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COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO GRADO Asignatura: Estadística Fecha de elaboración :18/02/2012 Guía N° 1 NOMBRE: 11 Fecha de ejecución : INDICADOR DE LOGRO: Calcula la probabilidad simple de un evento a partir del número de elementos del espacio muestral y el evento. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad. CONTEXTUALIZACION Las técnicas de conteo permite hallar el valor de la probabilidad de algunos eventos sin necesidad de construir el espacio muestral o escribir los elementos de cada uno. En muchos contextos de nuestras vidas hemos estado familiarizados con el concepto de probabilidad. Es frecuente escuchar frases como: “es muy probable que Juan Pablo Montoya gane la carrera el fin de semana”, “es poco probable que hoy tengamos un día lluvioso”, “¿Qué tan probable será que apueste a la lotería y gane?” La probabilidad es una medida de incertidumbre que aporta elementos a la hora de tomar una decisión. Así, si es poco probable que el día este lluvioso entonces usamos una ropa adecuada para este pronóstico del clima. Si por el contrario la probabilidad de lluvia es alta entonces usamos un abrigo y una sombrilla. PROBABILIDAD SIMPLE La probabilidad es una medida que se calcula sobre la ocurrencia de los eventos, luego, en cada caso debe existir un experimento aleatorio y un espacio muestral correspondiente. La probabilidad de ocurrencia de un evento es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral. Sea A un evento de un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de A, P(A) es.

P( A)

# ( A) # (S )

Para un nuevo cargo en una importante empresa se han presentado tres hombres y dos mujeres pero el departamento de recursos humanos decide entrevistar solo a tres de los cinco. Todos los aspirantes cuentan con la misma formación y las mismas capacidades para desempeñar dicho cargo. Si decide escoger los tres de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que se escoja a las dos mujeres? TRABAJO INDIVIDUAL: 1. Juan, Martin y Juliana disputan el cargo de monitor de la clase de matemáticas a. Construir el espacio muestral del experimento que consiste en elegir al monitor b. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea elegido monitor? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea una mujer? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea hombre? 2. Un empleado de una tienda de comidas rápidas ofrece a sus clientes la posibilidad de armas su hamburguesa. Para ello pone a disposición del cliente tocineta, queso y lechuga. El cliente decide si incorpora o no cada ingrediente. a. Escribir las diferentes posibilidades de armar una hamburguesa. Por ejemplo: con tocineta, sin queso y sin lechuga b. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada tocineta a su hamburguesa? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada ninguno de los ingredientes? d. ¿Cuál es la probabilidad de que añada al menos uno de los ingredientes disponibles? e. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo añada un ingrediente? 3. Para la final de los 100 metros planos se han clasificado 5 atletas: Carlos, Lina, Laura, Mario y Carolina. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer gane la competencia? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario gane la carrera? c. Si Laura tuvo una lesión y no se presento a la prueba, ¿Cuál es la probabilidad de que gane una mujer? Si se entregan premios a los dos primeros atletas en llegar a la meta d. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio e. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros puestos los ocupe una mujer? f. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea una mujer y el segundo lugar sea un hombre? g. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina ocupe alguno de los dos primeros lugares? h. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina Gane y Mario ocupe el segundo lugar? PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener en cuenta en el momento de calcularla. 1. Sea A cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces: 0 P ( A) 1.Es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento siempre debe ser un número que está entre 0 y 1. Se puede ver que el número de elementos del evento siempre es menor o igual que el número de elementos del espacio muestral. Teniendo en cuenta lo anterior:

a. La probabilidad de un evento imposible es 0 b. La probabilidad de un evento seguro es 1.

