Examen 2017, preguntas y respuestas PDF

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ECONOMETRIA I PRIMERA PRUEBA SOLEMNE - Octubre 2017 Profesores: Andrés Elberg, María Elisa Farías, Víctor Macías, Joaquín Alfredo Pérez Puntaje: 100 puntos Tiempo: 90 minutos I. Preguntas Conceptuales (20 puntos). Comente las siguientes afirmaciones con verdadero, falso o incierto según corresponda....

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ECONOMETRIA I PRIMERA PRUEBA SOLEMNE - Octubre 2017 Profesores: Andrés Elberg, María Elisa Farías, Víctor Macías, Joaquín Alfredo Pérez Puntaje: 100 puntos Tiempo: 90 minutos I.

Preguntas Conceptuales (20 puntos). Comente las siguientes afirmaciones con verdadero, falso o incierto según corresponda. Justifique sus respuestas.

1. El principio de ortogonalidad de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) implica que, si X2 es un vector columna de la matriz X (con X = [X1 X2 …Xk]), el vector de residuos: e = Y – ฀฀� , debe ser perpendicular a X2, pero no necesariamente a los demás vectores de X. 10 puntos. Falso. El principio de ortogonalidad de los estimadores de MCO, establece que, si Y es una variable dependiente, y X es un conjunto de variables explicativas, tal que: Y = Xβ + u

Con X = [X1 X2 …Xk], el vector de residuos e = Y – ฀฀� , debe cumplir con e’X = 0. Esto significa que e debe ser perpendicular a cada uno de los vectores de la matriz X. 2. Según el teorema de Gauss-Markov, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es el mejor estimador, ya que es consistente y eficiente. 10 puntos. Falso. El teorema de Gauss-Markov plantea que el estimador de MCO es el mejor estimador entre la clase de estimadores lineales e insesgados, ya que, además de cumplir con estos dos atributos, su varianza es mínima. Por lo tanto, el estimador es lineal, insesgado y eficiente. II.

Matemáticos (80 puntos). Elija dos de los 3 problemas planteados a continuación:

1. En un estudio sobre participación laboral urbana en familias de bajos ingresos para Estados Unidos, se utiliza la siguiente regresión para explicar el comportamiento de la población: Y = β1 + β2X2 + β3X3 + u En que, Y representa la participación laboral promedio del jefe de familia, X2 es el ingreso familiar mensual y X3 es el tamaño de la familia. A partir de una muestra de 15 observaciones del Censo de Población de Estados Unidos de 1970, se obtuvieron los siguientes valores: 1,04

-0,11

(x’x)-1 = -0,11

0,18

21,77 x’y = 1

84,46

� = 63,65 Σy2 = 5.130; ฀฀�2 = 1,74; ฀฀�3 = 3,86; ฀฀

Note que, en los datos muestrales, Y esta expresado en porcentaje de participación promedio del estado en relación con la fuerza de trabajo, X2 es el ingreso mensual en miles de dólares y X3 es el número de integrantes de cada familia. Las variables en minúscula significan que están expresadas �. en desvíos con respecto a la media, es decir: x = X - ฀฀� ; y = Y - ฀฀ a. Escriba el modelo en forma matricial y estime los parámetros de la regresión. ¿Son concordantes los valores obtenidos con lo esperado? ¿Como afectan el ingreso y el tamaño de la familia en la participación laboral? 15 puntos Desarrollo: El modelo en forma matricial: Y = Xβ + U En que X = [ X1 X2 X3], X1 = [1 1….1]’, y β = [ β1 β2 β3]’. Expresado en desvios con respecto a la media el modelo queda:

y = xβ + u Con x = [ x2 x3], β = [ β2 β3]’. El estimador de MCO:

฀฀󰆹 = (x’x)-1x’y

Reemplazando los datos de la matriz (x’x)-1 y del vector x’y, se obtiene: ฀฀󰆹 = [ ฀฀󰆹2 ฀฀󰆹 3]’ = [13,35 12,808]’

