Exercices 4.3 de sciences économiques PDF

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Plaquette 4.3...

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1. Introduction 2. Le consommateur et la demande 3. Le producteur et l’offre 4. Equilibre sur le marché d’un bien ou équilibre partiel

4.1 Le marché 4.2 Le marché concurrentiel 4.3 Les marchés imparfaits 4.3.1 Monopole

4.3.1.1 Les fonctions de recette

EXERCICE 1 : La fonction de demande inverse est : p(x) = - 6x + 12. Calculer la fonction de demande directe. REPONSE : La fonction de demande inverse est de la forme p = f(x) : p(x) = - 6x + 12 La demande directe est donc de la forme x = f(p) p = - 6x + 12 ó฀ 6x = - p + 12 ó฀ x = - 1/6 p + 2 • La recette totale EXERCICE 2 : La Recette moyenne est RM(x) = - x + 5, quelle est la recette totale ? REPONSE : RT(x) = RM(x) . x = (- x + 5) . x = - x2 + 5 x EXERCICE 3 : La fonction de demande inverse est : p(x) = - 4x + 20 Déterminer la fonction de recette totale.

REPONSE : RT(x) = p(x) . x = (- 4x + 20) . x = - 4x2 + 20 x Remarque : la demande inverse correspond à la recette moyenne. EXERCICE 4 : La fonction de demande directe est : x(p) = - 4p + 20 Déterminer la fonction de recette totale. REPONSE : Calcul de la demande inverse x(p) = - 4p + 20 ó฀ 4p = - x + 20 ó฀ p = - ¼ x + 5 RT(x) = p(x) . x = (- 1/4x + 5) . x = - 1/4x2 + 5 x

• La recette moyenne EXERCICE 5 : La fonction de recette totale est : RT(x) = - 4x2 + 20 x Déterminer la fonction de recette moyenne. REPONSE : RM(x) = RT(x)/x = (- 4x2 + 20 x) / x = - 4x + 20

EXERCICE 6 : La fonction de recette totale est : RT(x) = - x2 + 4 x Déterminer la fonction de recette moyenne. REPONSE : RM(x) = RT(x)/x = (- x2 + 4 x) / x = - x + 4

• La recette marginale EXERCICE 7 : La fonction de recette totale est : RT(x) = - 4x2 + 20 x Déterminer la fonction de recette marginale. REPONSE : Rm(x) = dRT(x)/dx = RT(x)’ = (- 4x2 + 20 x)’ = (- 4x2)’ + (20 x)’ = - 8x + 20 EXERCICE 8 : La fonction de recette totale est : RT(x) = - x2 + 4 x Déterminer la fonction de recette marginale. REPONSE : Rm(x) = dRT(x)/dx = RT(x)’ = (- x2 + 4 x)’ = (- x2)’ + (4 x)’ = - 2 x + 4

4.3.1.2

Le calcul du monopoleur

EXERCICE 9 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 4 x La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 8 – x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : RM(x) = 8 – x donc RT(x) = x . RM(x) = 8x – x2 et donc Rm = 8 - 2x CT(x) = 4 x donc Cm = CT’(x) = 4 Le profit est maximal quand Rm = Cm 8 - 2x = 4 8 = 2x + 4 8–4= 4 = 2x x = 4/2 = 2 p = RM(2) = 8 – 2 = 6 Le profit est donc : 8x – x2 - 4 x = 16 – 4 – 8 = 4 EXERCICE 10 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = (x - 5)2 + 30 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 20 – 2 x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : CT(x) = x2 -10x + 25 + 30 = x2 - 10x + 55 CM(x) = CT(x) / x = x - 10 + 55/x Cm(x) = 2x -10 RT = x RM(x) = 20x - 2x2 RM(x) = 20 – 2 x = p(x) Rm = 20 - 4x Rm = Cm ó฀ 20 - 4x = 2x -10 ó฀ 6x = 30 ó฀ x = 5 p(5) = RM(5) = 20 – 10 = 10 π = px – CT(5) = 50 – 25 + 50 – 55 = 20

