. I=? Dati: E1=10V E2=5V R2 R1 E2 I0=1A R1= R2=10  I0 R3=5  R 3 E1

Si tratta di una rete ad un nodo (più il nodo di riferimento) contenente tre generatori. La domanda è puntuale e non richiede una analisi generalizzata delle rete elettrica. Conviene procedere per sovrapposizione degli effetti. a) componente di I dovuta al solo generatore E1: Ia=?

R1

E1

R2 Ia 

E1 10   0 .4 A R1  R 2  R 3 10  10  5

R3

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 39

b) componente di I dovuta al solo generatore I0: Ib=? Req  R1  R 2  R 3 

R2

R1 I0

Ib 

R3

10  10  5 R1   R2  R3    6 R1   R2  R3  10  10  5 

I0  Req R2  R3



1 6  0.4 A 10  5

c) componente di I dovuta al solo generatore E2: Ic=? R2

R1

E2 Ic 

 E2 5   0 .2 A R1  R 2  R 3 10 10  5

R3

Ne consegue I=Ia+Ib+Ic=0.4+0.4 0.2=0.6A. 7. Con riferimento alla rete elettrica di figura calcolare la potenza dissipata sulla resistenza RL. IL R2 I

R3 VL

R1

RL

E2

Dati: E=10V I=1A R1 =20  R2= R3=5  RL=2.5

Conviene procedere sostituendo la rete a monte di RL con il circuito equivalente secondo Thevenin: IL RT VT

VL

RL

PL  V L I L  VT

RL VT RT  RL RT  RL

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 40

a) calcolo di RT:

R2

RT  R 3 R 1  R 2  

R3

R1



R 3  R1  R 2   R3   R1  R2 

5 20  5  125   4.17 5  20  5 30

b) calcolo di VT: a I1 I

b I2

R2

I3

R3 VT =Vb

R1 E2 riferimento

Applico KCL:

I

I I 2 I 3  I 

nodoa

 I I

2

 I3 

nodob

Va Va  Vb V V V b 0   1 a  a R1 R2 20 5

V a V b Vb  E Va  Vb Vb  10 0    R2 R3 5 5

da cui si ottiene il sistema:

 Va Vb  4  5  1   Va  2 V  2  5 5 b che risolto fornisce Vb=VT=(35/3)V=11.7V, per cui: PL  VL I L  VT

2. 5 11.7 342 .22 RL VT  11.7   7. 7W RT  R L RT  RL 4 .17  2 .5   4.17  2.5 44.49

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 41

8. Calcolare il generatore equivalente secondo Thevenin della rete di figura.

R1

R3

R2

I E1

R4

E2

Thevenin equivalente.

Dati: E1=5V E2=2V I=1A R1 =2 R2= R4=3 R3=5 

Conviene procedere sostituendo il generatore di corrente con resistenza in parallelo R4 con un generatore di tensione equivalente, per cui ci si riconduce alla rete di figura, analizzabile con KCL (metodo delle tensioni ai nodi) per ottenere il sistema di equazioni nelle tensioni vm e vn:

vm R1

vn R3

R2

R =3  Thevenin equivalente.

E1

E=3V

E2

RT =?

VT = ?

riferimento 5  v m v m  v n v m  2  2  5  3   vm  vn  vn  3 3  5

nodo m

31vm  6vn  55   3v m  8v n  15

nodo n

Calcolo la tensione VT:

31 55  3 15 630 VT  vn    2 .74V 31  6 230 3 8 Per il calcolo di RT occorre fare riferimento alla rete con azzerati i generatori:

R1

R2

R3

R =3 RT  R R3   R2 R1  3 5  3 2  2

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 42

da cui il generatore equivalente secondo Thevenin: RT =2  VT =2.74V

9. Dato il circuito di figura: a) calcolare la tensione Vx =? e la corrente I3 =? b) calcolare la tensione Vx =? dopo aver tolto il cortocircuito fra M ed N. R1

VX =?

V1

R3

R4

I3 =? V2

R2

M Dati: V1=12V V2=5V R1=10  R2=R3=15  R4=100 

5∙VX

N Soluzione a) Il circuito può essere ridisegnato come segue: R1

VX =?

R3

I1 V1

 V2

R4

M

I3 R2

I2

V2

N Applico KCL al nodo VX: V V X V V  ( V2 ) I1  1  I2  I3  X  X R1 R2 R3 12  VX VX VX  5   10 15 15 36  3VX 2V 2V  10  X  X 30 30 30 7VX  26 da cui VX =26/7=3.71V ed I3=(3.71+5)/15=0.581A=581mA.

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 43

Soluzione b) Il circuito può essere ridisegnato come segue: R1

VX =?

R3

 V2

R4

M

I4 V1

R2

V2

5∙VX

Si osservi che anche in presenza del generatore di tensione “controllato” 5∙VX =18.5V le equazioni che descrivono le correnti entranti ed uscenti dal nodo VX non vengono modificate, per cui la tensione e VX e la corrente I3 non vengono modificate. Si modifica solo la corrente I4 attraverso R4 che ora diventa: [–V2 – (–5VX)]/R4 = [–5+18.55]/100 = 0.135A = 135mA.

10. Dato il circuito di figura, calcolarne il generatore equivalente tipo Norton.

R1

R2 Norton equivalente

VX 4

VS

R3

VX

Dati: VS=15V R1=20  R2= 15 R3=5 

Il circuito contiene un generatore dipendente di corrente, per cui occorre procedere con il calcolo di Voc e di Isc. a) calcolo della tensione a circuito aperto. Applico KCL: V X V OC  V S VOC R3 VOC .    0 essendo: V X  R1 4 R2  R3 R 2  R3 0.25VOC VOC  15 VOC   0 che fornisce: VOC =4.62V  Ottengo per sostituzione: 4 20 15  5 b) calcolo della corrente di cortocircuito. In questa condizione IR2 =IR3 =0 per cui si azzera VX e, di 15 V  0.75A conseguenza, il generatore dipendente di corrente VX /4, per cui: I SC  S  R1 20 V 4.62  6.15 La resistenza di Norton diventa: R N ( RT )  OC  I SC 0.75

Norton equivalente

ISC =0.75A

RN =6.25 

Circuiti Elettrici ed Elettronici. Cap. 2; esercizi; pag. 44...