Esercizi Svolti Prob - ESERCITAZIONI SULLA PROBABILITà PDF

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ESERCITAZIONI SULLA PROBABILITà...

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Esercizi svolti di probabilit` a

Esercizio 1 1. Si considerino due eventi A e B. Cosa vuol dire che i due eventi sono incompatibili? 2. Quali sono gli assiomi (postulati) del calcolo delle probabilit`a? 3. Si considerino due eventi A e B. Cosa vuol dire che i due eventi sono indipendenti? 4. Applicazione della definizione di eventi incompatibili. Si considerino tre eventi A, B e C a due a due incompatibili e sia E l’evento A ∪ B ∪ C . (a) Conoscendo le probabilit`a di A e di B come si pu`o determinare quella di C ? (b) Conoscendo le probabilit`a di A, di B e di C si pu`o determinare quella di E? 5. Applicazione della definizione di eventi indipendenti. Siano A e B due eventi indipendenti, con P (A) = 0.4 e P (B ) = 0.5. Quanto vale la probabilita dell’evento unione, P (A ∪ B)?

Soluzione Definizione di eventi incompatibili Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, in simboli A e B incompatibili ⇐⇒ A ∩ B = ∅ Assiomi del calcolo delle probabilit` a Sia S lo spazio campionario di una prova. La probabilit`a `e una funzione che associa ad ogni evento E un numero reale, che si indica con P (E) e si legge “probabilit`a di E”. Tale funzione soddisfa i seguenti postulati: Assioma 1 La probabilit`a di un qualsiasi evento E `e un numero reale non negativo: P (E) ≥ 0 ∀ E ⊂ S 1

Assioma 2 L’evento certo S ha probabilit`a 1: P (S) = 1 Assioma 3 La probabilit`a di due eventi incompatibili e` uguale alla somma delle probabilit`a dei singoli eventi: Ei ∩ Ej = ∅ ∀ i 6= j =⇒ P (Ei ∪ Ej ) = P (Ei ) + P (Ej ) Definizione di eventi indipendenti Siano A e B due eventi tali che P (A) > 0 e P (B) > 0. Si dice che A e B sono eventi indipendenti, e si scrive A⊥B, se P (B|A) = P (B) e P (A|B) = P (A). • Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se la probabilit`a che si verifichino entrambi `e uguale al prodotto delle probabilit`a marginali, in simboli A e B indipendenti

⇐⇒

P (A ∩ B) = P (A) · P (B).

Osservazione • L’incompatibilit`a `e una relazione tra eventi che ha come conseguenza che la probabilit`a dell’unione di eventi tra loro incompatibili e` uguale alla somma delle singole probabilit`a (Assioma 3 del calcolo delle probabilit`a): A e B eventi incompatibili =⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

A e B eventi NON incompatibili =⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) • L’indipendenza `e una relazione tra le probabilit`a degli eventi che ha come conseguenza che la probabilit`a dell’intersezione di eventi tra loro indipendenti `e uguale al prodotto delle singole probabilit`a: A e B eventi indipendenti =⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

A e B eventi NON indipendenti, P (A) > 0 =⇒ P (A ∩ B ) = P (A)P (B |A) Applicazione della definizione di eventi incompatibili Siano A, B e C tre eventi a due a due incompatibili e sia E l’evento A ∪ B ∪ C . Conoscendo le probabilit` a di A e di B come si pu` o determinare quella di C ? Dalla condizione che A, B e C siano tre eventi a due a due incompatibili, applicando la

