Exercícios capítulo 4, livro Análise de Séries Temporais, Pedro Morettin. PDF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS ˆ INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS CURSO DE ESTAT´ISTICA S´ eries Temporais Exerc´ıcios Cap´ıtulo 4 Manaus 3 de dezembro de 2015 Alice Neves Peres Lucas Roberto de Castro Priscila de Souza Gusm˜ ao Trabalho apresentado `a professora Carla Zeline Rodrigues da disciplina S...

Description

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS ˆ NCIAS EXATAS INSTITUTO DE CIE CURSO DE ESTAT´ ISTICA

S´ eries Temporais

Exerc´ıcios Cap´ıtulo 4

Manaus 3 de dezembro de 2015

Alice Neves Peres Lucas Roberto de Castro Priscila de Souza Gusm˜ ao

Trabalho apresentado a` professora Carla Zeline Rodrigues da disciplina S´eries Temporais do Curso de Estat´ıstica, como pr´e-requisito parcial de avalia¸c˜ao acadˆemica.

Manaus/AM 3 de dezembro de 2015

Conte´ udo 1 Exerc´ıcios Cap´ıtulo 4

2

1.1 Quest˜ ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Quest˜ ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Quest˜ ao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Quest˜ ao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Aplica¸ c˜ ao Real

13

2.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Apresenta¸ca˜o dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 An´ alise Gr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Ajuste e Previs˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Anexos

17 2.4.1

Aplica¸ca˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

33

1

Exerc´ıcios Cap´ıtulo 4

1.1

Quest˜ ao 3 Considere os primeiros 24 meses da s´erie de Pre¸co Mensal de Caf´e,cujos dados s˜ ao

fornecidos na Tabela 1. Calcule as previs˜ oes, com origem em dezembro de 1971, para os meses de janeiro a junho de 1972, utilizando: i o m´etodo de m´edias m´ oveis com r = 5; ii 0 m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial com a = 0,9. Tabela 1: Pre¸co m´edio mensal (corrente) recebido pelos produtores de caf´e, Estado de S˜ ao Paulo (em cruzeiros). Meses/Ano Janeiro Fevereiro Mar¸co Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

1970 123,30 134,77 141,16 144,62 145,76 142,75 144,18 147,68 148,95 147,83 146,69 144,50

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1979 1907,80 1970,50 2045,20 2211,80 2452,00 2915,40

Pergunta-se: (a) Qual dos dois m´etodos fornece as melhores previs˜oes de acordo com o crit´erio de erro quadr´ atico m´edio minimo? Resposta: Utilizando o m´etodo de m´edias m´ oveis simples com r=5, podemos observar o comportamento da s´erie atrav´es de seu gr´ afico apresentado na figura 1

2

Figura 1: Gr´ afico de M´edias M´oveis do pre¸co m´edio mensal de caf´e

Podemos notar que a s´erie n˜ ao e´ estacion´aria e n˜ ao tem sazonalidade, mas existe uma tendˆencia crescente. A suaviza¸ca˜o por m´edias m´oveis simples n˜ ao forneceu bom ajuste a s´erie. A tabela 2 abaixo mostra os valores previstos da s´erie. Tabela 2: Valores Previstos MMS t 1 2 3 4 5 6

Previs˜oes t Previs˜ oes t 7 143.63 13 8 144.94 14 9 145.8 15 10 146.22 16 137.92 11 147.07 17 141.75 12 147.13 18

Previs˜ oes 145.36 141.86 139.79 138.1 136.01 134,3

t 19 20 21 22 23 24

Previs˜oes 133.31 131.11 128.56 127.17 127.09 128.21

t Previs˜ oes 25 128.21 26 128.21 27 128.21 28 128.21 29 128.21 30 128.21

Utilizando o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples podemos observar o comportamento da s´erie atrav´es de seu gr´ afico apresentado na figura 2

