Examen T2 Cálculo 1 - UPN PDF

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1TTAREAI. DATOS INFORMATIVOS:Título : Gráfica de una función real, criterio de la primera y segunda derivada Tipo de participación : Grupal – 4 integrantes Plazo de entrega : Tercera semana de clase (semana 3) Medio de presentación : Aula virtual / menú principal / T Calificación : 0 a 20 – 15 % del...

Description

CÁLCULO I

T2 TAREA I.

DATOS INFORMATIVOS: Título Tipo de participación Plazo de entrega Medio de presentación Calificación

II.

: Gráfica de una función real, criterio de la primera y segunda derivada : Grupal – 4 integrantes : Tercera semana de clase (semana 3) : Aula virtual / menú principal / T2 : 0 a 20 – 15 % del promedio final

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE:

Se desarrolla un trabajo práctico donde se resuelven ejercicios relacionados a la gráfica de funciones reales de variable real, aplicando el criterio de la primera y segunda derivada.

III.

INDICACIONES Para esta actividad se debe considerar: 1. El contenido de los módulos 4, 5 y 6 revisados en la unidad. 2. El desarrollo de los problemas se debe mostrar de forma ordenada, teniendo en cuenta el procedimiento que requiere el problema de acuerdo a la rúbrica estipulada, e indicando el resultado solicitado. 3. Condiciones para el envío: • El documento debe ser presentado en formato WORD, PDF, JPG (.doc). • Graba el archivo con el siguiente formato: T2_(nombre del curso)_Apellidos y nombres completos Ejemplo: T2_Cálculo 1 _MMM 4. Extensión del trabajo: La extensión mínima será de 2 páginas (caras) y la máxima de 10 páginas (caras). 5. Asegúrese de enviar el archivo correcto y cumplir con las condiciones de envío, de lo contrario, no habrá opción a reclamos posteriores. NOTA: Si el/la estudiante comete cualquier tipo de plagio su puntuación automática será cero (0).

1 Grupo 20

CÁLCULO I

IV.

RÚBRICA DE EVALUACIÓN La asignación del puntaje máximo a cada criterio es aplicable si este se cumple a nivel satisfactorio. El docente del curso determina el puntaje de cada ítem de acuerdo a su juicio de experto.

PREGUNTA 01 (4 puntos) INDICADORES Calcula los puntos críticos. (1.5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento. (1.5 puntos)

Identifica los extremos relativos. (1 punto)

SATISFACTORIO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos de forma precisa en un 100%. (1.5 puntos) Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente. (1.5 puntos) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada de forma correcta. (1 punto)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos del 75%. (0.5 a 1 punto) Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente en menos del 75 %. (0.5 a 1 punto) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada de forma correcta en menos del 75 %. (0.5 puntos)

EN INICIO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos de 10%. (0 puntos) Escribe los intervalos de crecimiento usando la notación interválica e identificando los extremos de los intervalos de la función correctamente en un 10 %. (0 puntos) Identifica los extremos relativos, determinando los signos de la derivada en la recta real y usando el criterio de la primera derivada correctamente en menos del 10 % (0 puntos)

PREGUNTA 02 (4 puntos) INDICADORES Calcula los puntos críticos. (2 puntos)

Identifica los extremos relativos. (2 puntos)

SATISFACTORIO

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos de forma precisa en un 100 %. (2 puntos) Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada de forma precisa en un 100 %. (2 puntos)

Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos, en menos del 75 %. (1 punto) Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada correctamente en menos del 75%. (1 punto)

EN INICIO Calcula la derivada e identifica los criterios para determinar los puntos críticos en menos de 10 %. (0 puntos) Calcula la segunda derivada e identifica los criterios para determinar los extremos relativos usando el criterio de la segunda derivada correctamente en menos del 10 % (0 puntos)

PREGUNTA 03 (3 puntos) INDICADORES

SATISFACTORIO

Calcula los intervalos de concavidad.

Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad correctamente (1.5 puntos)

Calcula los puntos de inflexión.

Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión correctamente. (1.5 puntos)

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad correctamente en menos del 75%. (0.5 a 1 punto) Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión en menos del 75 %. (0.5 a 1 punto)

EN INICIO Calcula la segunda derivada y los intervalos de concavidad con un acierto de menos del 10%. (0 puntos) Calcula la segunda derivada y los puntos de inflexión, con un acierto de menos del 10%. (0 puntos)

PREGUNTA 04 (5 puntos) 2 Grupo 20

CÁLCULO I INDICADORES Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas. Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión. Realiza el bosquejo de la gráfica.