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propriet`a distributiva dell’intersezione rispetto all’unione, segue che gli eventi C e (A ∪ B ) sono incompatibili: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C) = ∅ ∪ ∅ = ∅. Quindi per il terzo postulato del calcolo delle probabilit`a si ha P r ((A ∪ B) ∪ C) = P (A ∪ B) + P (C) = P (A) + P (B) + P (C). Da tale relazione segue che P (C) = P (A ∪ B ∪ C) − P (A) − P (B). Si pu`o dunque concludere che per determinare la probabilit`a dell’evento C non basta conoscere le probabilit`a di A e B, ma `e necessario conoscere anche la probabilit`a dell’evento A ∪ B ∪ C. Conoscendo le probabilit` a di A, di B e di C si pu` o determinare quella di E? Per quanto appena dimostrato P (E) = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) e quindi si pu`o concludere che si pu`o determinare la probabilit`a di E se sono note le probabilit`a di A, di B e di C . Osservazione. Se A, B e C fossero eventi anche necessari (collettivamente esaustivi) allora l’evento E coinciderebbe con l’evento certo, la cui probabilit`a `e uguale ad 1 (Assioma 2 del calcolo delle probabilit`a). In tal caso anche la probabilit`a richiesta al punto precedente sarebbe determinabile, e uguale a 1 − P (A) − P (B). Applicazione della definizione di eventi indipendenti Siano A e B due eventi indipendenti, con P (A) = 0.4 e P (B) = 0.5. Quanto vale la probabilit` a dell’evento unione, cio` e P (A ∪ B)? Utilizzando i postulati del calcolo delle probabilit`a si pu`o dimostrare che vale il seguente teorema: La probabilit`a dell’unione di due eventi qualsiasi, non necessariamente incompatibili, `e uguale alla somma delle singole probabilit`a meno la probabilit´a della loro intersezione: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Inoltre, per definizione di eventi indipendenti, se A e B sono due eventi indipendenti, si ha P (A ∩ B) = P (A) · P (B) 3

Si conclude, quindi che nell’ipotesi che A e B siano due eventi indipendenti, P (A ∪ B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )

= P (A) + P (B) − P (A) · P (B) = 0.4 + 0.5 − 0.4 · 0.5 = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7

Esercizio 2 Un’urna contiene 7 palline bianche e 3 nere. Si supponga di estrarre due palline dall’urna senza reintroduzione. 1. Calcolare la probabilit`a che alla seconda estrazione si verifichi una pallina nera. 2. Calcolare la probabilit`a che alla prima estrazione si verifichi una pallina bianca e alla seconda estrazione una pallina nera.

Soluzione L’esercizio ipotizza una prova rappresentata dall’estrazione da un’urna - contenente 10 palline tutte uguali tra loro eccetto per il colore (7 bianche e 3 nere) - di due palline secondo lo schema dell’estrazione in blocco, ovvero senza reinserire la pallina estratta alla prima prova nell’urna. Si ricorda che in questa tipologia di estrazione, la struttura probabilistica dell’esperimento si modifica ad ogni estrazione: la prova consta infatti di due sottoprove non indipendenti. L’insieme dei possibili risultati (ovvero lo spazio campione S) di tale prova `e formato dai seguenti quattro eventi: S = {(B1 ∩ B2 ), (B1 ∩ N2 ), (N1 ∩ B2 ), (N1 ∩ N2 )} . Tali eventi costituiscono una partizione (non equi-probabile) di S aventi le seguenti probabilit`a: 7 6 · = 0.467 10 9 7 3 P (B1 ∩ N2 ) = P (B1 ) · P N2 |B1 ) = · = 0.233 10 9 3 7 P (N1 ∩ B2 ) = P (N1 ) · P B2 |N1 ) = · = 0.233 10 9 3 2 P (N1 ∩ N2 ) = P (N1 ) · P N2 |N1 ) = · = 0.067 10 9 P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 ) · P B2 |B1 ) =

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Probabilit` a che la seconda pallina estratta sia una nera Sia A l’evento “La seconda pallina estratta `e nera”. L’evento A `e un evento composto, definito dall’unione degli eventi (B1 ∩ N2 ) e (N1 ∩ N2 ): A = (B1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ N2 ) I due eventi (B1 ∩ N2 ) e (N1 ∩ N2 ) sono tra loro incompatibili, quindi per l’assioma 3 del calcolo delle probabilit`a P (A) = P ((B1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ N2 ))

