Estadistica Y Probabilidad Aplicaciones EN Mantenimiento DE MINA PDF

Preview

Summary

PRINCIPIANTES EN PROBABILIDADES Y APLICACIONES EN MANTENIMIENTO...

Description

PROBABI L I DADEI NFERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

PROBABI LI DADEI NFERENCI A EST ADI STI CA–APLI CACI ONESALAREADE MANTENI MI ENTOMI NA

El a b o r ó : J o s éBe r n a r d oEs p i n o z aSu á r e z Ab r i l 2 0 1 2 Ma i l : J B_ ESPI NOZA@Y AHOO. ES

Pá g i n a1 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Pá g i n a2 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

CONTENI DO

1 . I n t r o d u c c i ó n 2 . T é c n i c a sd ec o n t e o 3 . T e o r e mad eBa y e s 4 . Di s t r i b u c i o n e sd ep r o b a b i l i d a d 5 . Di s t r i b u c i o n e sd ep r o b a b i l i d a dd i s c r e t a s 6 . Di s t r i b u c i o n e sd ep r o b a b i l i d a dc o n t i n u a s

Pá g i n a3 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

PROBABI LI DADYDI STRI BUCI ONESDEPROBABI L I DAD 1 . I NTRODUCCI ÓN L ap r o b a b i l i d a ds er e fi e r ea l e s t u d i od el aa l e a t o r i e d a dyl ai n c e r t i d u mb r ee nc u a l q u i e rs i t u a c i ó n d o n d ep o d r í ao c u r r i ru n od ev a r i o sr e s u l t a d o sp o s i b l e s .Ena l g u n o sc a s o ss eu t i l i z ad ema n e r a i n f o r ma l c o mop o r e j e mp l o : h a yu n5 0 %d ep r o b a b i l i d a dd eq u el l u e v a . DEFI NI CI ONES  Pr o ba bi l i d a d:e sl ap o s i b i l i d a dn u mé r i c ad eo c u r r au ne v e n t o .Semi d ec o nv a l o r e s c o mp r e n d i d o se n t r e0y1 , e n t r ema y o rs e al ap r o b a b i l i d a d , má ss ea c e r c a r áau n o .  Ex pe r i me n t o:e st o d aa c c i ó nb i e nd e fi n i d aq u ec o n l l e v aau nr e s u l t a d oú n i c ob i e n d e fi n i d oc o moe l l a n z a mi e n t od eu nd a d o . Ese l p r o c e s oq u ep r o d u c eu ne v e n t o .  Es p a c i omue s t r a l :e se l c o n j u n t od et o d o sl o sr e s u l t a d o sp o s i b l e sd eu ne x p e r i me n t o . Pa r au nd a d oe sSS=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )  Ev e nt o:e sc u a l q u i e rc o l e c c i ó nd er e s u l t a d o sc o n t e n i d o se ne le s p a c i omu e s t r a l .Es s i mp l es i s ó l ot i e n eu nr e s u l t a d oyc o mp u e s t os i t i e n ev a r i o sr e s u l t a d o s . De fin i c i ónCl á s i c adePr ob a bi l i da d. Mo de l odef r e c u e nc i ar e l a t i v a L ap r o b a b i l i d a dd eu ne v e n t o( E) ,p u e d es e rc a l c u l a d ame d i a n t el ar e l a c i ó nd ee ln ú me r od e r e s p u e s t a se nf a v o r d eE, ye l n u me r ot o t a l d er e s u l t a d o sp o s i b l e se nu ne x p e r i me n t o . P E  

# Favorable E # Total resultados

1  .16 6 1 Ej e mp l o2 :L ap r o b a b i l i d a dd el a n z a r u n amo n e d ayq u ec a i g ac a r ae s : .5 2

Ej e mp l o1 :L ap r o b a b i l i d a dd eq u es a l g a2a l l a n z a ru nd a d oe s :

Ej e mp l o3 :L ap r o b a b i l i d a dd es a c a r1 , 2 , 3 , 4 , 5 , o6a l l a n z a r u nd a d oe s : 1 1 1 1 1 1      1 6 6 6 6 6 6