3

Figura 2: Gr´ afico de suaviza¸ca˜o exponencial do pre¸co m´edio mensal de caf´e

O m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples forneceu um melhor a juste para a s´erie. A tabela 3 a seguir mostra os valores previstos da s´erie utilizando o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial. Tabela 3: Valores Previstos t 1 2 3 4 5 6

Previs˜oes 123.3000 133.6230 140.4063 144.1986 145.6039 142.7654

t 7 8 9 10 11 12

Previs˜ oes 144.0385 147.3159 148.7866 147.9257 146.8136 144.7314

t 13 14 15 16 17 18

Previs˜ oes 139.4111 132.2551 136.9755 138.0956 134.4546 130.6705

t 19 20 21 22 23 24

Previs˜oes 126.9620 126.5192 125.6019 126.9412 129.5591 131.8999

t Previs˜ oes 25 129.5591 26 129.5591 27 129.5591 28 129.5591 29 129.5591 30 129.5591

Para verificar qual m´etodo melhor se ajustou foi calculado o erro quadr´atico m´edio, mostrado na Tabela 4, observa-se que o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples fornece as melhores previs˜ oes. Tabela 4: Erro Quadr´atico M´edio MMS SES 132.6416 92.03627

Os ajustes e previs˜ oes do m´etodo de m´edias m´ oveis simples foram calculados no 4

software R atrav´es da fun¸ca˜o SMA do pacote TTR, j´ a para a suaviza¸ca˜o exponencial simples foi criada uma fun¸ca˜o chamada SES, que pode ser consultada no anexo. (b) Atualizando as previs˜ oes a cada nova observa¸ca˜o, qual seria sua conclus˜ao? Resposta: Figura 3: Gr´ afico de m´edias m´oveis simples (valor atualizado) do pre¸co m´edio mensal de caf´e

Observando a figura 3, nota-se que houve uma melhora nas previs˜ oes em compara¸ca˜o com o item anterior. A tabela 5 a seguir mostra as previs˜ ao atualizada pelo m´etodo de m´edias m´ oveis simples. Tabela 5: Previs˜ao Atualizada MMS t 1 2 3 4 5 6

Previs˜oes t Previs˜oes 7 143.634 8 144.938 9 145.804 10 146.218 137.922 11 147.066 141.752 12 147.30

t Previs˜ oes 13 145.358 14 141.860 15 139.794 16 138.1 17 136.01 18 134.296

t Previs˜ oes 19 133.314 20 131.108 21 128.564 22 127.172 23 127.092 24 128.214

t Previs˜ oes 25 128.214 26 130.748 27 133.888 28 137.284 29 141.19 30 146.246

O mesmo ocorre quando ´e realizada a atualiza¸ca˜o a cada nova observa¸ca˜o usando o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples. 5

Figura 4: Gr´ afico de suaviza¸ca˜o exponencial simples (valor atualizado) do pre¸co m´edio mensal de caf´e

Na tabela 6 est˜ ao apresentadas as previs˜ oes atualizadas para os meses de Janeiro a Junho de 1972 com o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples. Tabela 6: Previs˜ao Atualizada SES t 1 2 3 4 5 6

Previs˜oes 123.3 133.623 140.4063 144.1986 145.6039 142.7654

t 7 8 9 10 11 12

Previs˜ oes 144.0385 147.3159 148.7866 147.9257 146.8136 144.7314

t Previs˜ oes 13 139.4111 14 132.2551 15 136.9755 16 138.0956 17 134.4546 18 130.6705

t 19 20 21 22 23 24

Previs˜oes 126.962 126.5192 125.6019 126.9412 129.5591 131.8999

t 25 26 27 28 29 30

Previs˜ oes 131.8999 132.0430 135.9478 138.8375 141.7164 145.9329

Para verificar qual m´etodo melhor se ajustou foi calculado o erro quadr´atico m´edio, mostrado na Tabela 7, observa-se que o m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples fornece as melhores previs˜ oes. Tabela 7: Erro Quadr´atico M´edio MMS SES 90.10209 103.0026 Utilizou-se a fun¸ca˜o prevAmms, criada no R, para o c´ alculo das previs˜oes atualizadas de m´edias m´ oveis simples, quanto ao c´ alculo de valores atualizados para o m´etodo 6

de suaviza¸ca˜o exponencial simples foi utilizada a fun¸ca˜o prevAses, ambas podem ser consultadas no anexo.