EXERCICE 11 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 2 x2 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 6 – 3x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : RM(x) = 6 – 3x RT(x) = x RM(x) = x (6 – 3x) = 6x – 3x2 Rm(x) = RT’(x) = (6x – 3x2)’ = (6x)’ – (3x2)’ = 6 – 6x = 6 (1 - x) CT(x) = 2 x2 CM(x) = CT(x) / x = 2 x Cm(x) = CT’(x) = 4 x Maximisons le profit π(x) = RT(x) – CT(x) Max π(x) ó฀ π’(x) = 0 et π’’(x) < 0 π’(x) = 0 ó฀ (RT(x) – CT(x))’ = 0 ó฀ RT’ = CT’ ó฀ Rm(x) = Cm(x) 6 – 6x = 4x 6 = 4x + 6x = 10 x x* = 0,6 p* = RM(x) = RM(0,6) = 6 – 3 (0,6) = 4,2 π(x) = RT(x) – CT(x) = π(0,6) = RT(0,6) – CT(0,6) = 6(0,6) – 3(0,6)2 - 2 (0,6)2 = 6(0,6) – (0,6)2 EXERCICE 12 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 4 x2 + 8 La fonction de demande est : p(x) = 2 – x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : Recette totale RT(x) = p(x) . x = (2 - x) . x = 2x – x2 RM(x) = RT(x) / x = p(x) = 2 – x Rm(x) = RT’(x) = (2x – x2)’ = (2x)’ – (x2)’ = 2 – 2x CT(x) = 4 x2 + 8 CM(x) = CT(x) / x = (4 x2 + 8) / x = 4 x + 8/x Cm(x) = CT’(x) = (4 x2 + 8)’ = (4 x2)’ + (8)’ = 8x Maximisation du profit π(x) = RT(x) – CT(x) = (2x – x2) – (4 x2 + 8) = 2x – x2 – 4 x2 - 8 π(x) = - 5 x2 + 2x – 8 Max π(x) ó฀ π’(x) = 0 (Rm = Cm ) et π’’(x) < 0 π’(x) = (- 5 x2 + 2x – 8)’= (- 5 x2 )’ + (2x)’ – (8)’ = -10x + 2 π’’(x) = (-10x + 2)’ = - 10 < 0 π’(x) = - 10 x + 2 = 0 ó฀ 10 x = 2 ó฀ x* = 0,2 p* (x*) = RM(x*) = p* (0,2) = RM(0,2) = 2 – x* = 2 – 0,2 = 1,8 π(x*) = - 5 x*2 + 2x* – 8 = - 5 (0,2)2 + 2(0,2) – 8

4.3.1.3

L’inefficacité sociale du monopole

4.3.1.4

La gestion du monopole par les pouvoirs publics

• La tarification au coût marginal

EXERCICE 13 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = (x - 5)2 + 30 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 20 – 2 x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué si l’Etat l’oblige à gérer au coût marginal. En déduire le profit.

REPONSE : CT(x) = x2 -10x + 25 + 30 = x2 - 10x + 55 CM(x) = CT(x) / x = x - 10 + 55/x Cm(x) = 2x -10 RT = x RM(x) = 20x - 2x2 RM(x) = 20 – 2 x = p(x) Rm = 20 - 4x P = Cm ó฀ 20 – 2 x = 2x -10 ó฀ 4x = 30 x = 7,5 p(7,5) = RM(7,5) = 20 – 2 x 7,5 = 5 π = 5 x 7,5 – CT(7,5) = 37,5 - 56,25 + 75 - 55 = 1,25

EXERCICE 14 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 2 x2 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 20 – x Déterminer la quantité produite par ce monopole si les pouvoirs publics l’obligent à gérer au coût marginal. Quel est le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : RM(x) = p = Cm(x) Cm(x) = CT’(x) = (2 x2)’ = 4x RM(x) = 20 – x 20 – x = 4x ó฀ 20 = 5x ó฀ x* = 20/5 = 4 p* = RM(4) = 20 – 4 = 16

EXERCICE 15 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 4 x2 + 8 La fonction de demande est : p(x) = 2 – x

Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué si les pouvoirs publics obligent le monopole à gérer au coût marginal. En déduire le profit.