L ap r o b a b i l i d a dd eu ne v e n t oe s t ác o mp r e n d i d as i e mp r ee n t r e0y1 .L as u mad el a s p r o b a b i l i d a d e sd et o d o sl o se v e n t o sp o s i b l e s( E)e nu ne s p a c i omu e s t r a l S=1  Une s p a c i omu e s t r a l ( S) :Ese l c o n j u n t oUn i v e r s a l ;c o n j u n t od et o d o sl o s“ n ”e l e me n t o s r e l a c i o n a d o s=#T o t a l d er e s u l t a d o sp o s i b l e s . Pr oba b i l i da dCompue s t a Esl ap r o b a b i l i d a dc o mp u e s t ap o r d o se v e n t o ss i mp l e sr e l a c i o n a d o se n t r es í . Enl ac o mp o s i c i ó ne x i s t e nd o sp o s i b i l i d a d e s : Un i ó n  oI n t e r s e c c i ó n . 

 Un i ó nd eAyB Si AyBs o ne v e n t o se nu ne s p a c i omu e s t r a l ( S) , l au n i ó nd eAyB  A  B  c o n t i e n et o d o sl o s e l e me n t o sd ee l e v e n t oAoBoa mb o s .  I n t e r s e c c i ó nd eAyB s t á SiAyBs o ne v e n t o se nu ne s p a c i omu e s t r a lS,l ai n t e r s e c c i ó nd eAyB  A  B  e c o mp u e s t ap o r t o d o sl o se l e me n t o sq u es ee n c u e n t r a ne nAyB. Re l a c i o n e se n t r ee v e n t o s Ex i s t e nt r e st i p o sd er e l a c i o n e sp a r ae n c o n t r a rl ap r o b a b i l i d a dd eu ne v e n t o :c o mp l e me n t a r i o s , c o n d i c i o n a l e symu t u a me n t ee x c l u y e n t e s . 1. E v e n t o sc o mp l e me n t a r i o s :El c o mp l e me n t od eu ne v e n t oAs o nt o d o sl o se l e me n t o se nu n e s p a c i omu e s t r a l ( S) q u en os ee n c u e n t r a ne nA. El c o mp l e me n t od eAe s : A 1  P A

Pá g i n a4 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Ej e mp l o4 :Ene l e v e n t oA( d í an u b l a d o ) , P( A) =. 3 , l ap r o b a b i l i d a dd et e n e ru nd í ad e s p e j a d o s e r á1 P( A)=. 7

2.

Pr o b a b i l i d a dc o n d i c i o n a l :Pa r aq u es el l e v eac a b ou ne v e n t oAs ed e b eh a b e rr e a l i z a d oe l e v e n t oB. L ap r o b a b i l i d a dc o n d i c i o n a l d eu ne v e n t oAd a d oq u eh ao c u r r i d oe l e v e n t oBe s :

P A B 

P  A  B P B 

, s iB 0

Ej e mp l o5 : Si e l e v e n t oA( l l u v i a ) yB( n u b l a d o ) =0 . 2ye l e v e n t oB( n u b l a d o ) =0 . 3 , c u a l e sl a p r o b a b i l i d a dd eq u el l u e v ae nu nd í an u b l a d o ?No t a : n op u e d el l o v e rs i n oh a yn u b e s P A B 

P  A  B P B 

=

0.2 0.67 0.3

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:

PERI ODOS ( Oc ur r e nc i ade l aqu e j a ) Eng a r a n t í a F u e r ad e g a r a n t í a T o t a l

RAZÓNDELAQUEJ A F a l l ae l é c t r i c a F a l l ame c á n i c a F a l l aa p a r i e n c i a

