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REPORTE FINALMateriaESTADÍSTICA IIAlumnoLOPEZ ARELLANLO YESSENIAMatrículaY657TFacilitadorJOSÉ LOPEZ RUIZFECHA ULA de Cuautitlán, 12 de Noviembre de 2017.Alumno Loperena González Leticia HaydeINTRODUCCIÓNEl objetivo del presente proyecto es la aplicación de los métodos de pruebas de hipótesis a probl...

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Estadística II

REPORTE FINAL Materia ESTADÍSTICA II Alumno LOPEZ ARELLANLO YESSENIA Matrícula Y657T53 Facilitador JOSÉ LOPEZ RUIZ FECHA ULA de Cuautitlán, 12 de Noviembre de 2017.

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INTRODUCCIÓN El objetivo del presente proyecto es la aplicación de los métodos de pruebas de hipótesis a problemas comunes, en este caso, problemas que presenta la empresa Alestre Austral para ayudar en la toma de decisiones. La empresa Alestre Autral dedicada a la fabricación y venta de artículos para campamento, desea apoyarse en la toma de decisiones con análisis dedicados a los problemas que enfrenta actualmente; que van desde la toma de decisiones en la producción, hasta la publicidad a sus productos; considerando también el factor humano en la empresa para asegurar la mejor toma de decisiones con base en los datos y el desempeño del personal. Para apoyar a la empresa en la toma de decisiones, herramientas como el uso de pruebas de hipótesis, cálculo de ANOVA, pruebas paramétricas y análisis de correlación, son métodos a emplear para proporcionar respuestas y llevar a una mejor toma de decisiones para cada uno de los problemas planteados.

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DESARROLLO La compañía Alerce Austral se dedica a la fabricación y venta de artículos para campamento en diferentes plantas y tiendas a lo largo de México. La producción semanal del artículo M-380, que corresponde a una mesa plegable, tiene una distribución normal, con una media de 300 y una desviación estándar igual a 20. Debido a la expansión del mercado, se modernizaron los métodos de producción y se aumentó la mano de obra. El gerente de Producción quiere investigar si se produjeron cambios en la producción semanal del artículo M- 380. Se le solicita que le informe al gerente de Producción si la cantidad media de M-380 es diferente a 300 mesas plegables producidas semanalmente. Considera un nivel de significancia igual a 0.01 y que en el año anterior la producción semanal tuvo una media de 303 artículos (del año laboral de 50 semanas, 2 fueron de vacaciones). Enseguida resuelve el problema con base en la metodología (pasos) para las pruebas de hipótesis: 1) establece hipótesis nula y alternativa; 2) selecciona el nivel de significancia; 3) selecciona un estadístico de prueba; 4) formula una regla de decisión, y 5) toma una decisión con base en la hipótesis nula y, finalmente, interpreta los resultados. En la siguiente imagen se indica el proceso.

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Para responderle al gerente de Producción analiza lo siguiente: ¿Qué método estadístico debe realizar para responderle al gerente de Producción? ¿Por qué? Se debe emplear una prueba de hipótesis de medias, este método se emplea cuando se conoce la desviación estándar de la población. ¿Se trata de un análisis de una o de dos colas? ¿Por qué? Alumno Loperena González Leticia Hayde 4|Página

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Dado que las condiciones para el análisis son: H0: μ=300 H1: μ≠300 El análisis a emplear debe ser una prueba de dos colas ¿Cuál es el estadístico de prueba que debe utilizar? ¿Por qué? Se emplea el estadístico de prueba Z, este sigue la distribución normal estándar bajo la hipótesis nula. Calculamos Z por fórmula y la obtenemos de tablas. ¿Cuál es el significado del nivel de significancia y con qué tipo de error se asocia? Suponiendo que la hipótesis es correcta, el nivel de significancia nos indica el porcentaje de medias muestrales que está fuera de ciertos límites. En este caso se asocia con error tipo I. Mientras mayor sea el nivel de significancia que utilizamos para probar una hipótesis, mayor será la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. Fundamenta cada una de tus respuestas. Eligiendo ahora una media y nivel de significancia diferentes.

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Los clientes de la compañía Alerce Austral tienen la opción de pagar sus compras en una caja registradora normal, operada por un cajero (método tradicional), o bien, emplear un escáner para realizar sus pagos. El gerente de Ventas desea saber si el tiempo medio de pago con el método tradicional es mayor que el tiempo medio de pago con el escáner, por lo que reunió la siguiente información (tabla 1):

Tipo de cliente

Media muestral (minutos)

Tradicional Escáner

4.50 4.30

Tabla 1 Desviación estándar de la población (minutos) 0.30 0.20

Tamaño de la muestra 50 100

Ahora toma en cuenta lo siguiente: o El tiempo se mide desde el momento en que el cliente ingresa a la fila hasta que sus compras están empacadas. De ahí que el tiempo incluye tanto la espera en la fila como el registro. o Considera un nivel de significancia de 0.01. o Además, explica qué tipo de análisis debe realizar. o Por último, cuál será el estadístico de prueba que elija para responder al gerente. 