SATISFACTORIO

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO

EN INICIO

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas de forma correcta. (2 puntos)

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas con un acierto de menos del 75 %. ( 1 punto)

Determina el dominio, intercepto, simetría y asíntotas con un acierto de menos del 10%. (0 puntos)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión de forma correcta. (2 puntos)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión con un acierto de menos del 75 %. (1 punto)

Calcula los intervalos de crecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos de forma correcta. (1 punto)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos con un acierto de menos del 75 %. (0.5 puntos)

Realiza el bosquejo de la gráfica teniendo en cuenta el dominio, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, ubicando los interceptos con los ejes, los extremos relativos con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

PREGUNTA 05 (4 puntos) INDICADORES

SATISFACTORIO

Calcula los puntos críticos y los extremos relativos.

Obtiene el modelo matemático correspondiente, calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en un 100 %. (3 puntos)

Interpreta el resultado obtenido.

Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta. (1 punto)

V.

NIVEL DEL LOGRO EN PROCESO Obtiene el modelo matemático correspondiente, calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en menos del 75 %. (1 a 2 punto) Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta con un acierto de menos del 75 %. (0.5 puntos)

EN INICIO El modelo matemático no es el adecuado,calcula la derivada y determina los puntos críticos, así como los extremos relativos de forma precisa en menos del 10 %. (0 puntos) Interpreta el resultado obtenido y da la respuesta en las unidades de medida de forma correcta, con un acierto de menos del 10 %. (0 puntos)

TRABAJO PRÁCTICO

3 Grupo 20

CÁLCULO I

TRABAJO PRÁCTICO – T2 CÁLCULO 1

1. Determine los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la 2 función f ( x) = 5 + x( 25 − x )

1

2

utilizando el criterio de la primera derivada.

➢ Se evalúa el intervalo para el cual la función es continua. La función f es continua y derivable en el intervalo [-5,5] ➢ Se determina la primera derivada de la función

𝒇(𝒙) = 𝟓 + 𝒙(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

𝟏 𝒙 − 𝒇´(𝒙) = (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 + (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 (−𝟐𝒙) 𝟐

𝒇´(𝒙) = (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 − 𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ) 𝒇´(𝒙) = (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 − 𝒇´(𝒙) =

𝟏 − 𝟐

𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 − 𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

𝒇´(𝒙) =

(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏 − 𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

𝒇´(𝒙) =

𝟐𝟓 − 𝟐𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

➢ Se encuentra los valores de “x” donde f ′ es igual a cero o no existe. 𝒇´(𝒙) = o

𝟐𝟓 − 𝟐𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

Para “x” = 0 (denominador = 0) 4

Grupo 20

CÁLCULO I (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 = 𝟎 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = 𝟎 −𝒙𝟐 = −𝟐𝟓 𝒙𝟐 = 𝟐𝟓

𝒙 = √𝟐𝟓 o

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = −𝟓

Para “y” = 0 𝒇´(𝒙) = 𝟐𝟓−𝟐𝒙𝟐

(𝟐𝟓−𝒙𝟐 )𝟏/𝟐

𝟐𝟓 − 𝟐𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏/𝟐 =𝟎

𝟐𝟓 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎

−𝟐𝒙𝟐 = −𝟐𝟓 𝒙𝟐 =

𝑿𝟏 =

𝟓

𝟐𝟓 𝟐

𝑿=√

√𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝑿𝟐 = −

𝟓

√𝟐

➢ Se ordenen los puntos críticos para determinar los puntos cardinales Punto crítico

f (-5) = 5

Punto critico

f(-5/√2) = -7.5 Mínimo

Punto critico

f(5/ √2) = 17.5

Punto Crítico

f(5)=5

Máximo

La función tiene un mínimo relativo en el punto (-5/√2 = -7.5) y un máximo relativo en el punto (5/√2 = 17.5)

➢ Se determina lo intervalos de crecimiento y decrecimiento.

5 Grupo 20

CÁLCULO I A partir de los puntos críticos se establece un valor de prueba, así se determina el signo fe f´(x) en cada intervalo. Intervalo Valor de prueba Signo f´(x) Tendencia

< −𝟓; − -4

𝟓√𝟐 > 𝟐

𝒇(−𝟒) =-2.33 𝟎 Creciente

<

𝟓√𝟐 ;𝟓 > 𝟐 4

𝒇(𝟒) = −2.330 Mínimo relativo

(𝟎, 𝟎)

f´(0)=-40 Mínimo relativo

Por lo tanto, la función presenta un mínimo relatico en los puntos (-4; -53.333) y (1/2; -0.177) y presenta un máximo relativo en el punto (0,0).

3. Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

f ( x) =

6 5 x + 3x 4 − 16x 3 − 72x 2 + 8 5

➢ Se determina la segunda derivada de la función y puntos de inflexión. 𝑓′(𝑥) = 6𝑥4 + 12𝑥3 − 48𝑥2 − 144𝑥

𝑓′′(𝑥) = 24𝑥3 + 36𝑥2 − 96𝑥 − 144 Grupo 20

Primera derivada Segunda derivada 7

CÁLCULO I

➢ Factorizando e igualando a 0 se obtiene:

12(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑥1 = −2; 𝑥2 = −3/2 ; 𝑥3 = 2

Los posibles puntos de inflexión ocurren en x = -2, x = -3/2 y x = 2 ➢ Se realiza la prueba de concavidad Intervalo Valor de prueba Signo de f´(x) Conclusión





-3

-74

1

3

-180 0 Cóncava hacia arriba

-180 0 Cóncava hacia arriba

Entonces se confirma que x1=-2 ; x2=-3/2 y x=2 se ubican los puntos de inflexión.

➢ Gráfica:

4. Grafica la función f ( x ) = x tan( x ),

−   x  . Localiza sus extremos, 2 2

puntos de inflexión y asíntotas.

8 Grupo 20

CÁLCULO I ➢ Se determina la primera derivada y los puntos críticos 𝒇´(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏(𝒙) − 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒕𝒂𝒏(𝒙) − 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) = 0 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

𝟏

+ 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) = 0

𝒔𝒆𝒏(𝒙) = −𝒙 De donde:

𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

X=0 ➢ Para localizar sus extremos, aplicamos el criterio de la segunda derivada. 𝑓´´(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) + 2𝑥𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)tan (𝑥) 𝑓´´(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)[1 + 𝑥 tan(𝑥)]

Punto

Signo de f´´(x)

Conclusión

(0;0)

f´´(0)=2 >0

Mínimo

Por lo tanto, la función presenta un mínimo absoluto en el punto (0,0)

➢ Se iguala a cero la segunda derivada, para determinar los puntos de inflexión.

2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)[1 + 𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)] = 0

Dentro del intervalo [-π/2; π/2] no existe ningún valor en “x” que haga que f´´(x) sea 0, por ello no existe punto de inflexión en dicho intervalo.

➢ Se determina el valor de las asíntotas

•

Se dice que una función, presenta asíntota vertical cuando el denominador es igual a cero.

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos (𝑥)

9 Grupo 20

CÁLCULO I Es decir, con 𝑥 =

+𝑛𝜋 2

, donde n=1 , 3 , 5 , 7 , …… el denominador es 0 y la función

tiende al ∞, por ello 𝑥1 = −

y 𝑥2 =

𝜋

2

son asíntotas verticales.

Lim

x sen(x)/cos(s)=+∞

Lim

x sen(x)/cos(s)=+∞

𝑥→+𝜋/2 𝑥→-𝜋/2

•

𝜋 2

La función no presenta asíntota horizontal.

➢ Gráfica

−𝜋/2

𝜋/2

La sección transversal de una viga de madera cortada de un tronco circular de diámetro

“𝑑", mide “𝑥” de ancho y “𝑦” de altura (todas las unidades en metros). Vea la figura adjunta.

Se sabe que la resistencia de la viga varía directamente proporcional con el producto del

ancho y el cuadrado de la altura. Encuentre las dimensiones de la sección transversal de máxima resistencia.

10 Grupo 20

CÁLCULO I

➢

Se establece la relación resistencia y las dimensiones mediante una expresión. 𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥𝑦 2 Donde “k” es una constante de proporcionalidad. Las dimensiones de la sección transversal de la viga esta relacionado con el diámetro del tronco circular. Es deci r:

➢

𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑑 2

Se establece la expresión de resistencia en función de “X”. 𝑦2 = 𝑑2 − 𝑥2

𝑅(𝑥) = 𝑘𝑑(𝑑 2 − 𝑥 2 ) ➢

Se determina la primera derivada de “R” en función de “X” y los puntos críticos 𝑅´(𝑥) = 𝑘𝑑(𝑑2 − 3𝑥 2 ) 𝑘𝑑(𝑑 2 − 3𝑥 2 ) = 0

De donde:

➢

𝑥=

√3 3

d

Se determina la segunda derivada, para evaluar los máximos y mínimos. 𝑅´´(𝑥) = −6𝑘𝑥 Este resultado indica que si la constante de proporcionalidad “k” es positiva, para cualquier x=

valor de “x”, R´´(X)...