T o t a l

1 8 % 1 2 %

1 3 % 2 2 %

3 2 % 3 %

6 3 % 3 7 %

3 0 %

3 5 %

3 5 %

1 0 0 %

Si Ae se l e v e n t od eq u el aq u e j ae sp o ra p a r i e n c i ayq u eBr e p r e s e n t aq u el aq u e j ao c u r r i óe ne l p e r i o d od eg a r a n t í a . Sep u e d ec a l c u l a r P( A| B) =P( AyB) / P( B) P( A| B) =0 . 3 2/ 0 . 6 3=0 . 5 1 Si Ce se l e v e n t of u e r ad eg a r a n t í ayDf a l l ame c á n i c a : P( C| D) =P( CyD) / P( D) =0 . 2 2/ 0 . 3 5=0 . 6 2 8  Sed i c eq u ed o se v e n t o sAyBs o ni nde pe n di e nt e ss i : P( A/ B) =P( A) oP( B/ A)=P( B) . L ap r o b a b i l i d a dd el ao c u r r e n c i ad eu n on oe s t áa f e c t a d ap o rl ao c u r r e n c i ad e l o t r o . Deo t r a ma n e r al o se v e n t o ss o nde pe nd i e nt e s . Une j e mp l od ee v e n t oi n d e p e n d i e n t ee s : ¿Cu á l e sl ap r o b a b i l i d a dd eq u el l u e v ae nl u n e s ? El e j e mp l od ee v e n t od e p e n d i e n t ee se l e j e mp l o5 . 3 .Ev e n t o smu t u a me n t ee x c l u y e n t e s . Cu a n d ou ne v e n t oAn oc o n t i e n ee l e me n t o se n c o mú nc o nu ne v e n t oB, s ed i c eq u ee s t o ss o n mu t u a me n t ee x c l u y e n t e s .

Pá g i n a5 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Ej e mp l o6 .All a n z a ru nd a d o :a )c u a le sl ap r o b a b i l i d a dd eq u es a l g a2 o3 ?B)Ca l c u l e P A  B ? a ) P A  B 

1 1 1    .33 6 6 3

b )P A  B =0 , y aq u ea l s e rc o n j u n t o smu t u a me n t ee x c l u y e n t e sl ai n t e r s e c c i ó nn oe x i s t e , e s i mp o s i b l eq u es a l g a2y3a l mi s mot i e mp o . Le ya di t i v a :  Cu a n d od o se v e n t o sn os o nmu t u a me n t ee x c l u y e n t e s : P A  B P A  P B  P A B



Cu a n d ol o se v e n t o ss o nmu t u a me n t ee x c l u y e n t e s : P A B P A  P B

Le ymu l t i pl i c a t i v a :  Si l o se v e n t o sAyBs o nd e p e n d i e n t e s : P A  B  P A P B A



Si l o se v e n t o sAyBs o ni n d e p e n d i e n t e s : P A  B P A P B

Ej e mp l o7 :Ses e l e c c i o n au n amu e s t r aa l e a t o r i an=2d eu nl o t ed e1 0 0u n i d a d e s , s es a b eq u e 9 8d el o s1 0 0a r t í c u l o se s t á ne nb u e ne s t a d o .L amu e s t r as es e l e c c i o n ad ema n e r at a l q u ee l p r i me ra r t í c u l os eo b s e r v ays er e g r e s aa n t e sd es e l e c c i o n a re ls e g u n d oa r t í c u l o( c o n r e e mp l a z o ) ,a )c a l c u l el ap r o b a b i l i d a dd eq u ea mb o sa r t í c u l o se s t é ne nb u e ne s t a d o ,b )s il a mu e s t r as et o mas i nr e e mp l a z o ,c a l c u l el ap r o b a b i l i d a dd eq u ea mb o sa r t í c u l o se s t é ne nb u e n e s t a d o . A: El p r i me r a r t í c u l oe s t áe nb u e ne s t a d o . B: El s e g u n d oa r t í c u l oe s t áe nb u e ne s t a d o . Al s e r e v e n t o si n d e p e n d i e n t e se l p r i me r od e l s e g u n d o :  98   98   .9604    100   100 

P A  B  P A P B =

b )Si l amu e s t r as et o ma“ s i nr e e mp l a z o ”d emo d oq u ee l p r i me ra r t í c u l on os er e g r e s aa n t e sd e s e l e c c i o n a r e l s e g u n d oe n t o n c e s :  98   97      .9602  100   99 

P A  B  P A P B A =

Seo b s e r v aq u el o se v e n t o ss o nd e p e n d i e n t e sy aq u ep a r aq u ep a r ao b t e n e r e l e v e n t oB, s et i e n e q u eh a b e r c u mp l i d oa n t e se l e v e n t oA.

2 . TÉCNI CASDECONTEO Su p ó n g a s eq u eu n ap e r s o n at i e n ed o smo d o sd ei rd eu n ac i u d a dAao t r ac i u d a dB; yu n av e z l l e g a d aaB,t i e n et r e sma n e r a sd el l e g a rao t r ac i u d a dC.¿Dec u á n t o smo d o sp o d r ár e a l i z a re l v i a j ed eAaCp a s a n d op o r B?

