Estudio catenaria PDF

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Estudio completo de una catenaria tanto estatica como en ecuaciones diferenciales....

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DEMOSTRACION EJERCICIO “CABLE COLGANTE” PÁG. 115. ECUACIONES DIFERENCIALES MURRAY SPIEGEL TERCERA EDICIÓN.

Resumen: En el siguiente trabajo se mostrará la solución del ejercicio propuesto en la clase de ecuaciones diferenciales, en el cual se plantea el problema de catenarias o cables colgantes. Esto se llevará a cabo mediante operaciones matemáticas básicas y avanzadas y haciendo uso de programas que permiten la modelación y demostración del ejercicio. Palabras clave: Catenarias, Cables, Peso, Tensión, Cálculos, demostración. Abstract: In the following work the solution of the proposed exercise in the differential equations class will be shown, in which the problem of catenaries or hanging cables is raised. This will be done through basic and advanced mathematical operations and using programs that allow the modeling and demonstration of the exercise Keywords: Catenaries, Cables, Weight, Tension, Calculations,

demonstration.

1.

INTRODUCCIÓN

diferente a una curva parabólica. Esto se debe a que la ecuación de una parábola es de forma cuadrática mientras que la ecuación que representa la curva dada por el peso del cable involucra funciones hiperbólicas.

En este artículo trataremos un problema de ecuaciones diferenciales el cual consiste en hallar las ecuaciones que muestren las tensiones que hay en cada uno de los soportes que cargan un cable de peso w, y asi mismo hallar la ecuación del peso de dicho cable, la cual es una de las de las ecuaciones de primer orden. Cables colgantes, también llamados catenaria. Es una curva ideal generada físicamente por un cable o cadena suspendida entre dos extremos (soportes), solo siendo sometida a un campo gravitatorio uniforme. Históricamente los matemáticos quisieron describir cual es la curva dada por un cable bajo su propio peso, por lo tanto, era asociada a una curva parabólica, lo cual desmentido por Galileo Galilei en 1638 el cual mediante experimentos llega a la conclusión que la curva mostrada por un cable colgante es

En 1691 se obtuvo la primera demostración matemática de la curva dada por el peso de un cable, la cual también desde este instante recibe el nombre de catenaria dado por Chistiaan Huygens. La demostración se llevó a cabo por Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Chistiaan Huygens (el cual le dio el nombre a dicha curva); de dicha demostración salió la formula general la cual es:

y=h . cosh

( xh )

La cual se deduce de esta forma:

Juan Sebastián Jaimes Jaimes Tel. +57 3022285020 E-mail: [email protected] 1

Sebastián Jaimes, Jhon Chica, Juan Ruiz

T . co s ( θ )=T . sin (θ )=w . s ( x )

Donde

w.s dy =tan ( θ) = dx T0

√



2.

( )



y=

H . cosh

( w2 H.l )

( )



Formula de la longitud del cable

( xc )

s=c . sinh

Donde 

c=

H w

Formula del peso del cable

W peso =w . s

También se solicita mostrar que el peso esta dado por:

Donde w es la densidad 

( )

wl 2. H . sinh 2H

Y por último realizar analítica y numéricamente, comparando al final los resultados. todo esto teniendo un cable de 2 metros de longitud.

Formula de los soportes

w.L H cosh 2H w

2.1 PRESENTACIÓN DE PROBLEMA El ejercicio por desarrollar fue tomado del libro de ecuaciones diferenciales de Murray Spiegel tercera edición, el cual consiste en demostrar que la tensión de un cable en los soportes está dada por:

Formula tensión

Donde y es la posición en los soportes

( xh )

DESARROLLO DEL PROBLEMA

dy dx

T =w . y

ds dy 2 w d 2 y = 1+ = . 2 dx dx T 0 dx y=h . cosh

p=

H=

Formula de la tensión en el punto más bajo

w 2 2.3 PROCEDIMIENTO

2.2 METODOLOGÍA

Efx=0 −H +Tcosθ=0 (1)

Para llevar a cabo la solución del anterior ejercicio se utilizar las siguientes formulas.

Efy=0 −W +Tsen θ=0 (2)



Formula catenaria

dp w = √ 1+ p2 dx h

Se despejan H y W de las dos ecuaciones

H=Tcos θ(3) W =Tsen θ(4)

Sebastián Jaimes, Jhon Chica, Juan Ruiz

Se dividen (3) y (4) quedando de la siguiente manera

2

d y

w =H 2 dx

Tsen θ W = Tcos θ H Tanθ=

( )

dy =p dx

Hacemos

W H

dp w = √ 1+ p 2 dx H

Luego se hace

Tanθ=

dy dx

La resolvemos por separables

∫

dy W = dx H Derivando, se obtiene

d 2 y 1 dw (5) = dx 2 H dx Hacemos

√

2

dy dx

1+

w=

dw dx

dp

√1+ p

2

=∫

sinh−1 p= En el cual

p= senh

w dx H

w x H L 2

x=

( wL 2 H)

Integramos (5) dos veces Recordando que

2

wx +b y= 2H Si la densidad de la cuerda es una constante

p=

dy dx

queda,

( )

dy wL =senh 2H dx

Integramos a ambos lados

dw =w ds ds dw dw dw dx =w ó =w (6) = dx dx ds dx ds

dx ∫ dy =∫ senh( 2wL H) cosh

√

( )