= P B1 ∩ N2 ) + P N1 ∩ N2 ) 3 2 7 3 · + · = 0.233 + 0.067 = 0.3 = 10 9 10 9

Probabilit` a che alla prima estrazione si verifichi una pallina bianca e alla seconda estrazione una pallina nera Sia B l’evento “La prima pallina estratta e` bianca e la seconda pallina estratta e` nera”. L’evento B coincide con l’evento (B1 ∩ N2 ) avente probabilit`a P (B1 ∩ N2 ) = P (B1 ) · P (N2 |B1 ) =

7 3 · = 0.233. 10 9

Esercizio 3 Un collettivo di 200 studenti `e stato classificato secondo il corso di laurea e l’anno di corso come segue: Corso di Laurea Scienze Politiche Giurisprudenza

Anno di corso In corso Fuori corso 50 50 40 60

Sia A l’evento “lo studente `e iscritto al corso Scienze Politiche” e B l’evento “lo studente `e in corso”. Supponiamo di estrarre casualmente dal collettivo un individuo. 1. Calcolare P (B), P (A ∪ B) e P (B|A) 2. Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Giustificare la risposta. 3. Gli eventi A e B sono eventi tra loro incompatibili? Giustificare la risposta.

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Soluzione Al fine di poter effettuare una estrazione casuale di una unit`a statistica del collettivo si pu`o pensare di associare a ciascuna di esse una pallina sulla quale sono annotate “corso di laurea” e “anno di corso”. Le 200 palline cos`ı costruite vengono inserite in una scatola e mescolate accuratamente. La prova consiste nell’estrarre una sola pallina dalla scatola. In queste condizioni ciascuna pallina ha la stessa probabilit`a di essere estratta. Lo spazio campione di tale prova e` formato dalle 200 palline che costituiscono una partizione equiprobabile dello spazio, infatti • le 200 palline rappresentano una collezione di eventi necessari: certamente una delle 200 palline (individui) viene estratta • le 200 palline rappresentano una collezione di eventi incompatibili: ogni pallina individua univocamente un’unit`a • la probabilit`a di estrarre una pallina e` la stessa per ogni pallina e pari a 1/200 Corso di Laurea Scienze Politiche Giurisprudenza Totali

Anno di corso In corso Fuori corso 50 50 40 60 90 110

Totali 100 100 200

La probabilit`a di estrarre una pallina con una particolare annotazione, per esempio “studente in giurisprudenza”, si ottiene considerando tale annotazione (“studente in giurisprudenza”) come un evento composto dall’unione di un numero k (le 100 = 60 + 40 palline etichettate “studente in giurisprudenza”) di eventi incompatibili ed equi-probabili. Quindi, la probabilit`a di estrarre una pallina con una particolare annotazione sar`a data dalla somma 1 ; in altri termini la probabilit`a delle probabilit`a di questi k eventi equi-probabili cio`e k · 200 dell’evento “essere uno studente in giurisprudenza” `e 100/200 = 0.5, ovvero dal rapporto fra il numero di casi favorevoli (le 100 palline etichettate “studente in giurisprudenza”) e il numero di casi possibili (le 200 palline). Dalle considerazioni esposte si pu`o concludere che la frequenza relativa di una modalit`a di un carattere pu`o essere vista come la probabilit`a di un evento: quello individuato dalla modalit`a fissata. Probabilit` a dell’evento “lo studente ` e in corso” Sia B l’evento “lo studente `e in corso”. Allora P (B) =

90 = 0.45 200

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Probabilit` a che lo studente estratto sia iscritto al corso in Scienze Politiche oppure sia una studente in corso L’evento di cui interessa calcolare la probabilit`a e` identificato dall’unione degli eventi A (“lo studente e` iscritto al corso in Scienze Politiche”) e B (“lo studente e` in corso”): “lo studente e` iscritto al corso in Scienze Politiche” o “lo studente `e in corso” m