Pá g i n a6 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Ev i d e n t e me n t e , s i e mp e z óap i ep o d r át o ma r a v i ó n , c a r r oot r a s a t l á n t i c o ; ys i e mp e z óe nb i c i c l e t a , t a mb i é np o d r át o ma r a v i ó n , c a r r oot r a s a t l á n t i c o . Ut i l i z a n d ol i t e r a l e s( l a si n i c i a l e s )e l v i a j e r ot u v ol a ss i g u i e n t e so p o r t u n i d a d e s : p a , p c , p t ; b a , b c , b t . Qu es o n6 ; c a d ap r i me r ao p o r t u n i d a dc o n t óc o nt r e sp o s i b i l i d a d e s . Set i e n e : 2o p o r t u n i d a d e sX3p o s i b i l i d a d e s=6p o s i b i l i d a d e s . PRI NCI PI ODECONTEO:Si u ne v e n t op u e d eh a c e r s ed ea a n e r a sd i f e r e n t e s , yc u a n d os eh a 1m h e c h o , p u e d eh a c e r s eu ns e g u n d oe v e n t o( i n d e p e n d i e n t ed e l p r i me r o )d ea2 mo d o sd i f e r e n t e sy l u e g ou nt e r c e re v e n t od ea a n e r a st a mb i é nd i f e r e n t e s ,ya s ís u c e s i v a me n t e ,e n t o n c e se l 3 m n ú me r od ema n e r a sd i f e r e n t e se nq u el o se v e n t o ss ep u e d e nr e a l i z a r,e ne l o r d e ni n d i c a d oe s d e : a1 a 2 a 3 ....an

Ej e mp l o9 :¿Dec u a n t o smo d o sp o d r áv e s t i r s eu nj o v e nq u et i e n e3c a mi s a sd i f e r e n t e s ,4 p a n t a l o n e syd o sp a r e sd ec a l z a d o ? So l u c i ó n : Pr i me r e v e n t o( c a mi s a s )a 3 1= Se g u n d oe v e n t o( p a n t a l o n e s ) a 4 2= T e r c e r e v e n t o( z a p a t o s ) a3=2 d o sd i f e r e n t e s . a 1 a 2 a 3 3 4 2 24 Mo PERMUT ACI ONES:Un ap e r mu t a c i ó ne su na r r e g l oo r d e n a d od eu n ap a r t ed el o se l e me n t o s ,o d et o d o sl o se l e me n t o sd eu nc o n j u n t o . Ej e mp l o1 1 :¿Yt o ma n d od o sl e t r a ss o l a me n t ec a d av e z ? So l u c i ó n : o p , o i , i o , i p , p i , p o : s o ns e i sp e r mu t a c i o n e s .  En l a ma y o r í ad el o sc a s o sr e s u l t a mu yc o mp l i c a d oh a c e rl a sp e r mu t a c i o n e s ma n u a l me n t ep o r l oc u a l u t i l i z a mo sl as i g u i e n t ef ó r mu l a : n !  n  r !

Prn 

Do n d e : n=n ú me r ot o t a l d ee l e me n t o sd e l c o n j u n t o , P=Pe r mu t a c i o n e s ,r= n ú me r od ee l e me n t o sq u e s et o ma nal av e z , ! =f a c t o r i a l , No t a : 0 ! =1 Ej e mp l o1 2 :¿Set o ma n3n ú me r o sd el o t e r í ad eu nt o t a l d e5 0 , d ec u a n t a sf o r ma ss ep u e d e n t o ma r l o sn ú me r o s ? P350 

50 ! 50 !   (50 49 48) 117 ,600  50  3 ! 47 !

COMBI NACI ONES:Ese l n ú me r od es u b c o n j u n t o sd ere l e me n t o sq u es ep u e d ef o r ma rd eu n c o n j u n t od ene l e me n t o s , s i ni mp o r t a re l o r d e nd el o se l e me n t o s . Pa r ad e t e r mi n a re l n ú me r od e c o mb i n a c i o n e sp o s i b l e su t i l i z a mo s : Crn 

n! n  r  ! r !

Ej e mp l o1 3 :Une n t r e n a d o rd eb a s k e tb a l lt i e n e9j u g a d o r e si g u a l me n t eh á b i l e s ,¿c u á n t a s q u i n t e t a sp o d r áf o r ma r ? C59 

9! 126 4 ! 5 !