Considera el problema planteado y resuélvelo con base en la metodología (pasos) para las pruebas de hipótesis: 1. Establece hipótesis nula y alternativa; 2. Selecciona el nivel de significancia; 3. Selecciona un estadístico de prueba; 4. Formula una regla de decisión, y 5. Toma una decisión con base en la hipótesis nula. 6. Finalmente, interpreta los resultados. Fundamenta todas tus respuestas.

Considerando que una muestra grande se considera a partir de 30 elementos, el análisis a realizar se hará con la fórmula:

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Z=

( ´x − ´y )−D 0

√

σ2x σ 2y + nx n y

Datos: ´x =4.50 ´y =4.30

σx2 = (0.30)2 = 0.09 σy2 = (0.20)2 = 0.04 nx = 50 ny = 100 D0 = diferencia entre las medias poblacionales; en este caso es cero Ho : μx – μy ≤ 0 H1: μx – μy > 0 α = 0.01 => 1% Dado que se desea conocer el tiempo medio de pago mayor, consideraremos un estadístico de prueba de cola derecha. Por ello: 1-α, pero considerando sólo la mitad positiva, es 0.5-α= 0.5-001=0.49 De tablas obtenemos Z= 2.33

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rr= región de rechazo o región crítica Realizando ahora el cálculo con la fórmula

(¿−Y )−Do

√

2

2

=

X (4.50−4.30 )−0

σx σ y + nx ny

√

=4.26

0.09 0.04 + 50 100 Z=¿

Obtenemos Z= 4.26 Zcalc > Ztablas Se rechaza Ho El tiempo de pago es menor en el método tradicional y mayor en el método de escáner.

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Alerce Austral debe enviar un pedido de diversos artículos producidos en la planta de Distrito Federal a su tienda ubicada en Guadalajara. El gerente de planta en el D. F. decide hacer el envío por avión, por lo que el director de transporte le sugiere dos posibles vías para trasladar la carga desde la planta hasta el Aeropuerto Internacional de la Ciudad de México (AICM); el Viaducto Miguel Alemán y Río Churubusco. El director de Transporte, a su vez, quiere analizar el tiempo que tardarían en transportar la carga desde la planta hasta el AICM por cada una de las vías sugeridas y, luego, comparar los resultados. La recopilación de los datos muestrales que se reportaron en minutos se registran en la tabla 2. Tabla 2. Tiempos de transporte de la carga desde la planta hasta el AICM n Río Churubusco Viaducto Miguel Alemán (tiempo en minutos) (tiempo en minutos) 1 52 59 2 67 60 3 56 61 4 45 51 5 70 56 6 54 63 7 64 57 8 60 65 Considerando un nivel de significancia del 0.10, contéstale al director de Transporte las siguientes preguntas: a) ¿Existe alguna diferencia en los tiempos empleados en transportar la carga desde la planta en el D.F. hasta el AICM a través de las dos vías recomendadas? No existe diferencia en los tiempos empleados para transportar la carga a través de ambas vías. b) ¿Son iguales o diferentes las desviaciones estándar de cada una de las vías escogidas? En caso de ser diferentes qué implica dicha diferencia en términos estadísticos. Las desviaciones estándar son diferentes en cada una de las vías escogidas. En términos estadísticos es una medida de dispersión de los datos, a mayor dispersión mayor es la desviación estándar. c) ¿Qué tipo de análisis estadístico empleará para responder la interrogante? Fundamenta tu respuesta. El análisis estadístico a empelar debe ser un análisis de varianza o ANOVA, ya que estamos comparando las medias de dos poblaciones con muestras del mismo tamaño. d) ¿Qué estadístico de prueba debe utilizar? El estadístico a emplear es la distribución de Fisher. ¿Por qué? Alumno Loperena González Leticia Hayde 12 | P á g i n a

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Porque nos sirve para comparar las varianzas de dos poblaciones, se trata de una distribución asimétrica a la derecha y está descrita por los diferentes grados de libertad de su numerador y denominador.

