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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES TEXTOS DE IN...

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II

© ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I Desarrollo y Edición

: Vicerrectorado de Investigación

Elaboración del TINS

: Mg. Heiner López Príncipe

Diseño y Diagramación

: Julia Saldaña Balandra

Soporte académico

: Instituto de Investigación

Producción

: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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Presentación El indeterministico, en el presente siglo va ganando márgenes importantes, en los certámenes donde se exponen trabajos relacionados con la “mecánica celestial” Universo y con la “mecánica de las partículas”. De modo que la teoría de probabilidades, en extensión, se va haciendo cada día más útil en el planteamiento y en la solución de problemas, en las diferentes áreas de actividad del hombre: en la economía, en el comportamiento social, en la esfera política, en general en toda actividad del hombre. Trabajos que tienen como antecedente las observaciones de Ricard de Fourmivel (1200-1250), contenido en su poema “De vetula”, donde expresa si se lanza tres dados se puede llegar a identificar 216 combinaciones. Doscientos años después Luca Paciola (1445-1517) propone un problema, conocido luego como “problema, del reparto de apuestas”, relacionado con la distribución de ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpe antes de finalizar. Más adelante Girolamo Cardano (1501-1576), en su obra el “Libro de los Juegos de Azar”, escrito en 1565 y sin embargo publicado en 1663, se ocupa también del problema de reparto de apuestas. Indica que la solución de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos generados por cada equipo, no contaba cuántos juegos debían ganar para hacerse con el premio. El problema que se comenta también fue tratado por Niccolo Tartaglia (1499-1557), quien observaba que la solución elaborada por Paccioli tenía restricciones y propuso una solución más general. No se puede cerrar estos años de la teocracia sin dedicar algunas líneas al trabajo de un coloso de la humanidad: Galileo Galilei (1564-1642), famoso por sus trabajos de Física, Astronomía e Ingeniería; primer sistematizador de la metodología experimental en la investigación científica, quien dedicó una parte de su tiempo a resolver problemas sobre dados, contenidos en su libro “sobre la puntuación en tiradas de dados”. No obstante su mayor contribución fue la creación de la “teoría de errores”: errores sistemáticos y errores aleatorios. Liberado de las ataduras de la escolástica que frenó, para desgracia de la humanidad trabajos de gran envergadura, no sólo en el campo de la incerteza, por considerarlos impíos, recién en el siglo XVII, con los trabajos de Pascal (1623-1662) y Fermat (16011665) empieza a establecerse los principios y métodos de cálculo de la incerteza. Más tarde el espíritu humano se ve engrandecido con la contribución de Huyghens (1629-1675), quien acopiando diversos trabajos elaborados hasta su época, reunió problemas diversos en un tratado, al que llamó “De Rotiociniis in ludo aleae”. Posteriormente siguieron trabajando para la gloria de la humanidad, en Holanda Huddes y Witt (1625-1672); Halley (1656-1742) en Inglaterra; aplicaron los cálculos a las probabilidades de la vida humana; Bernoulli (1654-1705) a su vez propuso a los geómetras de su época diversos problemas de probabilidades; entre ellos a Moivre. Unos años después, entre 1700 y 1706 Montmort (1678-1719) y Moivre (1667-1754) publican obras sobre el cálculo de probabilidades. La obra de Montmort con el título “Essai sur les Jeux de hasard” y el trabajo de Moivre