REPONSE : Recette totale RT(x) = p(x) . x = (2 - x) . x = 2x – x2 RM(x) = RT(x) / x = p(x) = 2 – x Rm(x) = RT’(x) = (2x – x2)’ = (2x)’ – (x2)’ = 2 – 2x CT(x) = 4 x2 + 8 CM(x) = CT(x) / x = (4 x2 + 8) / x = 4 x + 8/x Cm(x) = CT’(x) = (4 x2 + 8)’ = (4 x2)’ + (8)’ = 8x Maximisation du profit p(x) = Cm(x) or p(x) = RM(x) donc RM(x) = Cm(x) 2 – x = 8 x ó฀ 2 = 8x + x = 9x ó฀ x* = 2/9 p* (x*) = RM(x*) = p* (2/9) = RM(2/9) = 2 – x* = 2 – 2/9 = 16/9 π(x*) = - 5 x*2 + 2x* – 8 = - 5 (2/9)2 + 2(2/9) – 8

• La gestion à l’équilibre budgétaire

EXERCICE 16 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = (x - 5)2 + 30 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 20 – 2 x Déterminer la quantité produite par ce monopole si l’Etat l’oblige à gérer à l’équilibre budgétaire.

REPONSE : CT(x) = x2 -10x + 25 + 30 = x2 - 10x + 55 CM(x) = CT(x) / x = x - 10 + 55/x Cm(x) = 2x -10 RT = x RM(x) = 20x - 2x2 RM(x) = 20 – 2 x = p(x) Rm = 20 - 4x π(x) = 0 = RT(x) - CT(x) RT(x) = CT(x) RM(x) = CM(x) = p RM(x) = CM(x) = p = 20 – 2 x = x - 10 + 55/x ó฀ 3x2 – 30x + 55 = 0 x’ = 2,42 x’’ = 7,58

EXERCICE 17 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 2 x2 La recette moyenne d’un monopole est : RM(x) = 21 – x Déterminer la quantité produite par ce monopole si les pouvoirs publics l’obligent à gérer à l’équilibre budgétaire. Quel est le prix pratiqué. En déduire le profit.

REPONSE : π = 0 ó฀ RT(x) = CT(x) ó฀ RM(x) = CM(x) RM(x) = 21 – x CM(x) = CT(x) / x = 2 x2 / x = 2x 21 – x = 2x ó฀ 21 = 3x ó฀ x* = 21/3 = 7 p*= RM(7) = 21 – 7 = 14

EXERCICE 18 : Le coût total d’un monopole est donné par la fonction : CT(x) = 4 x2 + 8 La fonction de demande est : p(x) = 2 – x Déterminer la quantité produite par ce monopole et le prix pratiqué si les pouvoirs publics obligent le monopole à gérer à l’équilibre budgétaire. En déduire le profit. REPONSE : Recette totale RT(x) = p(x) . x = (2 - x) . x = 2x – x2 RM(x) = RT(x) / x = p(x) = 2 – x Rm(x) = RT’(x) = (2x – x2)’ = (2x)’ – (x2)’ = 2 – 2x CT(x) = 4 x2 + 8 CM(x) = CT(x) / x = (4 x2 + 8) / x = 4 x + 8/x Cm(x) = CT’(x) = (4 x2 + 8)’ = (4 x2)’ + (8)’ = 8x Maximisation du profit RT(x) = CT(x) donc RM(x) = CM(x) 2 – x = 4 x + 8/x ó฀ 2x – x2 = 4 x2 + 8 ó฀ 4 x2 + 8 - 2x + x2 = 0 5 x2 - 2x + 8 = 0 Il n’y a pas de solution

• La taxation des profits EXERCICE 19 : Récapituler les 3 modes de gestion d’un monopole.

REPONSE : Gestion de monopole : Rm(x) = Cm(x) Gestion au coût marginal : RM(x) = Cm(x) Gestion à l’équilibre budgétaire : RM(x) = CM(x) EXERCICE 20 : Un monopoleur est confronté à la fonction de demande D : x(p) = 50 - p Sa fonction de coût est donnée par : CT(x) = 4x2 Déterminer les conditions de l’équilibre du monopole selon les 3 modes de gestion.