Considerando que las muestras son del mismo tamaño, para el análisis de varianza tenemos lo siguiente: H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 Valores críticos gl1 = k-1 = 2 -1 = 1 gl2 = k(n – 1) = 2 (8 – 1) = 14 α = 0.1 1 – α = 1 – 0.1 = 0.90 De tablas F0.1,1,14 = 3.102

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´ 1= 52+ 67 + 56+ 45 + 70+54 + 64+60 =58.5 X 8 Río Churubusco ´ 2= 59+ 60 + 61+51 + 56+ 63+57 + 65 =59 X 8 Viaducto Miguel Alemán

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El estadístico de prueba a emplear es F de Fisher

En la gráfica

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Ejemplo 2 adicional. Ahora bien, consideremos las mismas vías, pero con muestras de distinto tamaño. n 1 2 3 4 5 6 7 8

Río Churubusco (tiempo en minutos) 52 67 56 45 70 54 64 60

Viaducto Miguel Alemán (tiempo en minutos) 59 60 61 51 56 63 57

´ 1= 52+ 67 + 56+ 45 + 70+54 + 64+60 =58.5 X 8 Río Churubusco ´ = 59+ 60 + 61 + 51+56+63 + 57 =58.14 X 2 7 Viaducto Miguel Alemán

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El director general de Alerce Austral recomendó la elaboración de un programa de capacitación de sus gerentes con el propósito de aumentar sus conocimientos sobre administración de empresas. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de 15 gerentes que fueron examinados por un grupo de expertos en administración. Éstos determinaron el nivel general de conocimientos de cada gerente participante en relación con el tema de la capacitación. La competencia y la comprensión sobre el tema se calificaron como “Excelentes”, “Buenas”, “Regulares” o “Deficientes”. El programa de capacitación duró tres meses. Posteriormente, el mismo equipo de expertos en administración de empresas volvió a evaluar y a calificar a cada uno de los gerentes que completaron la capacitación. La tabla 3 contiene las calificaciones obtenidas antes y después de la capacitación. El signo + indica que el gerente mejoró en sus competencias y en su comprensión del tema, mientras que el signo – indica una declinación de las competencias y de la comprensión del gerente después del programa de capacitación. Tabla 3. Nivel de competencia de los gerentes antes y después del programa de capacitación n Nombre Antes Después Signo de la diferencia 1 Claudio Rojas Deficiente Buena + Excelente 2 Juan Pérez Buena + 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Andrea Schmidt Claudia Tello Mario Ponce José Gómez Marisol Colunga Juana Pardo Andrés Fonseca John Smith Armando Tejeda Rodrigo Paredes Josefina Muñoz Lewis Thomas Mary Stewart

Buena Regular Buena Deficiente Buena Buena Deficiente Buena Excelente Deficiente Excelente Regular Buena

Regular Excelente Excelente Buena Deficiente Excelente Regular Excelente Excelente Buena Buena Excelente Excelente

+ + + + + + 0* + + +

Se solicita que se le informe lo siguiente al director de la compañía: ¿Los gerentes son más competentes con relación a la administración de empresas después del programa de capacitación? Para responder a la interrogante considera un nivel de significancia de 0.1. Antes de contestar, reflexiona sobre: ¿Qué método estadístico debe emplear para responder, paramétrico o no paramétrico? Alumno Loperena González Leticia Hayde 20 | P á g i n a

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Para realizar el análisis el método estadístico a emplear es una prueba no paramétrica. Si elige un método no paramétrico, ¿cuál específicamente es el más indicado? ¿Por qué? Fundamenta tus respuestas. El método estadístico más adecuado a emplear es el de prueba de contraste de signos, se elige este método debido a que la tabla de resultados muestra las diferencias con signos. Más adelante se demostrará el por qué se considera el más indicado. Planteamiento del problema Establecemos las hipótesis H0: P = 0.5 H1: P > 0.5 α = 0.10 => 1-α= 0.90 P -> porcentaje de diferencias positivas que existen en toda la población respecto a un cambio. Calificación

Antes

Después

Diferencia

Signos

(D-A) Deficiente

4

1

-3

-

Regular

2

2

Bueno

7

4

-3

-

Excelente

2

8

6

+

Calculando el estadístico de prueba Z

Alumno Loperena González Leticia Hayde 21 | P á g i n a

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X=1

sólo hay un signo positivo

n=3

son 3 diferencias distintas de cero

Z=

2 x−n √n

Z=

2(1)−3 =−0.5773 √3

De tablas α = 10% = 0.10 1- α =1-0.10= 0.90 al ser una prueba de cola derecha sólo consideramos la mitad, por lo tanto sería (1- α)/2 =0.45

Dado que 0.45 se encuentra entre los valores 0.4495 y 0.4504, el valor de Z está en 1.6 y entre 0.4 y 0.5, lo que nos da un valor de 1.645

Z= 1.645

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Con base en el resultado obtenido para Z (tablas y calculado), se acepta H 0 No hay diferencia significativa entre el antes y el después, del programa de capacitación.