“lo studente e` iscritto al corso in Scienze Politiche” ∪ “lo studente e` in corso” m

A∪B

Quindi

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 90 50 100 + − = 200 200 200 = 0.5 + 0.45 − 0.25 = 0.7 Probabilit` a che uno studente in Scienze Politiche sia in corso Interessa calcolare la probabilit`a che sia in corso, dato che frequenta il corso di laurea in scienza politiche. Si tratta quindi di una probabilit`a condizionata: Probabilit`a che uno studente in Scienze Politiche sia in corso m

Probabilit`a(“lo studente e` in corso” | “lo studente `e iscritto al corso in Scienze Politiche”) m

P (B|A) Quindi P (B|A) =

P (A ∩ B) 50/200 50 = 0.5 = = 100 P A) 100/200

Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Se i due eventi A e B fossero eventi indipendenti, allora Nell’esempio in esame

P (A ∩ B) = P A) · P B ).

50 = 0.25 200 100 90 = 0.5 · 0.45 = 0.225, · P (A) · P (B) = 200 200 si conclude quindi che gli eventi A e B NON sono eventi tra loro indipendenti. P (A ∩ B) =

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Gli eventi A e B sono eventi tra loro incompatibili? Se i due eventi A e B fossero eventi incompatibili, A ∩ B = ∅. Nell’esempio in esame l’evento A∩B = “Uno studente e` iscritto al corso in scienze politiche ed `e in corso” non coincide con l’evento impossibile; ci sono studenti (esattamente 50 studenti) iscritti al corso in scienze politiche ed `e in corso, quindi gli eventi A e B NON sono eventi tra loro incompatibili. Si nota inoltre che se i due eventi A e B fossero eventi incompatibili, allora P (A ∩ B) = P r (∅) = 0, ma nel caso in esame P (A ∩ B) = 0.25 6= 0.

Esercizio 4 Un collettivo di 300 giovani `e stato classificato secondo lo stato civile e la condizione lavorativa come segue: Stato civile Condizione lavorativa Celibe Coniugato Lavora 100 50 Non lavora 120 30 Si estrae dal collettivo casualmente un individuo. Sia A l’evento “non lavora” e B l’evento “essere coniugato”. Calcolare: 1. P (A) 2. P (A ∩ B ) 3. P (A|B ) 4. Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Giustificare la risposta.

Soluzione Sia A l’evento “non lavora” e B l’evento “essere coniugato”. Stato civile Totale Condizione lavorativa Celibe Coniugato Lavora 100 50 150 Non lavora 120 30 150 Totale 220 80 300 8

Calcolare P (A) La probabilit`a dell’evento A `e la probabilit`a che l’individuo estratto non lavori, quindi P (A) =

120 + 30 150 = = 0.5 300 300

Calcolare P (A ∩ B) La probabilit`a dell’evento A ∩ B `e la probabilit`a che l’individuo estratto sia coniugato e non lavori, quindi 30 P (A ∩ B) = = 0.1 300 Calcolare P (A|B) La probabilit`a condizionata dell’evento A all’evento B `e la probabilit`a l’individuo estratto non lavori dato che `e coniugato: P (A|B) =

P (A ∩ B) 30/300 30 = 0.375 = = P (B) (50 + 30)/300 80

Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Se i due eventi A e B fossero eventi indipendenti, allora P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Nell’esempio in esame 30 = 0.1 300 150 80 = 0.5 · 0.267 = 0.133, · P (A) · P (B) = 300 300 P (A ∩ B) =

ovvero P (A ∩ B) 6= P (A) · P (B); quindi gli eventi A, “Non lavorare”, e B, “Essere coniugato”, NON sono eventi tra loro indipendenti.