1.2

Quest˜ ao 4 As observa¸co˜es da Tabela 8 referem-se as vendas de um determinado produto.

Responda as seguintes quest˜ oes . Tabela 8: S´erie de vendas de um determinado produto el´etrico. Meses/Ano Janeiro Fevereiro Mar¸co Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

1975 1976 19 82 15 17 39 26 102 29 90 29 90 46 30 66 80 89

(a) Qual ´e a previs˜ ao para maio de 1976, utilizando m´edias m´oveis de 3 meses, 5 meses e 9 meses? Resposta: Os c´ alculos foras realizados com a fun¸ca˜o SMA do pacote TTR Tabela 9: Previs˜ao de Mar¸co/1976 com o M´etodo de M´edias M´ oveis Simples r Previs˜ ao

3 24

5 48.6

9 51.67

(b) E utilizando suaviza¸ca˜o exponencial simples com α = 0,1; 0,3; e 0.9 ? Resposta: Utilizando a fun¸ca˜o SES, crida anteriormente, obt´em-se os seguintes resultados

7

Tabela 10: Previs˜ao de Mar¸co/1976 com o M´etodo de Suaviza¸ca˜o Exponencial Simples Alpha Previs˜ ao

0.1 45.53

0.3 41.93

0.7 29.06

0.9 28.68

(c) Assumindo que o padr˜ ao da s´erie continua a valer no futuro, que valores de r e α forneceriam erros de previs˜ oes m´ınimos? Tabela 11: EQM de MMS r EQM

3 663.6746

5 761.3667

9 593.1574

Tabela 12: EQM de SES α EQM

0.1 1079.339

0.3 556.6712

0.7 103.3929

0.9 12.17338

Valendo-se do crit´erio de menor erro quadr´ atico m´edio, conclui-se que os m´etodos de m´edias m´ oveis com r = 9 e o alpha = 0.9 do m´etodo de suaviza¸ca˜o exponencial simples fornecem as melhores previs˜ oes. A figura abaixo ilustra o ajuste e previs˜ ao para os m´etodos com os parˆametros em quest˜ ao.

Figura 5: Ajuste com M´edias M´ oveis

1.3

Figura 6: Ajuste com Suaviza¸ca˜o Exponencial

Quest˜ ao 7 Considere a s´erie de vendas de refrigerantes, Tabela 9, no per´ıodo compreendido

entre janeiro de 1970 e dezembro de 1973. Utilizando o m´etodo de Holt-Winters multiplicativo com s = 12, A = 0.2, C = 0.3 e D = 0.2. proceda da seguinte maneira:

8

Tabela 13: S´erie vendas de refrigerante, janeiro do 1970 a dezembro do 1973 Ano 1970 1971 1972 1973

Janeiro 143 189 359 332

.... .... .... .... ....

Dezembro 235 300 352 487

(a) utilize o primeiro ano (1970) de observa¸co˜es para calcular os valores iniciais necess´ arios a`s equa¸co˜es de recorrˆencia. Resposta: As equa¸co˜es de recorrˆencia s˜ao calculadas tomando as s primeiras observa¸co˜es da s´erie. Utilizando as equa¸co˜es de recorrˆencia dadas abaixo

s

X ¯s = 1 Z Zk s k=1

Tˆs = 0 Zj Fˆj = 1 Ps ( s ) k=1 Zk

(1) (2) (3)

Que representam estimativas de n´ıvel, tendˆencia e sazonalidade, respectivamente. A tabela 10 a seguir apresenta os valores iniciais de recorrˆencia. Tabela 14: Valores Iniciais N´ıvel 352,75