REPONSE : x = 50 – p ó฀ p = 50 – x = RM(x) RT(x) = RM(x) . x = (50 – x) . x = 50 x – x2

Rm(x) = RT’(x) = 50 – 2x CT(x) = 4x2 CM(x) = 4x Cm(x) = 8x Gestion de monopole : Rm(x) = Cm(x) 50 – 2x = 8x ó฀ 50 = 8x + 2 x ó฀ 50 = 10 x ó฀ x* = 5 p(x*) = RM(x*) = 50 – x* = p(5) = RM(5) = 50 – 5 = 45 Gestion au coût marginal : RM(x) = Cm(x) 50 – x = 8x ó฀ 50 = 8x + x ó฀ 50 = 9x ó฀ x = 50/9 = 5,56 p(x*) = RM(x*) = 50 – x* = p(5,56) = RM(5,56) = 50 – 5,56 = 44,44 Gestion à l’équilibre budgétaire : RM(x) = CM(x) 50 – x = 4x ó฀ 50 = 4x + x ó฀ 50 = 5x ó฀ x = 10 p(x*) = RM(x*) = 50 – x* = p(10) = RM(10) = 50 – 10 = 40

EXERCICE 21 : Un monopoleur est confronté à la fonction de demande D : x(p) = 100 - 2p Sa fonction de coût est donnée par : CT(x) = 2x Déterminer les conditions de l’équilibre du monopole.

REPONSE : Fonction de demande inverse : p(x) = 50 - x/2 RT(x) = p(x) . x = (50 - x/2) x = 50x - x2/2 RM(x) = p(x) = RT(x) / x = 50 - x/2 Rm(x) = RT(x)’ = 50 – x CT(x) = 2x CM(x) = CT(x)/x = 2 Cm(x) = CT(x)’ = 2 • Rm(x) = Cm(x) 50 - x = 2 x = 48 p = RM(x) = 50 - x/2 = 50 – 24 = 26 π (x) = 26 x 48 – 2 x 48 = 1248 – 96 = 1152 −2 p EX/P = = −1,0833 élastique 100 − 2 p • Equilibre budgétaire π=0 RT = CT RM = CM 50 – x/2 = 2 p = 2 x = 96 • p = Cm RM = Cm 50 - x/2 = 2 x = 96 p=2

π=0

EXERCICE 22 : Un monopoleur est confronté à la fonction de demande inverse D : p(x) = 10 – 3 x Sa fonction de coût est donnée par : CT(x) = x2 + 2 x Déterminer les conditions de l’équilibre du monopole. REPONSE : RT(x) = p(x) . x = (10 – 3 x) . x = 10 x – 3 x2 RM(x) = RT(x) / x = 10 – 3 x Rm(x) = RT(x)’ = 10 – 6 x CT(x) = x2 + 2 x Cm(x) = CT(x)’ = 2 x + 2 Le profit est maximum si Cm(x) = Rm(x) 2 x + 2 = 10 – 6 x x=1 p = RM(1) = 10 – 3 (1) = 7 π(x) = RT(1) - CT(1) = 7 – 3 = 4

EXERCICE 23 : Soit un monopoleur qui fait face à la demande exprimée par la fonction suivante : p = 20 - 0,5 x Son coût total est CT(x) = 0,04 x3 – 1,94 x2 + 32,96 x Déterminer les conditions de l’équilibre du monopole.

REPONSE : p = p(x) = RM(x) = 20 - 0,5 x donc RT(x) = RM(x) x = 20 x – 0,5 x2 Rm(x) = RT’(x) = 20 – x CT(x) = 0,04 x3 – 1,94 x2 + 32,96 x donc Cm(x) = CT’(x) = 0,12 x2 – 3,88 x + 32,96 20 – x = 0,12 x2 – 3,88 x + 32,96 0,12 x2 – 2,88 x + 12,96 = 0 x’ = 6 x’’ = 18 p’ = RM(6) = 20 - 0,5 x = 20 – 3 = 17 p’’ = RM(18) = 20 - 0,5 x = 20 – 9 = 11

4.3.2 Oligopole...