Esercizio 5 Si considerino due eventi A e B tali che: A ∩ B = ∅ e A ∪ B = S, dove S `e l’evento certo. 1. Conoscendo la probabilita di A si puo determinare quella di B ? 2. Dato un evento C compatibile con A e con B per il quale sono note la P (C|A) e P (C|B), conoscendo la P (A) si pu`o calcolare P (C)?

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Soluzione Conoscendo la probabilita di A si puo determinare quella di B ? I due eventi, A e B, sono incompatibili, ossia A ∩ B = ∅, quindi utilizzando il terzo postulato del calcolo delle probabilit`a si pu`o scrivere: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) I due eventi, A e B, sono anche necessari, ossia A ∪ B = S, quindi il secondo postulato del calcolo delle probabilit`a P (A ∪ B) = P r (S) = 1. Per la propriet`a transitiva della relazione di uguaglianza si conclude che 1 = P r(S) = P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), da cui segue che P (B) = 1 − P (A). Dato un evento C compatibile con A e con B per il quale sono note la P (C|A) e P (C|B), conoscendo la P (A) si pu` o calcolare P (C)? Osserviamo innanzitutto che, conoscendo la probabilit`a di A per quanto sopra dimostrato, si pu`o determinare la probabilit`a di B. Inoltre dalle caratteristiche degli eventi dati si pu`o scrivere: C = C ∩ S = C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B), dove gli eventi (C ∩ A) e (C ∩ B) sono incompatibili. Infatti essendo A e B eventi incompatibili (C ∩ A) ∩ (C ∩ B) = (A ∩ B) ∩ (C ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = ∅ ∩ C = ∅. Quindi per il terzo postulato del calcolo delle probabilit`a e dalla definizione di probabilita condizionata si ottiene P (C) = P r ((C ∩ A) ∪ (C ∩ B)) = P (C ∩ A) + P (C ∩ B) = P (C|A) · P (A) + P (C|B) · P (B) = P (C|A) · P (A) + P (C|B) · (1 − P (A)).

Esercizio 6 Un’urna contiene 2 palline rosse (R) e 8 palline bianche (B). Supponendo di estrarre da essa 3 palline con reintroduzione calcolare: 1. la probabilit`a di ottenere la seguente successione di estrazioni (B, R, B); 2. la probabilit`a di ottenere una sola pallina rossa. 10

Soluzione L’esercizio ipotizza una prova rappresentata dall’estrazione da un’urna - contenente 10 palline tutte uguali tra loro eccetto per il colore (2 rosse e 8 bianche) - di tre palline secondo lo schema delle estrazioni con ripetizioni (estrazioni bernoulliane), ovvero reinserendo nell’urna la pallina estratta prima di effettuare una successiva estrazione. Si ricorda che in questa tipologia di estrazione, la struttura probabilistica dell’esperimento rimane identica in tutte le sottoprove: la prova consta di tre sottoprove indipendenti. Probabilit` a di ottenere la seguente successione di estrazioni (B, R, B) In ogni estrazione la probabilit`a di estrarre una pallina rossa e` sempre uguale a 2/10 = 0.2 e la probabilit`a di estrarre una pallina bianca `e sempre uguale a 8/10 = 0.8. Quindi, poich`e le estrazioni sono indipendenti P (B, R, B) = P (B ∩ R ∩ B) = P (B) · P (R) · P (B) = 0.2 · 0.82 = 0.128 Probabilit` a di ottenere una sola pallina rossa Lo spazio campione S `e formato dai seguenti 8 eventi elementari: S = {(B, B, B ), (R, B, B ), (B, R, B ), (B, B, R), (R, R, B ), (B, R, R), (R, B, R), (R, R, R)}. La probabilit`a di ottenere una sola pallina rossa e` la probabilit`a che si verifichi almeno uno dei seguenti eventi elementari (R, B, B), (B, R, B), (B, B, R): P r (Una sola pallina rossa) = P r ((R, B, B ) ∪ (B, R, B ) ∪ (B, B, R)). Gli eventi (R, B, B ), (B, R, B ), e (B, B, R) sono incompatibili e equiprobabili, quindi: P r((R, B, B ) ∪ (B, R, B ) ∪ (B, B, R)) = P (R, B, B ) + P (B, R, B) + P (B, B, R)  2 8 2 = 0.384. = 3· · 10 10

