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Examen tercera convocatoria F´ısica Cu´ antica. Test 24 de Noviembre, 2020 NOMBRE:........................................................................

GRUPO:...

1. (1.5 punto) Un fot´on de 2 eV colisiona por efecto Compton con un electr´on, inicialmente en resposo, desviandose un ´angulo θ de su direcci´on de incidencia. a) ¿Cu´al es la longitud de onda del fot´on incidente? b) ¿Cu´al es el m´aximo momento con el que puede salir el electr´on? c) ¿Existe alg´un ´angulo a partir del cu´al el fot´on deje de tener una longitud de onda dentro del espectro visible? Nota: Considere que el espectro visible abarca longitudes de onda entre los 380 nm y los 750 nm. ∆λ =

h (1 − cos θ ) mc

2. (2.5 puntos) Considere una part´ıcula de masa m confinada en un pozo cuadrado infinito con paredes en −L y +L. Se prepara el sistema en una funci´on de onda como la dibujada en la figura. a) Escriba la funci´on de onda normalizada. 2L

b) Calcule la indeterminaci´on en la posici´on, ∆x, en ese estado.

x −L

0

+L

c) Si se mide la energ´ıa sobre ese estado, calcule la probabilidad  ¯ h2  π 2 . de obtener E1 = 2m 2L

d ) Igual que en el punto anterior pero para E2 =

¯ h2 2m

 π 2 L

.

3. (3.0 puntos) Suponga que en el instante t = 0 el electr´on del i´on He+ se encuentra en el estado descrito por la funci´on de onda normalizada: i 1 h√ Φ(~r, 0) = √ 2 ϕ100(~r) − i ϕ210 (~r) , 3

donde ϕnℓm(~r) son las autofunciones normalizadas del ´atomo hidrogenoide asociadas a los autovalores En = −13,6Z 2 /n2 (eV). a) Calcule el valor esperado de la energ´ıa en ese estado. b) Se miden simult´aneamente la energ´ıa, el cuadrado del momento angular orbital (ℓ2 ) y su proyecci´on sobre el eje z (ℓz ). Diga qu´e valores se podr´an obtener para cada una de esas magnitudes y d´e sus correspondientes probabilidades. ¿Es Φ(~r , 0) autofunci´on de alguno de estos operadores? c) Escriba la expresi´on de la funci´on de onda Φ(~r, t) con su dependencia temporal en cualquier instante posterior t. d ) Si se mide la energ´ıa y se obtiene −13,6 eV, calcule inmediatamente despu´es de esa medida el valor esperado de 1/r2 siendo r la distancia electr´on-n´ ucleo.

. ´ ¯hc = 197,3 MeV fm; J(x, t) = DATOS UTILES: MeV; e = 1,602 × 10−19 C. Z ∞

dr r k e−αr =

0

Z

Z

R31(r) =



Z 3a0

3 2

3 2

Re



1 ∗ ∂ Ψ) i Ψ ( ∂x



; c = 2,998 108 m/s; me c2 = 0,5110

k! , para k entero y α > 0 αk+1

dx sen2 (αx) =

x sen (2αx) − 2 4α

Z

dx x sen (αx) =

sen (αx) x cos(αx) − α α2

Z

dx x cos (αx) =

cos (αx) xsen(αx) + α2 α

dx x2 sen (αx) =

Z R10(r) = 2 a0 

h ¯ m

2x sen (αx) (α2 x2 − 2) cos(αx) − α3 α2

− Zr a

e

;

0

√   Zr 4 2 Zr − Zr 1− e 3a0 6a0 9 a0

R21(r) =

;

R32(r) =





Z 2a0

Z 3a0

3 2

3/2

Zr Zr − 2a 0 √ e 3a0

√   Zr 2 2 Zr 2 − 3a √ e 0 27 5 a0

Las matrices de Pauli son: σ ˆx =

0 1 1 0 q

!

; σ ˆy =

0 −i i 0

!

; σ ˆz =

j± |j, mi = ¯h j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1i

;

1 0 0 −1

!

.

j± = jx ± ijy...