2. Sea B un evento simple, entonces: P( B)

1 # (S )

Para tener en cuenta

Además, si se consideran todos los eventos simples de un experimento aleatorio, la suma de sus probabilidades es 1. 3. Sean A y B dos eventos disjuntos, entonces: P ( A B ) P ( A) P (B ) 4. Sean A y B eventos intersecantes, entonces:

P( A P( A

B) B)

P ( A) P(B ) P (A P ( A) P(B ) P (A

Dos eventos A y B se llaman disjuntos si se cumple que

B) B)

P( A

B)

TRABAJO INDIVIDUAL: Usando la propiedad de la unión y la intersección de eventos, resolver cada una de las siguientes situaciones: 1. El empleado de la tienda de comidas de una sala de cine reporta a su director que, de las 280 personas que han ingresado a la premier de la última película, 130 compraron boleto para clase preferencial, 200 personas compraron el combo de hamburguesa y 78 personas compraron el boleto para primera clase y el combo de hamburguesa. Si se selecciona una persona en la sala de cine aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga boleto preferencial o haya comprado el combo de hamburguesa? 2. El camino hacia el colegio consta de dos cruces con semáforo cada uno. Se sabe por experiencia que el 60% de los carros se detiene en el primer semáforo, el 80% lo hace en el segundo semáforo y el 45% se detiene en alguno de los dos semáforos. Si en la mañana el rector se dirige hacia el colegio, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en los dos semáforos? TRABAJO GRUPAL: 1. Luis Eduardo y Tulio, deciden jugar en su play station. Cuentan con cuatro juegos disponibles: de estrategias, de carreras, de aventura y de futbol. Deciden lanzar un dado para escoger el juego. Si el dado cae en 1 ó 2, se vuelve a lanzar. Si cae en 3, jugaran el de estrategia; si sale 4, jugaran el de carreras, y así sucesivamente. a. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio b. Explicar por qué razón este experimento es infinito c. Si se cambia el dado por una moneda, ¿tiene sentido el cambio? Justificar la respuesta 2. Una encuesta realizada por una empresa telefónica encontró que: el 60% de los habitantes de la ciudad tiene el servicio de internet por la línea telefónica. El 75% tiene su línea telefónica con un paquete ilimitado de llamadas locales y el 40% de los habitantes tienen el servicio de internet por la línea telefónica y el paquete de llamadas locales ilimitadas. a. Construir un diagrama de Venn de esta situación y determinar los dos eventos involucrados. Si se selecciona un habitante de la ciudad al azar, calcular la probabilidad de ocurrencia en cada caso: b. Que no tenga servicio de internet c. Que tenga alguno de los dos servicios d. Que tenga uno de los dos servicios pero no los dos. e. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales f. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales g. Que no tenga ninguno de los dos servicios h. Que no tenga servicio de internet, pero si el de llamadas locales ilimitadas i. Que no tenga ninguno de los dos servicios j. Que no tenga servicio de internet, pero si el llamadas locales ilimitadas APLICACION: 1. Si se sabe que P ( A) 0,7, P (B ) 0,5, P (C ) Calcular el valor de las siguientes probabilidades a. P( A B) b. P( B C ) c. P( A C )

0,2, P (A

B)

0,9, P (B

C)

C

0,1, P (A

C)

0,05

d. A 2. Encontrar los valores de las probabilidades en cada uno de los siguientes casos a. Se sabe que la probabilidad de ocurrencia de los eventos A y B es la misma y, además, que la probabilidad de su intersección es 0,3 y la de su unión es 0,9. Hallar P (A) y P (B). b. Se sabe que la probabilidad de unión de dos eventos C y D es el doble de la de su intersección. Además que P (C)=0,6 y P (D)=0,5. Hallar la probabilidad de la unión y de la intersección de C y D. c. ¿es posible encontrar dos eventos en los cuales la probabilidad de la intersección sea igual a la de la unión? Justificar la respuesta d. ¿En algún caso la probabilidad de la intersección de dos eventos es mayor a la probabilidad de su unión? Justificar la respuesta. AUTOEVALUACION Después de trabajar la guía: 1. ¿La información presentada en la guía le fue útil para el desarrollo de la misma? ¿Por qué?

2. ¿Considera que el desarrollo de la guía contribuyo a mejorar su análisis sobre probabilidad? ¿Por qué?

COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO Asignatura: Estadística Fecha de elaboración :18/02/2012 Guía N° 2 NOMBRE: Fecha de ejecución :

GRADO 11

INDICADOR DE LOGRO: Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad. CONTEXTUALIZACION Hablar de probabilidad en la cotidianidad se ha vuelto casi un requisito en el lenguaje, quién no ha hecho preguntas como: ¿Qué tan probable es que haga sol mañana dado que hoy es un día soleado?, o ¿Qué tan probable es ganar la lotería dado que se compra todos los días? Estas y otras cuestiones hacen de la probabilidad la base de muchas decisiones de la ciencia, la industria y el comercio, etc. PROBABILIDAD CONDICIONAL En algunos experimentos aleatorios en necesario establecer si existen eventos que son condiciones sobre otro evento. Generalmente se asocia el evento condición como el evento que sucede primero, temporalmente hablando. Dados dos eventos A y B de un experimento aleatorio, si A es un evento condición sobre B, la probabilidad condicional de B dado A corresponde a la probabilidad de B cuando ha sucedido A y se simboliza P(B/A). Además,

P( B / A)

P( A B ) P (A )

En los casos en los cuales sea necesario usar la probabilidad condicional es importante identificar los dos eventos involucrados en el experimento aleatorio. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica morrales cuenta con un inspector que revisa los lotes de 50 morrales y determina si pueden ser llevados a los puntos de venta o no. El criterio que ha establecido el departamento consiste en que: el inspector selecciona de forma aleatoria un morral y lo somete a pruebas de resistencia para decidir si esta en óptimas condiciones. En caso afirmativo, aprueba el lote y lo envía a los puntos de venta. Si el morral no pasa las pruebas, se selecciona de forma aleatoria otro morral y se somete al mismo proceso. En caso de superarlas el lote es aprobado y se envía a los puntos de venta. Si el segundo morral no las supera, entonces, se devuelve todo el lote al departamento de armado para que sea revisado. Un determinado día llega un lote de cinco morrales defectuosos. Sea A, el evento que consiste en que el lote es rechazado en la primera prueba. La probabilidad de ocurrencia de A es P( A)

5 50

1 10

0,01 . Sea B, el evento que consiste en que el lote

sea rechazado en la segunda prueba. Para calcular su probabilidad se debe tener en cuenta que:  Si se realiza una segunda prueba se debe haber dado que el primer morral no superó las pruebas de resistencia  Para escoger el segundo morral ya no se tiene la totalidad del lote, 50 morrales, se disponen de 49.  Si se considera que se debe realizar la segunda prueba es porque el primer morral fue defectuoso, es decir que, en el lote se tienen cuatro morrales defectuosos. Por tanto para calcular la probabilidad de B se tiene una condición anterior, que para este caso es A. es decir, que para que el lote sea rechazado en la segunda prueba debe existir la condición en la cual el primer morral no aprobó las pruebas. Por tanto, A es condición sobre B. TRABAJO INDIVIDUAL: 1. Se lanzan tres monedas al aire. Si la primera moneda cae cara, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda caiga cara? 2. Cuatro estudiantes Mateo, Hernando. Eliana y Nelly se han seleccionado para participar en la final del encuentro regional de poesía. El estudiante que ocupe el primer premio recibirá una beca para un curso de lectura rápida y el estudiante que ocupe el segundo recibirá un bono para compra de libros. Si Hernando ganó el bono ¿Cuál es la probabilidad de que Nelly gane la beca? 3. La probabilidad de que, en una cierta ciudad, una familia tenga un seguro de vida es de 0,25, la probabilidad de que una familia tenga casa propia es de 0,5, además, la probabilidad de que una familia tenga un seguro de vida o casa propia o ambas es de 0,65. Si se selecciona una familia que tiene casa propia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un seguro de vida? INDEPENDENCIA Cuando se calcula la probabilidad condicional de dos eventos A y B, donde B es condición de A y el resultado es la misma probabilidad de A, se dice que B no influye sobre la ocurrencia de A. En estos casos se dice que A y B son independientes. Sean A y B eventos de un experimento aleatorio, se dice que A y B son independiente si: P(A/B)=P(A), o, P(B/A)=P(B) El concepto de independencia es fundamental en la construcción de modelos matemáticos de algunos experimentos aleatorios. TRABAJO INDIVIDUAL: 1. Se lanza un dado y una moneda al aire. Sea A el evento que consiste en que la moneda caiga cara y B el evento que consiste en que el resultado dado sea un número primo. Determinar si A y B son independientes...