Pá g i n a7 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Ej e mp l o1 4 :See x t r a e n5c a r t a sd eu n ab a r a j ad e5 2c a r t a s . Ha l l a rl ap r o b a b i l i d a dd ee x t r a e r( a ) 4a s e s , ( b ) 4a s e syu nr e y( c ) 3d i e c e syd o sj o t a s ,

 4 C4  48 C1   52 C5 

a ) P( 4a s e s )=

1 54145

=

 4C 4  4 C1 

b ) P( 4a s e sy1r e y )=



C5  4 C3  4 C2  c ) P( 3d i e s e sy2j o t a s )= C 52 5 52

1 649740 1  108290

Va r i a bl ea l e a t o r i a :Pa r au nd e t e r mi n a d oe s p a c i omu e s t r a l SSu n av a r i a b l ea l e a t o r i a( VA) e s c u a l q u i e r r e g l aq u er e l a c i o n au nn ú me r oc o nc a d ar e s u l t a d oe nSS. Va r i a bl ea l e a t o r i adeBe r no ul l i : Esc u a l q u i e r v a r i a b l ea l e a t o r i ac o nv a l o r e s0y1 . Va r i a bl ea l e a t o r i adi s c r e t a :Esu n av a r i a b l ea l e a t o r i ac u y o sp o s i b l e sv a l o r e ss o ne n t e r o s . Va r i a bl ea l e a t o r i ac ont i nua :Esu n av a r i a b l ea l e a t o r i ac u y o sv a l o r e sp o s i b l e ss o nl o sr e a l e s . Di s t r i bu c i óndepr oba bi l i da dof un c i óndema s ad epr oba bi l i da d:Es t a b l e c ee nu n at a b l a , f ó r mu l aog r á fi c ac o mos ed i s t r i b u y el ap r o b a b i l i d a dP( y ) a s o c i a d aal o sp o s i b l e sv a l o r e sd el a v a r i a b l ea l e a t o r i ay . De b ec u mp l i r c o nl a sr e g l a ss i g u i e n t e s : 1 . 0< =P( y ) < =1 2 . Su ma( P( y ) ) =1 F un c i óndedi s t r i buc i óna c umu l a t i v a :

Co np r o p i e d a d e s : Va l ore s p e r a dodeunadi s t r i bu c i óndepr oba b i l i da ddi s c r e t a L ame d i aov a l o r e s p e r a d od eu n av a r i a b l ea l e a t o r i ad i s c r e t aX, d e n o t a d ac o moE( X) , e s

L ame d i ae se l c e n t r od el ama s ad e l r a n g od el o sv a l o r e sd eX. Va r i a nz adeu nadi s t r i buc i óndepr oba b i l i da ddi s c r e t a Se aYu n av a r i a b l ea l e a t o r i ad i s c r e t ac o nd i s t r i b u c i ó nd ep r o b a b i l i d a d e sP( X= x ) .En t o n c e s ,l a v a r i a n z ad eYe s : 2 2 2  X E [(X  X ) ]  (x  X ) P (X x ) x

5 . DI STRI BUCI ONESDI SCRET AS DI STRI BUCI ÓNUNI FORME L av a r i a b l ea l e a t o r i at o mau nn ú me r ofi n i t od env a l o r e s , c a d au n oc o ni g u a l p r o b a b i l i d a d .

Pá g i n a8 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA

J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

Co nn=1 0s et i e n e : Sume d i ayv a r i a n z as o nl a ss i g u i e n t e s :

DI STRI BUCI ÓNHI PERGEOMÉTRI CA Sea p l i c ac u a n d ol amu e s t r a( n )e su n ap r o p o r c i ó nr e l a t i v a me n t eg r a n d ee nr e l a c i ó nc o nl a p o b l a c i ó n( n>0 . 1 N) . El mu e s t r e os eh a c es i nr e e mp l a z o P( x , N, n , D)e sl ap r o b a b i l i d a dd ee x a c t a me n t exé x i t o se nu n amu e s t r ad ene l e me n t o st o ma d o s d eu n ap o b l a c i ó nd et a ma ñ oNq u ec o n t i e n eDé x i t o s .L af u n c i ó nd ed e n s i d a dd ed i s t r i b u c i ó n h i p e r g e o mé t r i c a :

L ame d i ayl av a r i a n z ad el ad i s t r i b u c i ó nh i p e r g e o mé t r i c as o n :