Prueba de Wilcoxon Alumno Loperena González Leticia Hayde 23 | P á g i n a

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Establecemos las hipótesis H0: P = 0.5 H1: P > 0.5 α = 0.10 => 1-α= 0.90 Calificació n

Antes

Deficiente Regular Bueno Excelente

4 2 7 2

Después 1 2 4 8

Diferenci a (D-A) -3

Rangos 1

1.5

-3 6

2 7 Suma

1.5

Puestos Puestos negativos positivos

3

7 7

Dado que la menor de las sumas es el valor de Wilcoxon Tcalculado = 3 Tα,n=T0.1,3 De tablas

Dado que la tabla de Wilcoxon sólo maneja números enteros, inferimos que para un valor de n=3 se trata de un valor muy pequeño entre cero y uno, para α=0.10.

Al no tener un valor para T, podemos declarar que este método no aplica para dar solución a este problema. Aunque con los valores obtenidos podríamos aceptar H0 .

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Prueba de U de Mann-Whitney Establecemos las hipótesis H0: P = 0.5 H1: P > 0.5 α = 0.10 => 1-α= 0.90

Antes 4 2 7 2 Suma

U =n1 n 2+

Rango 5.5 3 7 3 18.5

Después 1 2 4 8 Suma

n1 (n 1+1) −R1 2

Calculando para Antes

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Rango 1 3 5.5 8 17.5

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U=4∗4 +

4 ( 4+1 ) −18.5 =7.5 2

Calculando para Después 4 ( 4+1 ) U=4∗4 + −17.5 =8.5 2

Cálculo de Z U− Z=

√

n1 n2 2

(n1 n2 )( n1 + n2 + 1 ) 12

Cálculo de Z para antes 4+4 7.5− 2 7.5−8 Z= =−0.14 = (4∗4 )( 4 + 4 + 1 ) 16∗ 9 12 12

√

√

Calculando Z para después 4+4 8.5− 8.5−8 2 =0.14 Z= = (4∗4 )( 4 + 4 + 1 ) 16∗ 9 12 12

√

√

De tablas

Z=1.645 Alumno Loperena González Leticia Hayde 26 | P á g i n a

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Se acepta H0 con base en los resultados obtenidos. La prueba es para n ≥ 10, no debe emplearse este estadístico para este problema.

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La compañía Alerce Austral, para mantener su posicionamiento en el mercado nacional, se anuncia profusamente en Internet, televisión y radio, destacando sus precios bajos y sus facilidades de crédito. El gerente de Finanzas quiere estudiar la relación entre el dinero gastado en las compañías publicitarias y los ingresos por las ventas entre enero y junio de 2014. La información recopilada se muestra en la tabla 4. Tabla 4 Enero 4 14

Mes Gastos en publicidad (millones de pesos) Ingresos por ventas (millones de pesos)

Febrero 2 6

Marzo 6 16

Abril Mayo 8 12 20 24

Ahora da respuesta a los siguientes puntos: a) ¿Qué tipo de análisis estadístico debe realizar para poder informarle al gerente de Publicidad si existe alguna relación entre el gasto de publicidad y los ingresos por ventas? De existir una relación, ¿de qué tipo sería? Fundamenta tu respuesta. Para el análisis de los datos presentados se debe emplear el método de análisis de correlación y regresión simple. En caso de encontrarse una relación mediante el análisis de los datos por el método indicado, el tipo de relación sería una correlación simple. b) Se desea pronosticar las ventas con base en los gastos publicitarios. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? Fundamenta tu respuesta. La variable dependiente son los ingresos por ventas. La variable independiente son los gastos en publicidad c) Realiza el diagrama de dispersión. d) Determina el coeficiente de correlación. e) Interpreta la fuerza de la relación entre las variables. La relación entre las variables se puede describir como alta y perfectamente positiva f) Determina la ecuación de la recta de regresión lineal y explica qué significan los valores calculados. g) Realiza el diagrama con la recta de regresión lineal. h) Explica cómo influirán las variaciones del gasto en publicidad con respecto a los ingresos por ventas. Los gastos en publicidad son proporcionales al ingreso. i) Pronostica de cuánto serán los ingresos por ventas si el gasto en publicidad fuera de 15, 25 y 9.5 millones de pesos respectivamente. Fundamenta tu respuesta y realiza los cálculos correspondientes. Al realizar los cálculos correspondientes con los gastos de publicidad indicados, se observa que hay una relación directa, mientras mayor es el gasto en publicidad, mayores ganancias son observadas. Para el desarrollo de los incisos c, d, e, f, g, e i; se tiene lo mostrado ...