Examen T2 - Calculo 1 - 2022-0 PDF

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TTAREAI. DATOS INFORMATIVOS:Título : Gráfica de una función real, criterio de la primera ysegunda derivadaTipo de participación : Grupal – 4 integrantesPlazo de entrega : Séptima semana de clase (semana 4)Medio de presentación : Aula virtual / menú principal / TCalificación : 0 a 20 – 15 % del prome...

Description

CÁLCULO 1

T2 TAREA I.

DATOS INFORMATIVOS: Título Tipo de participación Plazo de entrega Medio de presentación Calificación

II.

: Gráfica de una función real, criterio de la primera y segunda derivada : Grupal – 4 integrantes : Séptima semana de clase (semana 4) : Aula virtual / menú principal / T2 : 0 a 20 – 15 % del promedio final

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE: Se desarrolla un trabajo práctico donde se resuelven ejercicios relacionados a la gráfica de funciones reales de variable real, aplicando el criterio de la primera y segunda derivada.

III.

INDICACIONES Para esta actividad se debe considerar: 1. El contenido de los módulos 4, 5 y 6 revisados en la unidad. 2. El desarrollo de los problemas se deben mostrar de forma ordenada, teniendo en cuenta el procedimiento que requiere el problema de acuerdo a la rúbrica estipulada, e indicando el resultado solicitado. 3. Condiciones para el envío: • El documento debe ser presentado en formato WORD, PDF, JPG (.doc). • Graba el archivo con el siguiente formato: T2_(nombre del curso)_Apellidos y nombres completos Ejemplo: T2_Matemática básica _MMM 4. Extensión del trabajo: La extensión mínima será de 2 páginas (caras) y la máxima de 10 páginas (caras). 5. Asegúrese de enviar el archivo correcto y cumplir con las condiciones de envío, de lo contrario, no habrá opción a reclamos posteriores. NOTA: Si el/la estudiante comete cualquier tipo de plagio su puntuación automática será cero (0).

pág. 1

CÁLCULO 1

IV.

RÚBRICA DE EVALUACIÓN La asignación del puntaje máximo a cada criterio es aplicable si este se cumple a nivel satisfactorio. El docente del curso determina el puntaje de cada ítem de acuerdo a su juicio de experto.

PREGUNTA 01 (4 puntos) INDICADORES Calcula los puntos críticos. (1.5 puntos)

Determina los intervalos de crecimiento. (1.5 puntos)

Identifica los extremos relativos. (1 punto)

SATISFACTORIO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos de forma precisa en un 100%. (1.5 puntos) Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente. (1.5 puntos) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada de forma correcta. (1 punto)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO

EN INICIO

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos del 75%. (0.5 a 1 punto)

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos de 10%. (0 puntos)

Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente en menos del 75 %. (0.5 a 1 punto) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada de forma correcta en menos del 75 %. (0.5 puntos)

Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente en un 10 %. (0 puntos) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada correctamente en menos del 10 % (0 puntos)

PREGUNTA 02 (4 puntos) INDICADORES Calcula los puntos críticos. (2 puntos)

Identifica los extremos relativos. (2 puntos)

SATISFACTORIO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos de forma precisa en un 100 %. (2 puntos) Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada de forma precisa en un 100 %. (2 puntos)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO

EN INICIO

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos, en menos del 75 %. (1 punto)

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos de 10 %. (0 puntos)

Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada correctamente en menos del 75%. (1 punto)

Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada correctamente en menos del 10 % (0 puntos)

PREGUNTA 03 (3 puntos) INDICADORES

SATISFACTORIO

Calcula los intervalos de concavidad.

Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad correctamente (1.5 puntos)

Calcula los puntos de inflexión.

Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión correctamente. (1.5 puntos)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad correctamente en menos del 75%. (0.5 a 1 punto) Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión en menos del 75 %. (0.5 a 1 punto)

EN INICIO Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad con un acierto de menos del 10%. (0 puntos) Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión, con un acierto de menos del 10%. (0 puntos)

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CÁLCULO 1

PREGUNTA 04 (5 puntos) INDICADORES Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas. Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión. Realiza el bosquejo de la gráfica.

SATISFACTORIO

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO

EN INICIO

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas de forma correcta. (2 puntos)

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas con un acierto de menos del 75 %. ( 1 punto)

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas con un acierto de menos del 10%. (0 puntos)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión de forma correcta. (2 puntos)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión con un acierto de menos del 75 %. (1 punto)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos de forma correcta. (1 punto)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos con un acierto de menos del 75 %. (0.5 puntos)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

PREGUNTA 05 (4 puntos) INDICADORES

SATISFACTORIO

Calcula los puntos críticos y los extremos relativos.

Calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en un 100 %. (3 puntos)

Interpreta el resultado obtenido.

Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta. (1 punto)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO Calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en menos del 75 %. (1 a 2 punto) Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta con un acierto de menos del 75 %. (0.5 puntos)

EN INICIO Calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en menos del 10 %. (0 puntos) Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta, con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

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CÁLCULO 1

V.

TRABAJO PRÁCTICO TRABAJO PRÁCTICO – T2 CÁLCULO 1 1. Determine los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥(25 − 𝑥 2 )1/2 utilizando el criterio de la primera derivada.

Solución:

𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥 (25 − 𝑥 2 )1/2

1 −1 1 𝑓′(𝑥) = (25 − 𝑥 2 )2 + 𝑥 (25 − 𝑥 2 ) 2 (−2𝑥) 2

𝑓′(𝑥) =

Puntos criticos: 𝑓′(𝑥) = 0 𝑣 𝑓′(𝑥) ∄ 𝑓′(𝑥) =

25 − 2𝑥 2

√25 − 𝑥 2

25 − 2𝑥 2

√25 − 𝑥 2

= 0 𝑣 𝑓′(𝑥) =

25 − 2𝑥 2 = 0 𝑣 𝑥=±

25 − 2𝑥 2

√25 − 𝑥 2

25 − 𝑥 2 = 0

5√2 𝑣 2

∄

𝑥 = ±5

𝑥 = ±3.536 𝑣

𝑥 = ±5 1

𝑥 = 3.536 → 𝑓(3.536) = 5 + (3.536)(25 − (3.536)2 )2 = 17.5 → (3.536; 17.5) 1

𝑥 = −3.536 → 𝑓(−3.536) = 5 + (−3.536)(25 − (−3.536)2 )2 = −7.5 → (−3.536; −7.5) 1

𝑥 = 5 → 𝑓(5) = 5 + (5)(25 − (5)2 )2 = 5 → (5; 5) 1

𝑥 = −5 → 𝑓(−5) = 5 + (−5)(25 − (−5)2 )2 = 5 → (−5; 5)

Valor de prueba 𝑥=4 𝑥=0

Reemplazo en la 𝑓’ 𝑓′(4) =

Monotonía 25 − 2(4)2

√25 − (4)2

𝑓′(0) =

=

25 − 2(0)2

√25 − (0)2

−7 3

=5

Decrece: 〈3.536; 5〉 Crece: 〈−3.536; 3.536〉

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CÁLCULO 1 𝑥 = −4

𝑓′(−4) =

25 − 2(−4)2

√25 − (−4)2

=

−7 3

Decrece: 〈−5; −3.536〉

EXTREMOS RELATIVOS:

Máximo relativo: (3.536; 17.5)

Mínimo relativo: (−3.536; −7.5)

2. Determine los extremos relativos, utilizando el criterio de la segunda derivada. 4

7 3 x 2 f ( x ) = −2 x + x + 3 2 Solución:

Calculamos la primera derivada: f ' ( x ) = −4 x + 7 x2 + 2 x3 Hallamos los puntos críticos:

f ' ( x ) = −4 x + 7 x2 + 2 x3 = 0 x (− 4 + 7x + 2x 2 ) = 0 x ( 2 x −1)( x + 4) = 0 x = 0, x =

1 , x = −4 2

Calculamos la segunda derivada: f '' ( x) = −4 +14 x + 6 x2

Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada: f '' ( 0 ) = −4 + 14(0) + 6(0) 2 = −4  0;luego en x=0 hay un máximo relativo, 7 3 ( 0) =0 ( 0) + 3 2 1 1 1 9 1 f ''   = −4 + 14( ) + 6( ) 2 =  0; luego en x= hay un mínimo relativo, 2 2 2 2 2   4

cuyo valor es: f (0) = −2( 0) + 2

−17 1  1  7  1  (0.5 ) cuyo valor es: f ( ) = −2   +   + = 2 2 3 2 2 96     2 f '' ( −4 ) = −4 + 14(−4) + 6(−4) = 36  0;luego en x=-4 hay un mínimo absoluto, 2

3

4

( −4 ) −160 7 = ( −4 )3 + 3 2 3 4

cuyo valor es: f ( −4) = −2 ( −4 ) + 2

pág. 5

CÁLCULO 1

3. Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

f ( x) =

6 5 x + 3x 4 − 16x3 − 72x2 + 8 5

Solución: Calculamos la segunda derivada de la función

f ' ( x) = 6 x4 + 12 x3 − 48x2 − 144x f '' ( x) = 24 x3 + 36 x 2 − 96x − 144 Igualamos la segunda derivada a cero, para calcular los posibles puntos de inflexión:

f '' ( x ) = 0 24x 3 + 36x 2 − 96x − 144= 0 2x3 + 3x 2 − 8x − 12 = 0 Aplicando Ruffini:

6 𝑓(2) = (2)5 + 3(2)4 − 16(2)3 − 72(2)2 + 8 = −321.6 5 6 𝑓(−2) = (−2)5 + 3(−2)4 − 16(−2)3 − 72(−2)2 + 8 5 = −142.4

𝑥 = 2,

Intervalos Punto

de

prueba

𝑥 = −2,

𝑥 = −3/2

〈−∞; −2〉 𝑥 = −3

6 𝑓(−1.5) = (−1.5)5 + 3(−1.5)4 − 16(−1.5)3 5 − 72(−1.5)2 + 8 = −93.93

〈−2; −3/2〉

〈−3/2; 2〉

𝑥 = −1.8

〈2; ∓∞〉

𝑥=0

𝑥=3

Signo de la

f ''( − 3) = 24( −3)

f '' ( −1.8 ) = 24 ( −1.8 )

f ''( 0) = 24( 0)

segunda

+ 36 (− 3 ) − 96 (− 3 )

+ 36 (− 1.8 ) − 96 (− 1.8 )

+ 36 ( 0 ) − 96 ( 0 )

+36 ( 3 ) − 96 (3 )

− 144 = − 180

− 144 = + 5.5

− 144 = − 144

−144 = +540

Cóncava hacia arriba

Cóncava

Cóncava

derivada Concavidad

3

2

Cóncava

hacia

3

2

abajo

3

2

abajo

hacia

f '' (3 ) = 24 (3 )

3

2

hacia

arriba

Respuesta:

Puntos de inflexión: (2, −321.6); (−2, −142.4); (−1.5, −93.93) Cóncava hacia arriba: 〈−2; −3/2〉 ∪ 〈2; ∓∞〉

Cóncava hacia abajo: 〈−∞; −2〉 ∪ 〈−3/2; 2〉

pág. 6

CÁLCULO 1

𝜋

4. Grafica la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥. En el intervalo − ≤ 𝑥 ≤ 2 inflexión y asíntotas. Solución: 𝑓 ′ (𝑥) = 0

𝜋 2

localiza sus extremos, puntos de

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

𝜋

𝜋

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 2𝑥 = 0 y el único valor de “x”, con 𝑥 ∈ 〈−2 ; 〉

⟹

2

que satisface esta condición es x=0. Así tenemos la siguiente tabla:

𝜋 ; 0〉 2 𝜋 〈0; 〉 2

INTERVALOS

〈−

SIGNO DE 𝑓 ′(𝑥)

Crecimiento

-

Extremos

Decreciente Mín f(0)=0

+

creciente

Como 𝑓 ′′(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥(1 + 𝑥𝑡𝑔𝑥) y considerando que 𝑥 y 𝑡𝑔𝑥 tienen el mismo signo en 𝜋 〈− ; 0〉 𝑦 〈0; 𝜋 〉 2

2

𝜋

Entonces: 𝑓 ′′(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 〈− ; 〉 2 2 𝜋

𝜋

𝜋

Así: “𝑓” es cóncava hacia arriba en 〈− 2 ; 〉 y no existe punto de inflexión. 2

Como: lim 𝑥 𝑡𝑔𝑥 = +∞ , las rectas 𝑥 = 𝑥 𝑡𝑔𝑥 = +∞ y lim 𝜋− 𝜋+ 𝑥→

2

𝑥→2

𝜋 2

y 𝑥=−

𝜋 2

son asíntotas verticales.

Gráfica:

pág. 7

CÁLCULO 1

5.

La sección transversal de una viga de madera cortada de un tronco circular de diámetro “𝑑", mide “𝑥” de ancho y “𝑦” de altura (todas las unidades en metros). Vea la figura adjunta. Se sabe que la resistencia de la viga varía directamente proporcional con el producto del ancho y el cuadrado de la altura. Encuentre las dimensiones de la sección transversal de máxima resistencia.

Solución: Sea

𝑥: ancho de la viga de madera 𝑦: altura de la viga de madera 𝑑: diámetro del tronco circular

Hagamos un gráfico de la sección transversal

d

y

x

pág. 8

CÁLCULO 1

Del gráfico observamos por el teorema de Pitágoras: 𝑑2 = 𝑥 2 + 𝑦 2

⟹

𝑦2 = 𝑑 2 − 𝑥2

Como la resistencia de la viga varía directamente proporcional al producto del ancho y el cuadrado de la altura, entonces 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑦 2 = 𝑥 (𝑑 2 − 𝑥 2 ) 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑑 2 − 𝑥 3

Derivando para obtener los puntos críticos 𝑠′ (𝑥) = 𝑑 2 − 3𝑥2 ⟹ ⟹

𝑑 2 − 3𝑥 2 = 0

𝑥=

𝑑

√3

Hallamos la segunda derivada para maximizar la resistencia 𝑠"(𝑥) = −6𝑥 Luego, en 𝑥 =

⟹ 𝑑 √3

𝑑

𝑆" ( ) = − √3

6𝑑

√3...