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#HoyPasoFinanzas

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FINANZAS II Tutor: Alejandro Crovetto Otoño 2017, Pauta Clase Particular

Comentes 1. ¿Cómo responde el precio de una opción de compra a los siguientes cambios, si los demás efectos permanecen iguales? Solo responda si sube o baja el precio de la opción de compra. a) El precio de la acción se incrementa. b) El precio de ejercicio se incrementa. c) La tasa libre de riesgo se incrementa. d) Se amplía la fecha de vencimiento de la opción. e) Baja la volatilidad del precio de la acción. f ) El tiempo pasa, así que se acerca la fecha del vencimiento de la opción. Respuesta:

a) El precio de la acción se incrementa. (+) b) El precio de ejercicio se incrementa. (-) c) La tasa libre de riesgo se incrementa. (+) d) Se amplía la fecha de vencimiento de la opción. (+) e) Baja la volatilidad del precio de la acción. (-) f ) El tiempo pasa, así que se acerca la fecha del vencimiento de la opción. (-) 2. La única forma de acotar pérdidas en una estrategia con opciones es estar corto en call. Comente. Respuesta: Falso. Al estar corto en call las pérdidas no están acotadas, las ganancias sí. A su vez estar largo en call, junto a estar largo o corto en put, te da la posibilidad de acotar o limitar tus pérdidas, por lo tanto la única posición que tiene las pérdidas no acotadas es precisamente estar corto en call.

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3. Existen 2 opciones Put sobre diferentes acciones. Si todo lo demás permanece constante, ¿qué opción debería valer más: la opción de una acción con un alto beta o la opción de una acción con un beta menor? Considerar que ambas acciones tienen el mismo riesgo idiosincrático. Respuesta: Si el riesgo idiosincrático es el mismo para ambas acciones, entonces la acción con el mayor beta debería además tener una mayor volatilidad. Si una acción tiene mayor volatilidad, aumenta la probabilidad de que la opción esté “in the money”, es decir, para el caso de la put, que el precio spot sea menor al precio strike. Como existen más probabilidades de que esta opción sea ejercida, su demanda aumentará y su valor también.

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Matemáticos 1. Calcule el precio y la duración de un bono con valor nominal de 1.000, con madurez a 3 años, que paga cupones de un 8 % semestral, suponiendo que la tasa de interés de mercado es 9 %. Luego suponga que la tasa aumentó a un 10 %, vuelva a calcular el precio, la duración y el porcentaje de la variación. Además, utilizando el concepto de duración modificada, calcule el porcentaje de variación del precio ante una variación de la tasa de interés Respuesta: Primero hay que recordar las fórmulas a utilizar: T X

t · F Ct t t=1 P recio(1 + y) D Dmod = 1+y ∆P 1 · −Dmod = P ∆y D=

Utilizando los datos de del enunciado, se llega a lo siguiente: Periodo

FC

VP del FC

VP · t

1 2 3

80 80 1080

73,3945 67,3344 833,9582

73,3945 134,6688 2501,8745

974,6871

2709,9378

Por lo que la duración es igual a

2709,9378 974,6871

= 2, 7803 años.

Para el caso de que la tasa de descuento sube a 10 % se tiene que: Periodo

FC

VP del FC

VP · t

1 2 3

80 80 1080

72,7273 66,1157 811,4200

72,7273 132,2314 2434,2600

950,2630

2639,2186

Por lo que la duración es igual a

2639,2186 950,2630

3

= 2, 7774 años.

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Ahora usaremos la primera duración para calcular el cambio en el precio del bono dado el aumento en un 1 % en la tasa de descuento. Para esto se utiliza la fórmula de la duración modificada: 2,7803 D = Dmod = = 2,5507 1+y 1 + 0,09 Con este resultado, utilizamos la fórmula que relaciona la Duración Modificada con el Precio: 1 ∆P · P ∆y ∆P = −Dmod · P · ∆y ∆P = −2,5507 · 974, 6871 · 0,01 = −24,8613

−Dmod =

Por lo que el porcentaje de varaición del precio sería igual a aproximadamente.