Tendˆencia

0

Sazonalidade 0.405 1.287 0.391 1.751 0.552 2.182 0.637 1.598 0.496 0.927 1.102 0.666

(b) Utilize os anos de 1971 e 1972 para ajustar o modelo(backforecasting) Resposta: O modelo backforecasting foi calculado usando as constantes A = 0.2, C = 0.3 e D = 0.2. Essas constantes s˜ ao aplicadas nas equa¸co˜es (4),(5) e (6). Os valores obtidos para n´ıvel, tendˆencia e sazonalidade s˜ao mostrados na tabela 15 9

  Zt Z¯ = A ¯ + (1 − A)(Z¯t−1 + Tˆt−1 ) Zt

(4)

Tˆt = C(Z¯t − Z¯t−1 ) + (1 − C)Tˆt−1 ! ˆt Z + (1 − D) Fˆt−s Fˆt = D ¯ Ft−s

(5) (6)

Tabela 15: Estimativas do modelo backforecasting N´ıvel 375.444 472.463 509.627 527.460 558.246 570.758 579.627 574.126

Tendˆencia 6.808 33.871 34.859 29.751 30.061 24.796 20.018 12.362

Sazonalidade 0.424 0.450 0.555 0.621 0.496 1.075 1.258 1.689

N´ıvel 560.814 515.174 514.259 495.410 556.507 570.814 579.433 588.391

Tendˆencia 4.660 -10.429 -7.575 -10.957 10.659 11.753 10.813 10.256

Sazonalidade 2.102 1.473 0.940 0.654 0.469 0.453 0.553 0.619

N´ıvel 645.572 656.225 673.996 661.439 642.051 633.109 650.163 630.786

Tendˆ encia 24.333 20.229 19.491 9.877 1.0976 -1.914 3.776 -3.169

Sazonalidade 0.525 1.057 1.255 1.624 2.026 1.455 0.962 0.634

(c) calcule as previs˜ oes com origem em dezembro de 1972, para as observa¸co˜es de 1973. Resposta: Utilizando a equa¸ca˜o de previs˜ao do modelo Holt-Winters multiplicativo dada em (4) obtemos os valores mostrados na tabela 16

Zˆt (h) = (Z¯t + hTˆt )Fˆt+h−s

(7)

A tabela 16 mostra as previs˜ oes de 12 meses para as observa¸co˜es de 1973 com origem em dezembro de 1972. Tabela 16: Previs˜oes com origem em Dezembro de 1973 Mˆes Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Valor Real 332 244 320 437 544 830

Previs˜ao 294.35 283.04 343.72 383.10 323.29 647.06

Mˆes Jul Ago Set Out Nov Dez

Valor Real 1011 1081 1400 1123 713 487

Previs˜ao 763.82 983.30 1220.30 871.84 573.67 376.31

Todos os valores obtidos foram calculados utilizando o R, foi criada a fun¸ca˜o myhw para ajustar o modelo e fazer previs˜ oes com origem no u´ltimo valor ajustado. 10

(d) atualize as previs˜ oes a cada nova observa¸ca˜o (previs˜ao a 1 passo) Resposta: A fun¸ca˜o myhw, mencionada anteriormente, permite ainda o c´alculo a cada nova observa¸ca˜o. Para utiliza¸ca˜o dessa funcionalidade basta entrar com o vetor de novas observa¸co˜es no argumento newobs. Mais detalhes podem ser consultados no anexo. Os valores obtidos podem ser vistos na tabela 17. Tabela 17: Previs˜ao Atualizada Mˆes Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Valor Real 332 244 320 437 544 830

Previs˜ao 294.35 292.50 342.53 374.22 327.46 770.88

Mˆes Jul Ago Set Out Nov Dez

Valor Real 1011 1081 1400 1123 713 487

Previs˜ao 962.54 1305.64 1615.24 1150.38 770.30 506.70

(e) fa¸ca um gr´ afico para comparar o valor real com o valor previsto. Resposta:

Figura 7: Gr´ afico valor real vs Previsto a h passos

Figura 8: Gr´ afico valor real vs Previs˜ ao atualizada

Observando os gr´aficos, notou-se que a previs˜ ao atualizada foi a que melhor se adequou ao valor real da s´erie. A tabela 14 apresenta o c´ alculo do erro quadr´ atico m´edio para os valores previsto a h passos e atualizado, observa-se que o melhor erro quadr´ atico m´edio foi para a previs˜ ao atualizada. Tabela 18: Erro Quadr´atico M´edio Previs˜ ao a um passo 5963.638

11

Previs˜ ao atualizada 3378.46

1.4

Quest˜ ao 8 Utilize as observa¸co˜es do Problema 7 e aplique o m´etodo de Holt-Winters multi-

plicativo, com s = 12, A = 0.2, C = 0.1 e D = 0.1, da seguinte maneira: (a) utilize as observa¸co˜es de 1970 para calcular os valores iniciais. Respostas: Utilizando as equa¸co˜es (1) (2) (3), foram calculados os valores iniciais apresentados na tabela 19. Tabela 19: Valores Iniciais N´ıvel

Tendˆencia

352,75

0

Sazonalidade 0.405 1.287 0.391 1.751 0.552 2.182 0.637 1.598 0.496 0.927 1.102 0.666

(b) utilize os anos de 1971 e 1972 para ajustar o modelo (backforecasting). Tabela 20: Ajuste do Modelo Backforecasting N´ıvel 375.444 468.83 488.73 492.64 515.71 522.73 530.98 528.50

Tendˆencia 2.27 11.38 12.23 11.40 12.57 12.01 11.64 10.22

Sazonalidade 0.42 0.42 0.56 0.63 0.50 1.09 1.28 1.73

N´ıvel 522.61 487.77 504.09 497.72 574.54 594.09 598.32 601.85

Tendˆ encia 8.61 4.27 5.47 4.29 11.54 12.34 11.53 10.73

Sazonalidade 2.15 1.54 0.94 0.66 0.44 0.42 0.55 0.63

N´ıvel 655.47 654.23 664.38 645.93 627.09 620.68 647.06 630.55

Tendˆ encia 15.02 13.39 13.07 9.91 7.04 5.69 7.76 5.33

Sazonalidade 0.51 1.09 1.28 1.69 2.12 1.53 0.95 0.65

(c) calcule as observa¸co˜es, com origem em dezembro de 1972, para todo o ano de 1973. Tabela 21: Valores previstos Mˆes Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Valor Real 332 244 320 437 544 830

Previs˜ao 277.34 271.81 357.95 410.80 337.62 720.33

Mˆes Jul Ago Set Out Nov Dez

12

Valor Real 1011 1081 1400 1123 713 487

Previs˜ao 855.51 1144.12 1436.14 1045.39 653.30 451.27

(d) compare as resultados com os obtidos no Problema 7. Resposta: Considerando ”Ajuste 1”o m´etodo de Holt-Winters com A = 0.2, C = 0.3, D = 0.2 e ”Ajuste 2”o mesmo m´etodo com A = 0.2, C = 0.1, D = 0.1. Temos na tabela 22 os valores de EQM para os dois ajustes. Tabela 22: Erro Quadr´atico M´edio Ajuste 1 5963.638

Ajuste 2 2100.797

De acordo com o crit´erio do erro quadr´ atico m´edio, nota-se que o ”Ajuste 2”´e o mais adequado ao problema. As figuras 9 e 10 abaixo ilustram o ajuste e previs˜ ao desses dois modelos.