2

ds dy = 1+ (7) dx dx

y=

( 2wLH ) +C w H

Reemplazamos (7) en (6)

√

( )

dw dy 2 =w 1+ (8) dx dx

y=

( )

wL H cosh (9) w 2H

Usando la fórmula de Tensión queda

Reemplazamos (5) en (8)

T =w

(

( ))

H wL cosh w 2H

Sebastián Jaimes, Jhon Chica, Juan Ruiz

De la cual obtenemos que

T =Hcosh

( 2wLH )

Necesitamos saber la fórmula de la longitud del cable la cual fue propuesta anteriormente y es:

()

x H sinh (10) w c

w=490

lb ft 3

w lb H= =245 3 2 ft Ahora haciendo uso de la fórmula de tensión

Ahora reemplazamos (10) en la formula del peso

( 2wLH )

T =Hcosh

peso=¿ w . s W¿ peso=¿ w

(

( ))

H wx sinh w H W¿

W peso =Hsinh

cobre;

Buscaremos la tensión y el peso teniendo en cuenta que es cable es de acero:

Asi finalizamos el punto A del problema propuesto. Ahora procederemos a realizar el punto B

s=

siguientes materiales: acero, oro, Procederemos a realizar el ejercicio.

( ) wx H

T acero =245

(

lb cosh 3 ft

T acero =86 655,26

( ) wL 2H

Y como sabemos que son 2 soportes multiplicamos la ecuación por 2 y por último nos da la ecuación del peso del cable

lb × 6.56158 ft 3 ft lb 2 ×245 3 ft

ft 2

Ahora usamos la formula del peso

( wL 2H )

W peso acero =2 Hsinh

W peso acero =2 ×245

lb sinh 3 ft

( )

wL W peso =2 Hsinh 2H

W peso acero =173 309,83 Ahora procedemos a el último punto el cual es el c y el que nos pide realizar un ejercicio con lo demostrado anteriormente Para realizar este ejercicio se tomará un cable de 2 metros de longitud o a lo que es equivalente 6.56158 pies, también se tendrán 3 diferentes densidades ya que vamos a tener en cuenta los

)

lb

Reemplazando el valor de x nos queda

W peso =Hsinh

490

(

490

lb ft 2

Ahora usaremos los datos del oro:

w=16 543,41

lb ft 3

lb ×6.56158 ft 3 ft lb 2× 245 3 ft

)

Sebastián Jaimes, Jhon Chica, Juan Ruiz

T oro=8271,705

lb cosh 3 ft

T oro=2 925 660,28

lb ×6.56158 2.4 APLICACIONES 3 ft lb Los cables o catenarias tienen uso muy evidente 2 ×8271,705 3 en la vida cotidiana, un ejemplo muy simple pero ft

16543,41

(

muy importante que vemos diariamente es en los cables de electricidad y en la mayoría de los cables a tensión. También se evidencia mucho su uso en el arte con el que realizan las diferentes estructuras, ya que en las construcciones de los arcos las catenarias son sumamente importantes.

lb 2 ft

W peso oro=2× 8271,705

W peso oro=5 851291,18

lb sinh ft 3

(

16543,41

lb Leonardo Da Vinci es quien establece uno de los ×6 3 primeros estudios geométricos y estructurales ft alrededor del año 1500 haciendo uso de la

2× 8271,70 catenaria en el gran conocido como el puente Da Vinci.

lb ft 2

3.

Por último, usaremos los datos del cobre:

w=559,44

lb ft 3

T cobre =279,72

lb cosh ft 3

(

lb ×6.56158 ft ft 3 lb 2× 279,72 3 ft

559,44

)

lb W peso cobre =197 870,31 2 ft

Hay una breve diferencia entre los datos tomados analíticamente y numéricamente, ya que el método de Euler da un valor mas representativo del caso mientras que los datos obtenidos analíticamente tienen una serie de errores tanto en las cifras decimales como en el redondeo de números. 4.

REFERENCIAS

Jiménez, A (2006). “LA CURVA CATENARIA” recuperado de: https://www.xatakaciencia.com/matematicas/lacurva-catenaria

lb T cobre =98 935,55 2 ft

lb W peso cobre =2 ×279,72 3 sinh ft

CONCLUSIÓN

(

lb × 6.56 ft 3 lb 2× 279,72 ft

559,44

(2012). “ESTUDIO Y APLICACIÓN DE LA CATENARIA” recuperado de: https://wiki.ead.pucv.cl/ESTUDIO_Y_APLICAC IÓN_DE_LA_CATENARIA#SOBRE_LA_CUR VA_CATENARIA Spiegel, M (1983). “ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS” recuperado de: file:///C:/Users/JHON %20DAVID/Desktop/EDO/Ecuaciones %20Diferenciales%20Aplicadas%20%20Spiegel.pdf

Sebastián Jaimes, Jhon Chica, Juan Ruiz

Juan Sebastián Jaimes Jaimes Estudiante de ingeniería aeronáutica, el cual cursa el cuarto semestre de dicha profesión en la universidad pontificia bolivariana. Jhon David Chica Garcia Estudiante de ingeniería mecánica, el cual cursa el tercer semestre de dicha profesión en la universidad pontificia bolivariana. Juan Diego Ruiz Castro Estudiante de ingeniería mecánica, el cual cursa el tercer semestre de dicha profesión en la universidad pontificia bolivariana....