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−24,8613 974,6871

= −0,0255 = −2,55 %

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2. Se están analizando 2 bonos. El plazo al vencimiento de ambos bonos es 4 años y los pagos de los cupones son 1 vez al año vencido. Uno de los bonos es tipo francés (amortiza durante la vida del bono), el que posee una tasa de interés de 10 % y el otro tipo americano o Bullet (solo paga interés durante la vida del bono y amortiza el principal al final), el que paga una tasa cupón de 10 %. Al momento de calcular el precio, ambos bonos se transan a una TIR de mercado de 8 %. Calcule la Duración de Macaulay para ambos bonos ¿Cual es mayor? ¿Por qué? ¿Cómo se interpreta cada una de las cifras calculadas? Respuesta: Supuesto: Principal de ambos bonos es igual a 100 Comenzaremos analizando el bono Americano o Bullet. Las cuotas de este bono son: Cuota = P rincipal · Tasa Cupón = 100 · 0,1 = 10

Periodo Cuota (UF) VP Cuota (UF) VP Cuota · t 1 2 3 4

10 10 10 110

Total

9,26 8,57 7,94 80,85

9,26 17,15 23,81 323,41

106,62

373,63

Precio Bono = 106, 62 U F. 373, 63 Duración = = 3,5 Años 106, 62 Seguiremos analizando el bono Frances. Las cuotas de este bono son: "

#

Cuota 1 P rincipal = 1− kd (1 + kd )N # " Cuota 1 100 = 1− 0,1 (1 + 0,1)4 Cuota = 31,55

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Periodo Cuota (UF) VP Cuota (UF) VP Cuota · t 1 2 3 4

31,55 31,55 31,55 31,55

Total

29,21 27,05 25,04 23,19

29,21 54,09 75,13 92,75

104,49

251,18

Precio Bono = 104, 49 U F. 251, 18 Duración = = 2,4 Años 104, 49 La Mayor duración se da en el bono bullet, esto debido a que su principal este cancela el principal al final del periodo por lo que debe mantenerse la inversión por un tiempo mayor. La duración puede considerarse como el periodo óptimo de la inversión en bonos.

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Precio de Ejercicio Precio de la Opción $ 55 $ 60 $ 68

$ 10 $7 $5

El gerente de finanzas de una empresa de inversiones observa esta situación y comenta: “Yo sugiero que dadas nuestras proyecciones debemos tomar la siguiente estrategia: Comprar una opción call con precio de ejercicio de $55; comprar una opción call con precio de ejercicio de %65 y vender dos opciones call con precio de ejercicio de $60”. Se pide: Muestre gráficamente la situación descrita y la tabla de pagos. Respuesta:

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Cuadro 1: Tabla de Pagos T =0 Operación Compro Call Compra Call Vendo 2 Call

T =1 St < 55 55 < St < 60

60 < St < 65

St > 65

-10 -5 14

0 0 0

(St -55) 0 0

(St -55) 0 -2(St -60)

(St -55) (St -65) -2(St -60)

-1

0

(St -55)

(65-St )

0

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4. Suponga que usted decide comprar una opción Call europea con un precio de ejercicio de $45 y una opción Put europea con un precio de ejercicio de $40, ambas sobre la misma acción. La opción Call tiene un valor de $3, mientras la opción Put un valor de $4, tanto la opción de compra como la de venta tienen la misma fecha de vencimiento. Grafique la estrategia que se empleó y muestre las variaciones de las ganancias o pérdidas cuando cambia el precio del activo subyacente. Respuesta: Paso 1: Graficar cada una de las posiciones que toma la analista.

Paso 2: Construir la tabla de pagos en base a las posiciones graficadas.

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Costo de la estrategia Precio St > 45 St = 45 40 < St < 45 St = 40 St = 40

-7

Largo Call Largo Put St > 45 0 0 0 0

0 0 0 0 40 − St

Beneficio Bruto Beneficio Neto St > 45 0 0 0 40 − St

St − 52 -7 -7 -7 St − 33

Paso 3: Graficar los beneficios de la estrategia en base a la columna beneficio neto.

Es importante enfocarse en cómo cambian los beneficios de la estrategia cuando varía el precio de la acción. En particular, cómo varían si el precio del subyacente es mayor, menor o igual a cada precio strike. Esta estrategia es efectiva cuando el inversionista espera grandes movimientos en el precio de la acción (pero no sabe en qué sentido) al vencimiento de la opción (estrategia cuna). Se puede decir, entonces, que es efectiva cuando un inversionista se enfrenta a una alta volatilidad en el mercado.