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aparecieron en “Transactions Philosophiques” de 1711; obra que fue sometido por él a sucesivas correcciones, mientras intensificaba su trabajo de las “series recurrentes” que luego usó Lagrange para la integración de las ecuaciones lineales de diferencias con coeficientes constantes; procedimiento que muy poco antes había sido trabajo por Taylor. Más adelante, Bayes (1702-1761) bebiendo en la cantera de trabajos realizados por varios sabios que le antecedieron, estudió el problema de las causas y de los acontecimientos futuros, inferida de los acontecimientos sucedidos. Trabajos publicados después de su muerte en “Transactions Philosophiques” de 1763. Así mismo, dos años después de su muerte, en 1763 se publica “Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances”, donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. Continúa el avance de esta teoría con las contribuciones de Lagrange, con su obra publicada en “Mémoires de Turin” sobre las probabilidades de los términos medios, basado en la ley de los errores de las observaciones. En esta avanzada continuaron Legendre (1752-1833) y Gauss que concibieron la idea de sumar los cuadrados de los primeros miembros de las ecuaciones de condición y de convertir dicha suma en un “minimun”. Gauss (1777-1855), considerado el “príncipe de las matemáticas” y “el matemático más grande desde la antigüedad”, en 1823 publica “Theoria combinations observationum erroribus minimis obnoxiae”, dedicado a la distribución normal, cuya curva característica (campana de Gauss) es muy usada en disciplinas donde los datos podrían estar afectados por errores sistemáticos y casuales. Por ese tiempo, Pierre Simon Laplace un matemático francés que a los 24 años se le llamó el “Newton de Francia”, por la calidad de sus trabajos en la “Mecánica Celestial”, expuso en su gran obra “Traite du Mecanique Celeste” sus estudios acerca del sistema solar; contribuyendo a extender el modelo de Newton y sin embargo anotando que el sistema solar era estable y que “Dios era hipótesis innecesaria”. Un sabio de tal brillantez, no sólo trabajó en física astronómica, sino también como pensador presentó su “Hipótesis Nobular”, antecedido por Inmanuel Kant quien en 1755 presenta su obra “Allgemeine Naturgeschichte”. Trabajó, así mismo, en la teoría de probabilidades, planteando diversos problemas al azar, siendo uno de ellos el método de los mínimos cuadrados, presentando en 1812, en su “Theorie Analitique des Probabilités” donde supera las restricciones que Lagrange había considerado en sus “Memories de Turin”. Otra gran contribución, a la teoría de errores fué la de Simeon Poisson (1781-1840) quien planteó la pregunta: ¿es cierto que la media aritmética es siempre mejor que una única observación?. Altamente conocido por la distribución que lleva su nombre, comprobado posteriormente por A. Cauchy (1789-1857). Se suman a estos brillantes científicos, que trabajaron en la teoría de errores P Chebyshev con su Método de los Momentos (1821-1894) y A. Markov (1856-1922), conocido por su trabajo denominado: cadenas de Markov; discípulo de Chebyshev quien mejoró uno de los teoremas de su profesor, que más tarde fuera motivo de comprobación de A. Liaponuv (1857-1918) y de extensión en su generalización por Lindeberg (0000 0000), William Feller (0000 0000) y S. Bernshtein (0000 0000) Por esa misma época A. Khinchine (1894-1959) y Paul Levy (1886-1971) considerando