Para obtener la constante, se utiliza:

฀฀󰆹1 = 63,65 – 13,35(1,74) – 12,81(3,86) = - 9,019

En el caso de la constante, que corresponde a la participación promedio de las familias, se esperaría que el valor fuese positivo. Con respecto a β2, el signo es ambiguo, ya que, si X2 es ingreso familiar laboral del jefe de familia, se esperaría una relación positiva entre esta variable y participación laboral. Pero si X2 incluye ingresos de otros miembros de la familia o de subsidios estatales, la relación podría ser negativa. El signo de β3 corresponde a lo esperado, ya que la participación laboral del jefe de familia debería estar directamente relacionada con el número de integrantes de la familia. De los resultados se puede inferir que, si el ingreso familiar aumenta en 100%, la participación laboral aumenta en 13%. Por otra parte, si el número de integrantes aumenta (cae) en 100%, la participación aumenta (cae) en 12,8%. b. Obtenga la bondad del ajuste (R2 simple y ajustado) y pruebe la significancia estadística del modelo en su conjunto. 15 puntos 2

Desarrollo: La bondad del ajuste: •

R2 = SCE/SCT = 1.372,4/5.130 = 27%

SCE = [13,35 12,808]’x’y = 1.372,4 SCT =5.130 •

R2 ajustado = 1 – ( 1- R2)(n-1)/(n-k) = 1 – 0,73(14/12) = 15%

La significancia estadística del modelo en su conjunto: H0: β2 = β3 = 0 vs H1: Existe algún β i ≠ 0 La prueba F: F = [0,27/2]/[0,73/12] = 0,14/0,061 = 2,295 F(2, 12) al 5% = 4,75

Como 2,295 < 4,75, no se rechaza H0, por lo tanto el modelo no es significativo en su conjunto. c. Si tuviera que probar la siguiente hipótesis usando el enfoque matricial, H0: β2 = 8,5 vs H1: β2 ≠ 8,5 ¿Qué tipo de estadístico usaría? 10 puntos

Desarrollo: Alternativa 1) Reformulando la hipótesis en el lenguaje matricial se tiene: H0: Rβ = r Con: R = [1 0], β = [β2 β3]’ y r = 8,5 Rβ = [1 0]β = β2 La prueba F: F = [(Rβ - r)’[R(x’x)-1R’]-1(Rβ – r)/q ]/(e’e/n-k)

3

(Rβ - r) = 13,35 – 8,5 = 4,85 [R(x’x)-1R’] = 1,04 q=1 F =[(4,85)2/1,04 ]/(e’e/n-k) = 22,62/313 = 0,0723 < 4,75

SCR = e’e = SCT – SCE = 5.130 – 1.372 = 3.758 SCR/n-k = 3.758/12 = 313 Alternativa 2: Utilizar una prueba t

2. Un pequeño negocio contrata a un consultor para predecir las ventas semanales en función de su gasto en publicidad. El consultor usa datos de los últimos 6 meses correspondientes a ventas semanales y gastos en publicidad para estimar un modelo de regresión lineal. El dueño del negocio está interesado en predecir las ventas semanales si el gasto en publicidad aumenta a $750 por semana, considerando que el gasto promedio semanal en publicidad ha sido $500 y las ventas promedio semanales han sido $10.000 durante los últimos 6 meses. Después de estimar el siguiente modelo: ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀0 + ฀฀1 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ + ฀฀

(1)

el consultor predice un nivel de ventas semanales de $12.000 si el gasto en publicidad es $750. a. Determine los valores estimados de ฀฀0 y ฀฀1 usados para realizar esta predicción e interprete el valor estimado de ฀฀1 . 15 puntos. Solución:

����������������������� = 500 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ���������� = 10000 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