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5. Suponga C = 3, S0 = 31, T = 0,25, R = 10 % y X = 30. Si la put para ese plazo cuesta $2,1 determine ganancias de arbitraje y estrategia en caso de existir. Respuesta: Por paridad Put-call tenemos que: C + Xe(−rt) = P + S0 3 + 30e(−0,1·0,25) = 2, 1 + 31 32, 3 6= 33, 1

Dado que no se cumple la paridad existen oportunidades de arbitraje.

T =0

T =1 St > X

Compra Call Invierto Vendo Put Vendo Acción Ganancia

-3 -29.3 2,1 31 0,8

Por ende la ganancia por arbitraje es 0,8.

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St − 30 30 −St 0

St 30

-4,25 -33,75 6 32

0 34,604 St -30 -St

St -30 34,604 0 -St

0

4,604

4,604

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7. Determinar el valor de una opción put europea si el precio actual del subyacente es $100, el precio strike es $110, la tasa anual libre de riesgo es de un 8 %, la volatilidad mensual del subyacente es de un 11 %, el período a vencimiento de la opción es de 6 meses y cada paso del árbol binomial es de 3 meses. Respuesta: En este caso, no están dados los precios futuros que podría tomar la acción, por lo que se deben calcular con u y d. Estos últimos datos tampoco se encuentran, por lo tanto, se puede ocupar una aproximación utilizada por Cox, Ross y Rubinstein, la cual es: √ ∆T

u = eσ·

√ −σ· ∆T

d=e

√ 3 meses

= e11 % mensual·

= 1, 21

√ -11 % mensual· 3 meses

=e

= 0, 827

Tomar u y d como dato, no entra de la forma de Cox, Ross y Rubinstein. Es importante tener en cuenta que: u = (1 + % en que aumentará el precio del subyacente) d = (1 − % en que va a disminuir el precio del subyacente) De la misma manera, tampoco se sabe cuál es la probabilidad de que el precio de la acción aumente de un período a otro, por lo tanto, se debe calcular mediante la siguiente fórmula: er·T − d e8 % anual·0,25 años − 0, 827 = 0, 504 P = = 1, 21 − 0, 827 u−d En base a esto, armamos el siguiente árbol binomial:

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Para obtener el valor de la put en cada nodo se ocupa la siguiente fórmula: Valor put en cada nodo = e−r·T ·[Prob. De que el precio aumente · Valor de la put si el precio aumenta] + [(1 – Prob. De que el precio aumente) · Valor de la put si el precio disminuye]

Valor put nodo 1 = e-8 % anual·0,25 años · {[0, 504 · 0] + [(1 − 0, 504) · 10]} = 4, 862 Valor put nodo 2 = e-8 % anual·0,25 años · {[0, 504 · 10] + [0, 496 · 41, 686]} = 25, 207 Valor put nodo 0 = e-8 % anual·0,25 años · {[0, 504 · 4, 862] + [0, 496 · 25, 207]} = 14, 657

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8. Una acción se transa actualmente a $40. En un horizonte de 6 meses, el precio podría ser igual a $32 o $48 (con probabilidad de 0,5 para cada caso). Luego, independiente del valor que haya tomado, el precio podría aumentar un 20 % o disminuir un 10 % en los siguientes 6 meses. Sin embargo, si en un principio el precio de la acción aumentó a $48, la probabilidad de que vuelva a aumentar es de un 30 %. La tasa de interés es del 5 % anual. ¿Cuál es el valor hoy de la opción de compra americana a $38 a un año? Respuesta: Tenemos el siguiente árbol binomial:

En cada caso, el valor de la call americana será el mayor valor entre: a) Precio actual de la acción en cada momento – Precio strike. b) VP del valor esperado de la opción, suponiendo que se espera un período más. - Nodo 1: VP del valor esperado de la call = e−5 %·0,5 · [0, 3 · 19, 6 + (1 − 0, 3) · 5, 2] = 9, 285 Valor call americana = Max[9, 285; Max(48 − 38; 0)] = 10 - Nodo 2: En este caso, no contamos con la probabilidad de que el precio aumente, por lo tanto, se puede estimar de la siguiente manera: P =

e5 %·0,5 − 0, 9 er·T − d = = 41, 772 % 1, 2 − 0, 9 u−d

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VP del valor esperado de la call = e−5 %·0,5 · [41, 772 % · 0, 4 + (1 − 41, 772 %) · 0] = 0, 163 Valor call americana = Max[0, 163; Max(32 − 38; 0)] = 0, 163 - Nodo 0: Valor call americana = e−5 %·0,5 · [0, 5 · 10 + 0, 5 · 0, 163] = 4, 956

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9. Considere una opción put europea con un precio de ejercicio de US$ 43 y que vence en seis meses. Suponga que el valor actual del subyacente es US$ 40, su volatilidad es de 25 % al año y que la tasa libre de riesgo es de un 6 % anual. Suponga que la evolución de la acción en los próximos meses se puede representar mediante un árbol binomial con dos pasos.