Esercizio 7 In un ufficio le pratiche relative ad una certa procedura amministrativa vengono affidate casualmente a tre impiegati di seguito indicati con A, B, e C. La probabilit`a che una pratica venga completata entro una settimana e` 0.5. La probabilit`a che una pratica venga completata entro una settimana per ciascun impiegato e` indicata nella tabella che segue: Impiegato Probabilit`a

A B C 0.4 0.8 0.3

Avendo ricevuto una pratica espletata entro una settimana qual `e la probabilit`a che sia stata affidata all’impiegato B ? 11

Soluzione Si definiscono i seguenti eventi: S = {la pratica `e completata entro una settimana} A = {la pratica `e affidata all’impiegato A} B = {la pratica `e affidata all’impiegato B} C = {la pratica `e affidata all’impiegato C} Dai dati del problema, poich´e la pratica viene affidata casualmente ad uno dei tre impiegati, si ha 1 P (A) = P (B) = P (C) = . 3 Inoltre, P (S|A) = 0.4 P (S|B) = 0.8 P (S|C) = 0.3. e P (S) = 0.5 Per rispondere alla domanda si deve calcolare P (B|S): P (B|S) =

P (S ∩ B) P (B) · P (S|B) = P (S) P (S)

Quindi P (B|S) =

P (B ) · P (S|B ) = P (S)

1 3

· 0.8 = 0.533. 0.5

Esercizio 8 Si consideri la variabile casuale Y i cui valori e rispettive probabilit`a sono indicati di seguito: yi Probabilit`a P (Y = yi )

1 2 3 4 5 6 0.09 0.11 0.3 0.2 0.18 0.12

1. Costruire la funzione di ripartizione di Y e rappresentarla graficamente 2. Calcolare P (2 < Y ≤ 5) 3. Determinare y0 : P (Y ≤ y0 ) = 0.5.

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Soluzione La variabile casuale Y `e una v.c. discreta avente come supporto l’insieme finito SY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nota che P (Y = yi ) ≥ 0 ∀yi ∈ SY e

6 X

P (Y = yi ) = 0.09 + 0.11 + 0.3 + 0.2 + 0.18 + 0.12 = 1,

i=1

quindi la v.c. Y `e ben definita. Il grafico a sinistra nella figura sotto rappresenta la sua funzione di massa di probabibilit´a, P (Y = yi ), i = 1, . . . , 6. Costruire la funzione di ripartizione di Y e rappresentarla graficamente La funzione di ripartizione F (y0 ) di una v.c. Y , calcolata in un punto y0 `e definita dalla seguente relazione: F (y0 ) = P (Y ≤ y0 ). In particolare, per una v.c. Y discreta F (y0 ) = P (Y ≤ y0 ) =

X

y≤y 0

P (Y ≤ y).

Quindi, per la v.c. Y in esame si ha yi P (Y = yi ) P (Y ≤ yi )

1 2 3 4 5 6 0.09 0.11 0.3 0.2 0.18 0.12 0.09 0.20 0.5 0.70 0.88 1

La funzione di ripartizione di una v.c. Y discreta `e una funzione a gradini che `e costante su intervalli dell’asse reale e cresce un numero (finito o numerabile) di volte in corrispondenza dei valori y1 , . . . , yi , . . . assunti dalla v.c. Y : il gradino ha un’altezza pari alle probabilit`a P (Y = y1 ), . . . , P (Y = yi ), . . . con le...