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la sucesión de variables aleatorias, motivo de interés de estos científicos, encontraron las condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la distribución ∑ de variables. Avanzando en el tiempo de ascenso del hombre, en el siglo pasado se destaca la presencia de Frank P. Ramsey ( ) con su obra “Los fundamentos de la Matemática”; publicado en 1931 en el campo de la interpretación subjetiva de la probabilidad, considerada más amplia que la probabilidad de las frecuencias, conocida como frecuentista u objetiva. En el siglo pasado no se puede dejar de mencionar los trabajos de Émile Borel (1871-1956) en torno a la “teoría general de las medidas” para la sustentación amplia de los fundamentos de la teoría de las probabilidades. Sustento que N. Kolmogorov (1903-1987) continuó al proponer la axiomatización de la teoría de las probabilidades. En el marco de esta breve consideración de evolución de la probabilística y la estadística se pretende, dentro de las restricciones propias de la formación profesional, componer el Curso de Estadística y Probabilidades I, para alumnos del IV ciclo de la Carrera de Ingeniería de Sistemas, que con esfuerzo singular el profesor Mg. Heiner López, de gran ejecutoria académica-profesional, quien trabajando con denuedo académico ha logrado elaborar un texto didáctico para el aprendizaje de la teoría de probabilidades y la estadística. En este efecto la composición mencionada del presente trabajo se desplaza según la siguiente secuencia: Capítulo I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. El aprendizaje se inicia con el cálculo de los diferentes estadísticos mas usuales; media, mediana, moda, varianza, coeficiente de variación, etc, determinado sus valores será necesario interpretarlos según sus propiedades y definiciones. Se presenta también las graficas histogramas, polígonos de frecuencia, ojivas, diagrama circular, de los diferentes tipos de datos cualitativos o cuantitativos. Las propiedades de la media y varianza en soluciones de problemas son usuales. Se termina con el estudio con los percentiles deciles, cuartiles, además medidas de asimetría y curtosis. Capítulo II. PROBABILIDAD. Es la base fundamental del curso ya que es el soporte matemático para la inferencia estadística. Se basa fundamentalmente en experimentos aleatorios en los cuales se calcula las probabilidades sobre eventos aparecen teoremas importantes en probabilidad muy usuales en la solución de problemas. Desarrollamos la probabilidad condicional que tiene trascendencia en los procesos estocásticos, así mismo tratamos la probabilidad de independencia y dependencia de eventos que tienen gran aplicabilidad en ingeniería, para terminar con el teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes de gran significación, ya que origina la teoría Bayesiana. Capítulo III. VARIABLE ALEATORIA. Es una función especial definida sobre un espacio muestral el cual puede ser discreto o continuo según sea el experimento aleatorio a tratar, generando funciones que pueden ser discretas (funciones de probabilidad) las cuales cumplen con propiedades establecida dentro del modelo probabilístico. Se le puede calcular su media (μ), Varianza (σ2) y la esperanza matemática E(X) de la variable aleatoria X, las cuales tienen propiedades que se usan en la solución de problemas diversos. Seguidamente desarrollamos las funciones de

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densidad de probabilidad uniforme y exponencial ambas muy usuales en aplicaciones teóricas como prácticas. Capítulo IV. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS. Las distribuciones generadas por variables aleatorias, pueden ser discretas como: Bernoulli, Binomial, Poisson, etc. ó continuas como la Normal, t de Student, etc. cada una de estas distribuciones tienen su media (μ) y varianza (σ2), las cuales son de utilidad en inferencia estadística. Las distribuciones mencionadas son modelos que con frecuencia se presentan en las diferentes especialidades, teniendo aplicaciones muy diversas. Por ejemplo la distribución binomial, muy usual en control de calidad, en encuestas de opinión, etc. la distribución de Poisson, estudia por ejemplo los fenómenos de llegada la teoría de colas, etc. La distribución normal la mas importante y usual en estadística, por su simetría en experimentos aun cuando las mediciones sean con errores de aproximación. Bajo condiciones determinadas podemos aproximar la binomial y Poisson con la Normal. Capítulo V. DISTRIBUCIONES MUESTRALES. El capítulo anterior se ocupó de distribuciones específicas, muy usuales en teoría de confiabilidad control de calidad y muestreo de aceptación. Nos concentramos en el muestreo de distribuciones o poblaciones y se estudian los valores de los estadísticos mas importantes como son la media muestral y varianza muestral que resultan de la extracción de una muestra aleatoria de una población pueda tener cualquier distribución, pero sin embargo la distribución de la media muestral puede seguir una normal o aproximadamente una normal tal afirmación lo sostiene el teorema del Límite Central (TLC) de gran aplicabilidad en la estadística inferencial. Capítulo VI. ESTIMACIÓN. Hemos señalado la importancia de las propiedades de la media y varianza muestral, el propósito de nuestro estudio es crear un fundamento para sacar conclusiones acerca de los parámetros poblacionales a partir de los datos experimentales. Por ejemplo, el Teorema Central de Límite (TLC) nos proporciona información acerca de la distribución de la media muestral X ; la distribución comprende la media poblacional μ. Entonces cualquier conclusión referente a μ, que se obtenga de un promedio muestral observado, depende del conocimento de la distribución muestral. La estimación de los parámetros poblacionales (μ, σ2, p) pueden, ser puntuales o por intervalos. Los estimadores usuales son la media, varianza y proporción ( x , S2, pˆ ) muestrales; siendo isesgados eficientes, consistentes y asintóticos. Nos centramos en la estimación para la media μ mediante intervalos usando las distribuciones, normal y “t” de Student. Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo del profesor Heiner López Príncipe a quien la Institución agradece por su excelente contribución.