Figura 9: Ajuste 1

2 2.1

Figura 10: Ajuste 2

Aplica¸c˜ ao Real Introdu¸ca ˜o O Rio Negro ´e o maior afluente da margem esquerda do Rio Amazonas, ´e o mais

extenso rio de a´gua negra do mundo e o segundo maior em volume de a´gua. A dinˆ amica de subida rio afeta diretamente o cotidiano das pessoas que vivem a`s suas margens, sobretudo a cidade de Manaus por se tratar da maior cidade da regi˜ ao. Dessa forma existe um interesse em quantificar o n´ıvel do rio, para tanto desde 1902 e´ realizada sua medi¸ca˜o com rela¸ca˜o ao n´ıvel do mar. Essa s´erie hist´orica ´e importante para realizar previs˜ oes, j´ a que o fenˆomeno da cheia pode inundar diversas a´reas por um

13

longo per´ıodo. Assim, essas previs˜oes podem servir de alerta para o poder p´ ublico e para a popula¸ca˜o em geral se precaverem das poss´ıveis consequˆencias causadas por esse evento. Portanto, dada a importˆancia do fenˆomeno no contexto local, a proposta do presente trabalho e´ analisar o comportamento das cotas m´ aximas alcan¸cadas pelo rio entre os meses de Janeiro de 2007 a Outubro de 2015 de forma a encontrar o modelo de suaviza¸ca˜o mais adequado para ajustar e prever valores para a s´erie.

2.2

Apresenta¸ca ˜o dos Dados A s´erie tem o objetivo de analisar o comportamento das cotas m´ aximas alcan¸cadas

pelo rio entre os meses de Janeiro de 2007 a Outubro de 2015 de forma a encontrar o modelo de suaviza¸ca˜o mais adequado para ajustar e prever valores para a s´erie. A medi¸ca˜o e´ realizada mensalmente atrav´es de uma r´egua, baseada em um referencial de n´ıvel no valor de 62.51 metros em rela¸ca˜o ao n´ıvel do mar, ou seja, se o referencial de n´ıvel for 92 metros menos 62.61,resulta em 29.39, isso seria a cota m´axima do dia acima do n´ıvel do mar. Tabela 23: Dados da S´erie Mˆes/Ano Janeiro Fevereiro Mar¸co .. . Dezembro

2.3

2007 2008 23,23 23,81 23,57 24,99 24,1 26,38 .. .. . . 21,41 22,33

··· ··· ··· ··· ···

2014 23,33 24,65 26,62 .. . 21,69

An´ alise Gr´ afica Analisando a s´erie nota-se um claro comportamento sazonal aditivo uma vez que

as flutua¸co˜es variam pouco, al´em disso uma certa tendˆencia que come¸ca crescente em seguida decresce por um pequeno per´ıodo e volta a apresentar comportamento crescente a partir de 2012, aproximadamente.

14

Figura 11: Gr´ afico da S´erie

2.4

Figura 12: Decomposi¸ca˜o da S´erie

Ajuste e Previs˜ ao Devido a presen¸ca de tendˆencia e sazonalidade optou-se por utilizar o m´etodo

aditivo de Holt-Winters, que utiliza as seguintes equa¸co˜es de suaviza¸ca˜o.

¯ = A(Zt − Z¯t ) + (1 − A)(Z¯t−1 + Tˆt−1 ) Z

(8)

Tˆt = C(Z¯t − Z¯t−1 ) + (1 − C) Tˆt−1

(9)

Fˆt = D( Z¯t − Z¯t−1 ) + (1 − D)Fˆt−s

(10)

Para a determina¸ca˜o das constantes de suaviza¸ca˜o necess´arias a`s equa¸co˜es (1), (2) e (3) foi criada a fun¸ca˜o myhwA no R, em seguida foi gerada uma sequˆencia entre 0 e 1 a 0.1 passos, ent˜ ao em um la¸co iterativo foi utilizado o m´etodo de Holt-Winters aditivo para cada combina¸ca˜o trˆes a trˆes dos valores da sequˆencia e calculado o EQM. Os dados utilizados para o ajuste s˜ao referentes aos anos de 2007 a 2014 Assim chegou-se ao resultado das constantes que minimizam o EQM. Os valores de A, C e D foram respectivamente, 0, 0.1 e 1. Que geraram um EQM igual a 0.02. ...