Examen 1 Febrero 2019, preguntas y respuestas PDF

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Problemas resueltos...

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Problema 1 (mcm)

En una calle se están instalando dos semáforos: uno de ellos se pondrá en verde cada 3 minutos y el otro, cada 5 minutos. Una vez se conectan los semáforos, ¿cuánto tiempo tardarán en ponerse en verde al mismo tiempo por primera vez? Solución El primer semáforo se pone en verde en el minuto 3, en el 6, en el 9, en el 12, en el 15, en el 18, en el 21... (son los múltiplos de 3). El segundo semáforo lo hace en el minuto 5, en el 10, en el 15, en el 20... (son los múltiplos de 5). El minuto en el que ambos semáforos se encienden al mismo tiempo por primera vez es el minuto 15 (el mínimo común). Observad que la solución del problema es el mínimo común múltiplo de 3 y 5.

Problema 2 (MCD) En la tienda de Manuel hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Manuel quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que:  todas las cajas tienen el mismo número de frutas,  cada caja sólo puede tener peras o naranjas y  las cajas deben ser lo más grande posible. ¿Cuántas frutas debe haber en cada caja? Solución Para poder repartir las 12 naranjas en cajas más pequeñas con el mismo número de naranjas, tenemos que elegir un número que sea divisor de 12.

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por ejemplo, si las cajas contienen 3 naranjas, tendríamos un total de 12/3 = 4 cajas. Razonando del mismo modo, el número de peras en cada caja tiene que ser divisor de 18. Sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Como la capacidad de todas las cajas tiene que ser la misma, tenemos que elegir entre los divisores de 12 y los de 18 (divisor común). Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6. Además, tenemos que elegir el divisor común que sea máximo para que las cajas sean los más grande posible. El divisor común más grande es 6. Por tanto, las cajas deben tener 6 frutas cada una. Observad que la solución del problema es el máximo común divisor de 12 y 18.

En los siguientes problemas tenemos que elegir entre el mcm y el MCD.

Problema 3

Carolina quiere coser una colcha collage con retales de tela cuadrados del mayor tamaño posible. Si la colcha tiene que medir 180cm de alto y 100cm de ancho, ¿cuánto deben medir los retales? ¿Cuántos retales tiene que recortar para coser la cocha? Solución La colcha de Carolina es como una cuadrícula. El lado de los retales debe ser un divisor del alto y del ancho de la colcha. Además, debe ser lo más largo posible. Por tanto, el lado de los cuadrados debe ser el MCD de 180cm y 100cm, es decir, 20cm de lado.

A lo alto hay 180/20 = 9 retales. A lo ancho hay 100/20 = 5 retales. Carolina tiene recortar 9·5 = 45 retales cuadrados.

Problema 4 Roberto quiere cortar dos listones de madera en partes iguales para enrollarlos en plástico y guardarlos. Pero quiere cortarlos lo más largo posible para no desaprovecharlos. Si los listones miden 246cm y 328cm, ¿cuánto deben medir los trozos? Solución La longitud de los trozos debe dividir las longitudes de los dos listones y, además, ser lo más grande posible. La longitud de los trozos debe ser el máximo común divisor de 246 y 328, es decir, 82cm cada uno.

Problema 5

Jaime está practicando al béisbol con dos lanzadoras de bolas y su hermana Laura está anotando los resultados. Como de momento Jaime no ha fallado ningún tiro, Laura programa las lanzadoras para que una dispare cada 12 segundos y la otra, cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas en lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez? Solución Una de las máquinas dispara en los múltiplos de 12 y la otra en los múltiplos de 16. La primera vez que coinciden es en el mcm de 12 y 16.

Como el mínimo común múltiplo de 12 y 16 es 48, las máquinas lanzarán una bola al mismo tiempo a los 48 segundos desde su programación.