����������������������� => ฀฀ �฀฀0= ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ �฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ � 0+ 500฀฀�1 = 10000 (1) ���������� − ฀฀ 1 � 0+ 750฀฀1� (2) 12000 = ฀฀

� 0= 6000, Resolviendo el sistema de ecuaciones compuesto por (1) y (2), se obtiene: ฀฀ �฀฀1= 8 (si el gasto en publicidad aumenta en $1 las ventas aumentarán en $8) b. Después de estimar el modelo, el consultor se dio cuenta que se olvidó de incluir el gasto semanal en publicidad radial en el cálculo del gasto total en publicidad. Determine matemáticamente el efecto sobre los valores estimados de ฀฀0 y ฀฀1 , considerando que el gasto semanal en publicidad radial es $100. 15 puntos.

4

Solución:

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ∗ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ + 100 ∗ ������������������������ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ����������������������� + 100 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

Por lo tanto, ∗-฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ∗ ������������������������ ����������������������� = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ − ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ∗ � = � ฀฀ 1 ฀฀1 = 8 (estimación de la pendiente no cambia)

฀฀�0 ∗= 10000 − 8 × 600 = 5200 (estimación de intercepto se reduce de 6000 a 5200) c. Si en lugar de estimar la ecuación (1), el consultor agrega el gasto en publicidad al cuadrado y estima el siguiente modelo:

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀0 + ฀฀1 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ + ฀฀2 (฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀)2 + ฀฀ (2)

Considerando que el ฀฀ 2 del modelo (1) es 0,7 y el ฀฀ 2 del modelo (2) es 0,78, usted prefiere el segundo modelo al primero. Comente. 10 puntos. Solución: No necesariamente, ya que el modelo (1) contiene un parámetro menos que el modelo (2). Dado que la variable dependiente es la misma en ambos modelos, se puede usar el R2 ajustado para comparar ambos modelos, ya que impone una sanción a la inclusión de más variables independientes. Si el R2 ajustado del modelo (2) es mayor, se prefiere este modelo al (1).

3. Considere el modelo ฀ ฀ = ฀฀0 + ฀฀1 ฀฀1 + ฀฀2 ฀฀2 + ฀฀. Los valores de los parámetros estimados usando MCO son: � β₀ 0,96587 �� = � 0,69914� � β₁ 1,7769 � β₂

σ�2 = 2,5193

฀฀ 2 = 0,9466

฀ ฀ = 20

y la matriz de varianzas y covarianzas estimada es:

0,21812 0,019195 −0.050301 � ) = � 0,019195 ฀฀฀฀฀฀(β 0,048526 −0,031223� −0.050301 −0,031223 0,037120 a. Construya un intervalo de confianza al 95% para ฀฀2 . 15 puntos. Solución:

฀฀0.975,17 = 2,11 (฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀)

El intervalo de confianza para ฀฀2 es1,7769 ± 2,11√0,037120 = 1,7769 ± 0,406524 Y el intervalo es [1,3704; 2,1834]

5

b. Testee la siguiente hipótesis al 5% de significancia:

12,5 puntos. Solución:

฀฀0 : ฀฀1 ≤ 1 ฀฀1 : ฀฀1 > 1

0,69914 − 1 = −1,366 ฀฀= √0,048526

฀฀0,05,17 = 1,74 (฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀)

Dado que −1,366 < 1,74 , no se rechaza ฀฀0

c. Testee la siguiente hipótesis al 5% de significancia:

฀฀0 : ฀฀2 = 2฀฀1 ฀฀1 : ฀฀2 ≠ 2฀฀1

12,5 puntos. Solución: ฀฀=

1,7769 − 2(0,69914) = 0,6345 0,59675

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀á฀฀฀฀฀฀฀฀ = �0,037120 + 4 × 0,048526 − 4 × (−0,031223) = 0,59675

Dado que 0,6345 < 2,11 (฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, 2 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀), no se rechaza ฀฀0

6...