Ej e mp l o:Deu ng r u p od e2 0p r o d u c t o s ,1 0s es e l e c c i o n a na la z a rp a r ap r u e b a .¿Cu á le sl a p r o b a b i l i d a dd eq u e1 0p r o d u c t o ss e l e c c i o n a d o sc o n t e n g a n5p r o d u c t o sb u e n o s ?L o sp r o d u c t o s d e f e c t i v o ss o n5e ne l l o t e . N=2 0 , n=1 0 , D=5 , ( ND) =1 5 , x=5 P( x = 5 ) =0 . 0 1 8 3=1 . 8 3 %

USODEEXCEL: N=T a ma ñ od ePo b l a c i ó n , n=T a ma ñ od emu e s t r a , D=é x i t o se nl ap o b l a c i ó n ; x=é x i t o se nl a mu e s t r a .  EnFxEs t a d í s t i c a ss e l e c c i o n a r  = d i s t r . h i p e r g e o m( x , n , D,N) USODEMI NI T AB:  Ca l c>Pr o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s>Hy p e r g e o me t r i c  Pr o b a b i l i t y( d e n s i d a d ) oCu mu l a t i v ep r o b a b i l i t y( a c u mu l a d a )

Pá g i n a9 de 57

PROBABI L I DADEI NF ERENCI AEST ADI ST I CA



J . ESP I NOZA/ Ab r i l 2 0 1 2

N, D, nye nI n p u t c o n s t a n t i n t r o d u c i r x .

EJ ERCI CI O: 1 . Sec o mp r a n1 0t r a n s f o r ma d o r e sys et o mau n amu e s t r ad e4 . Si s ee n c u e n t r au n oomá s d e f e c t u o s o ss er e c h a z ae l l o t ed e1 0 . a ) Si e l l o t et i e n eu nd e f e c t u o s o , ¿Cu á l e sl ap r o b a b i l i d a dd eq u es ea c e p t ee l l o t e ? b ) Cu á l e sl ap r o b a b i l i d a dd ea c e p t a r e l l o t es i c o n t i e n e3d e f e c t u o s o s . DI STRI BUCI ÓNBI NOMAL En s a y oBe r nou l l i . Esu ne x p e r i me n t oa l e a t o r i oq u es o l ot i e n ed o sr e s u l t a d o s . Éx i t oof r a c a s o . Do n d el ap r o b a b i l i d a dd eé x i t os ed e n o t ap o rp Su p o n g as er e a l i z a nne x p e r i me n t o sBe r n o u l l i i n d e p e n d i e n t e s . Su p o n g aq u el av a r i a b l eXd e i n t e r é se se l n u me r od eé x i t o s .Xt o mav a l o r e s0 , 1 , 2 , . . . , n L ad i s t r i b u c i ó nb i n o mi a l s eu t i l i z ap a r amo d e l a r d a t o sd i s c r e t o sys ea p l i c ap a r ap o b l a c i o n e s g r a n d e s( N> 5 0 ) ymu e s t r a sp e q u e ñ a s( n < 0 . 1 N) .El mu e s t r e ob i n o mi a l e sc o nr e e mp l a z a mi e n t o . Esa p r o p i a d ac u a n d ol ap r o p o r c i ó nd e f e c t i v ae sma y o r oi g u a l a0 . 1 . L ab i n o mi a l e su n aa p r o x i ma c i ó nd el ah i p e r g e o mé t r i c a L ad i s t r i b u c i ó nn o r ma l s ep a r o x i maal ab i n o mi a l c u a n d on p>5 L av a r i a b l ea l e a t o r i axt i e n eu n ad i s t r i b u c i ó nb i n o mi a l c o mos i g u e :

Co nme d i ayv a r i a n z a :

Ej e mp l o:Une q u i p or e q u i e r eal omá s1 0 %d es e r v i c i o se ng a r a n t í a . Pa r ac o mp r o b a r l os e c o mp r a n2 0d ee s t o se q u i p o sys es o me t e nap r u e b a sa c e l e r a d a sd eu s op a r as i mu l a re l u s o d u r a n t ee l p e r i o d od eg a r a n t í a . Ob t e n e r l ap r o b a b i l i d a dp a r aP( x < = 4 ) . Re c h a z a r l aa fi r ma c i ó nd eq u ef a l l ame n o sd e l 1 0 %s i s ee n c u e n t r aq u eX> = 5 . P( X> = 5 ) =1 P( X< = 4 )= 1d i s t r . b i n o m( 4 , 2 0 , 0 . 1 , 1 ) =1–0...