Se le pide determinar el valor de la put de las siguientes formas: a) Utilizando el enfoque de Portafolio Libre de Riesgo (Argumentos de No Arbitraje). Respuesta: Al final de los 6 meses, el valor de la opción será de $0 (si el precio accionario asciende a $50) o $13 (si el precio accionario desciende a $30). Considere un portafolio compuesto por: +∆ : Acciones +1 : OpciónP ut Por lo que el valor del portafolio será 50∆ + 0 o 30∆ + 13 en 6 meses más. Para que no exista arbitraje debe cumplirse lo siguiente: 50∆ + 0 = 30∆ + 13 20∆ = 13 13 ∆= = 0,65 20 Dado ∆, se ouyede decir que el pago al final de 6 meses será igual a: 50 · 0, 65 + 0 = 30 · 0, 65 + 13 = 32, 5

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Para este valor de ∆, se cumple que el portafolio es libre de riesgo, por lo que el valor presente de dicho portafolio es igual a: 32, 5 · e−0,06·0,5 = 31, 5395 Finalmente, ahora podemos calcular el valor de la opción Put mediante la siguiente fórmula 40 · 0, 65 + f = 31, 5395 26 + f = 31, 525 f = 31, 5395 − 26 = 5, 5395 b) Utilizando el enfoque de Valorización Neutral al Riesgo Respuesta: Primero hay que calcular la probabilidad p que señalará la probabilidad de aumento de precio p=

erf ·T − d e0,06·0,5 − 0, 75 1, 03 − 0, 75 0, 28 = 0, 5609 = = = 0, 5 1, 25 − 0, 75 1, 25 − 0, 75 u−d

Entonces, ahora podemos calcuar el valor esperado descontado de la opción en un mundo neutral al riesgo de la siguiente forma: f = [p · fu + (1 − p) · fd ]e−rf ·T f = [0, 56 · 0 + (1 − 0, 0, 5609) · 13]e−0,06·0,5609 f = [0, 44 · 13]0, 97 f = 5, 5395 c) Utilizando el enfoque de Cartera de Réplica Respuesta: Al final de los 6 meses, el valor de la opción será de $0 (si el precio accionario asciende a $50) o $13 (si el precio accionario desciende a $30). Ahora consideraremos un portafolio de réplica, que llegue a los mismos pagos finales de la put, compuesto por acciones y un Depósito o préstamo (dependiendo del signo): ∆ : Acciones B : Depósito o Préstamo Por lo que tenemos las siguientes igualdades: 50∆ + B = 0 30∆ + B = 13

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Por lo que al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: ∆ = −0,65 y B = 32,5. Ahora obtenemos el costo de esta cartera, el que debe coincidir con el precio de la Put: f = 40∆ + B · e−rf ·T f = 40 · −0,65 + 32,5 · e−0,06·0,5 f = 5, 5395

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10. El precio actual de una acción es $39. El precio de una opción put a un año sobre la misma acción, con un precio de ejercicio de $28, se cotiza en (tiene una prima de) $2,5. El precio de una opción call a un año sobre la acción, con un precio de ejercicio de $46, se cotiza en (tiene una prima de) $3,5. Suponga que un inversionista compra 100 acciones, vende 100 opciones call, y compra 100 opciones put. a) Dibuje un diagrama que ilustre cómo varía la utilidad o la pérdida del inversionista con el precio de la acción durante el año siguiente, así como la tabla de pagos correspondiente y el gráfico de utilidad y precio del activo subyacente. Respuesta: Primero realizaremos la tabla de pagos de la estrategia: T=0 Estrategia Comprar 100 Acciones -3900 Vender 100 Call 350 Comprar 100 Puts -250 Total Neto

-3800 -

T=1 St...