Problema 6 El auto que se va a comprar Pablo necesita que un cambio de aceite cada 40.000km y de neumáticos cada 90.000km. ¿En cuántos kilómetros coincidirá por primera vez el cambio de aceite y de neumáticos? Solución

Los cambios de aceite se realizan en los múltiplos de 40.000km y los de neumático, en los múltiplos de 90.000km. La primera vez que los cambios coinciden es el mcm. Tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 40.000km y 90.000km. Para que sea más fácil el cálculo, podemos escribir las distancias en decenas de millar:  40.000 son 4 decenas de millar  90.000 son 9 decenas de millar El mcm de 4 y 9 es 36. Por tanto, tendrá que cambiar el aceite y los neumáticos a las 36 decenas de millar de kilómetros, esto es, a los 360.000km.

Problema 7 A Mariola le han regalado 15 rosas rojas y 21 gardenias y quiere colocarlas en floreros en varias estancias de su casa de modo que cada florero tenga el mismo número de rosas y el mismo número de gardenias y que éstos sean el máximo posible. ¿Cuántos floreros necesita Mariola? ¿Cuántas flores de cada tipo debe poner en cada florero? Solución El número de floreros tiene que dividir al número total de rosas y al número total de gardenias. Mariola tiene que calcular el MCD de 15 y 21, que es 3.

Mariola necesita 3 floreros.

El número de rosas en cada florero es 15/3 = 5 y el de gardenias es 21/3 = 7.

Problema 8 Juan y Marta van a correr alrededor de una urbanización de su ciudad. Juan tarda 16 minutos en dar una vuelta completa y Marta tarda 24 minutos. Cuando coincidan en la salida por primera vez, ¿cuántas vueltas habrá dado cada uno? Solución Juan llega a la salida en los múltiplos de 16 y Marta en los múltiplos de 24. Coinciden por primera vez en la salida en el mcm de 16 y 24, es decir, en el minuto 48.

A los 48 minutos, Juan habrá dado 48/16 = 3 vueltas y Marta, 48/24 = 2 vueltas.

Problema 9

Daniel va a construir un prisma rectangular de dimensiones 60x12x18 cm (altura, anchura y profundidad) con cubos iguales y con volumen máximo. ¿Cuántos cubos tiene que comprar Daniel y con qué dimensiones? Solución

Los cubos miden los mismo de alto, de ancho y de profundidad. Esta medida tiene que dividir a las dimensiones del prisma y tiene que ser máxima, es decir, tiene que ser el MCD de las tres medidas del prisma. El MCD de 60, 12 y 18 es 6.

El prisma de Daniel requiere 60/6 = 10 cubos de altura, 12/6 = 2 cubos de anchura y 18/6 = 3 cubos de profundidad. En total, Daniel necesita comprar 2·10·3 = 60 cubos de 6x6x6 cm.

Problema 10 En el aeropuerto de México sale un avión a Madrid cada 30 minutos, uno a Bogotá cada 20 minutos y otro a Lima cada 50 minutos. Si a las 00:00h comienza la programación de los vuelos,  ¿a qué hora del día despegan 3 aviones al mismo tiempo con destino distinto?  ¿cuántas veces al día se da la misma situación (hasta las 24:00h)? Solución El mcm de 20, 30 y 50 es 300. Por tanto, cada 300 minutos (5 horas) coinciden los despegues a los tres destinos.

La primera coincidencia se produce a las 05:00h. Las siguientes son a las 10:00h, a las 15:00h y a las 20:00h. Un total de 4 veces al día. PROBLEMA Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños en un sobre (en cada sobre una invitación). En la tienda, las cajas de invitaciones son de 15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades. Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para que haya el mismo número de invitaciones y de sobres. Ver Solución Como el número de invitaciones tiene que ser el mismo que el de sobres, este número tiene que ser múltiplo de 15 y de 20. Además, en el problema se pide que este número sea el mínimo. Por tanto, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 15 y de 20. Descomponemos los números en primos:

Por tanto, el mcm es:

Como en cada caja de invitaciones hay 15 unidades y queremos 60, necesitamos 4 cajas de invitaciones. Como en cada caja de sobres hay 20 unidades y queremos 60, necesitamos 3 cajas de sobres. Por tanto, Amir debe comprar 4 cajas de invitaciones y 3 cajas de sobres....