Lucio H. Huamán Ureta Vicerrectorado de Investigación

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“El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras de Estadística y probabilidades I publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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ÍNDICE CAPÍTULO I. Estadística Descriptiva ................................................. Semana 1 Introducción....................................................................................... Algunas definiciones y términos importantes en estadística ................ Definición de estadígrafos .................................................................. Etapas que cubre la estadística............................................................ Semana 2 Calculo de los estadígrafos más importantes....................................... Ejercicios de aplicación casos I, II y III................................................ Métodos de clasificación de datos por intervalos................................

13 13 14 17 18 21 26

Semana 3 Estadísticos de tendencia central......................................................... Tipos de gráficas................................................................................. Propiedades de la media y varianza ................................................... Propiedades adicionales de la media.................................................. Ejercicios de aplicación ......................................................................

31 32 36 36 38

Semana 4 Percentiles, deciles y cuartiles ............................................................ Medidas de asimetría y curtosis .......................................................... Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................

44 49 52

CAPÍTULO II. Probabilidades ............................................................ Semana 5 Introducción....................................................................................... Algunas definiciones importantes en probabilidad ............................. Álgebra de eventos............................................................................. Ejercicios de aplicación ......................................................................

67 68 69 70

Semana 6 Probabilidad de un evento ................................................................. Algunos teoremas importantes en probabilidad .................................. Ejercicios de aplicación ......................................................................

77 78 79

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Semana 7 Probabilidad condicional.................................................................... Ejercicios de aplicación ...................................................................... Probabilidad de la multiplicación de eventos ..................................... Ejercicios de aplicación ......................................................................

89 90 95 96

Semana 8 Probabilidad de independencia de eventos ........................................ Ejercicios de aplicación ...................................................................... Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes......................... Ejercicios de aplicación ...................................................................... Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................

101 105 103 105 108

Semana 9 Repaso y solución de los ejercicios propuestos de recapitulación Semana 10. EXAMEN PARCIAL CAPÍTULO III. Variable Aleatoria ..................................................... Semana 11 Secuencia natural de problemas en variable aleatoria......................... Propiedades de la variable aleatoria discreta y continua ..................... Variable aleatoria discreta .................................................................. Ejercicios de aplicación ...................................................................... Esperanza matemática en variable aleatoria discreta........................... Ejercicios de aplicación ...................................................................... Semana 12 Variable aleatoria continúa................................................................. Función de densidad de probabilidad uniforme ................................. Función de densidad de probabilidad exponencial............................. Ejercicios de aplicación Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea).................................... CAPÍTULO IV. Distribuciones de probabilidad discreta y continua .. Semana 13 Distribuciones de probabilidad discreta.............................................. Distribución binomial......................................................................... Ejercicios de aplicación ...................................................................... Distribución de Poisson...................................................................... Ejercicios de aplicación ......................................................................

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125 125 127 128 128 128 138 141 144 146 149 167 167 167 169 174 175

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Teorema de aproximación de las distribuciones binomial y Poisson...

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Semana 14 Distribución Normal........................................................................... Lectura de tabla .................................................................................. Ejercicios de aplicación ......................................................................