Exercicios resolvidos algebra l - boldrini PDF

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solutions do livro boldrini para conferência de resultados dos exercícios...

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´ Linear - Editora Harbra Livro: Algebra (Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler) [email protected] Compilado dia 06/03/2017

´ Linear dos Solucion´ario da 3a edi¸c˜ao do livro de Algebra autores: Jos´e Luiz Boldrini, Sueli I.Rodrigues Costa, Vera L´ ucia Figueiredo e Henry G. Wetzler. Para quem desejar; uma c´opia do livro pode ser baixada em http://www.professores.uff.br/jcolombo/Alg lin I mat 2012 2/Algebra%20Linear%20Boldrini.pdf. A expectativa ´e que seja respondido um cap´ıtulo do livro por mˆes. Mas, infelizmente resolver e digitar (principalmente digitar), os exerc´ıcios desse livro leva um bom tempo. Assim, pode haver atrasos na postagem. De todo modo, n˜ao deixe de acompanhar o documento no link abaixo, para obter futuras atualiza¸co˜es. www.number.890m.com

Sum´ ario 1 MATRIZES 1.1 Exerc´ıcios da p´agina 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exerc´ıcios da p´agina 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 14

2

˜ 2 SISTEMAS DE EQUAC ¸OES LINEARES 2.1 Exerc´ıcios da p´agina 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20

3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 3.1 Exerc´ıcios da p´agina 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4 ESPAC ¸ O VETORIAL 4.1 Exerc´ıcios da p´agina 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 62

˜ LINEARES 5 TRANSFORMAC ¸OES 5.1 Exerc´ıcios da p´agina 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91

6 ANEXO I

101

7 ANEXO II

102

44

´ Algebra Moderna

1

Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA

MATRIZES

1.1

Exerc´ıcios da p´ agina 11

1. Sejam  1 2 A= 2 1

3 −1

  −2 ,B= 3

0 1 0 1

Encontre:

   −1 , C =  2  e D = [2, −1] 4

a) A + B b) A · C c) B · C d) C · D e) D · A f) D · B g) −A h) −D Solu¸ c˜ ao de A: A+B 

1 2 2 1

3 −1



+



−2 3

0 1 0 1



=



−1 5

2 4 1 0

Solu¸ c˜ ao de B: A·B 

1 2 2 1

3 −1



   −1 15 · 2  = −4 4 

Solu¸ c˜ ao de C: −1 · A 2



´ Algebra Moderna

2. Seja A =



Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA

2 2x − 1

−1 ·



x2 0



1 2 3 2 1 −1



=



−1 −2 −2 −1

−3 1



Se A’ = A, ent˜ ao x = · · ·

Solu¸ c˜ ao: Se A’ = A ent˜ ao:     2 2x − 1 2 x2 = 2x − 1 0 x2 0 Que resulta nas seguintes igualdades: 2 = 2 e 2x − 1 = x 2 Desta ultima igualdade tira-se que x = 1.

3. Se A ´e uma matriz sim´etrica, ent˜ ao A – A’. . . Solu¸ c˜ ao: Se A ´e sim´etrica ent˜ ao A = A’ e portanto A – A’ = A – A = 0. Assim, o resultado desta opera¸ca˜o seria uma matriz nula.

4. Se A ´e uma matriz triangular superior, ent˜ ao A’ ´e . . . Solu¸ c˜ ao: Uma matriz triangular superior quando transposta passa a ser uma matriz triangular inferior.

5. Se A ´e uma matriz diagonal, ent˜ ao A’. . . Solu¸ c˜ ao: Toda matriz diagonal ´e sim´etrica de modo que se A ´e uma matriz diagonal ent˜ ao A’ = A.

6. Classifique em verdadeiro ou falso:

3

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Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA

a) –A’ = –A’ b) (A + B)’ = B’ + A’ c) Se AB = 0, ent˜ ao A = 0 ou B = 0 d) k1 Ak2 B = k1 k2 AB e) –A –B = –AB f) Se A e B s˜ao matrizes sim´etricas, ent˜ ao AB = BA g) Se AB = 0, ent˜ao BA = 0 h) Se ´e poss´ıvel efetuar o produto AA, ent˜ ao A ´e matriz quadrada Solu¸ c˜ ao de A: Pela propriedade iv a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. Solu¸ c˜ ao de B: Pela propriedade iii a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. Solu¸ c˜ ao de C: Falsa. Tomando A = n˜ ao ´e verdadeira.



1 0 0 0



eB=



0 0 1 0



por exemplo, verifica-se que a proposi¸c˜ao

Solu¸ c˜ ao de D: Usando a associatividade (k1 k2 )AB = A(k1 k2 )B Usando a comutatividade A(k2 k1 )B = k2 (Ak1 )B = (Ak1 ) · (k2 B) = (k1 A)(k2 B). Solu¸ c˜ ao de E: Falsa. Como contra exemplo tome A =



2 1 0 −1



2 0 0 1



eB=



0 3 1 1

Solu¸ c˜ ao de F: Falsa. Como contra exemplo tome A = Solu¸ c˜ ao de G: Falsa. 4



eB=



2 1 1 0





´ Algebra Moderna

Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA

Solu¸ c˜ ao de H: Verdadeiro. O produto entre duas matrizes s´ o ´e poss´ıvel se o numero de linhas da segunda for igual ao numero de colunas da primeira. Assim Am×n · Am×n s´ o ocorre se m = n. O que implicaria no fato de A ser quadrada.

7. Se A2 = A·A, ent˜ ao Solu¸ c˜ ao: 2   −2 −2 1 = 3 2 3

2



−2 3

1 2

     −2 1 7 0 · = 3 2 0 7

1 2

...

8. Se A ´e uma matriz triangular superior, ent˜ ao A2 ´e . . . Solu¸ c˜ ao: Do tipo triangular superior.

5

´ Algebra Moderna

Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA

9. Ache, x, y, z, w se



x z

y w



2 3 3 4



=



1 0 0 1



Solu¸ c˜ ao: O produto entre as matrizes



x z

y w

por hip´otese ´e igual a matriz nula. 

2x + 3y 2z + 3w



e



2 3 3 4

3x + 4y 3z + 4w





resulta em

=



1 0 0 1



2x + 3y 2z + 3w

3x + 4y 3z + 4w



Que



Resolvendo as equa¸co˜es acima chega-se a x = −4; y = 3; z = 3; e w = −2. 

1 10. Dadas A =  2 4 mostre que AB = AC.

  1 −3 2 1 −3  , B =  2 −3 −1 1

4 1 −2

  1 0 2 1 1  e C=  3 2 1 2

 1 −1 −2 −2 −1 −1  −5 −1 0

Solu¸ c˜ ao: AB = AC 

−3 −3  1 15 −3 15

   0 1 −3 −3 0 1 0 −5  =  1 15 0 −5  0 −5 −3 15 0 −5

11. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A, B, C s˜ ao matrizes tais que a multiplica¸c˜ao esteja definida. a) B = C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I ´e a matriz identidade, ent˜ ao B = C? Solu¸ c˜ ao: Se AB = AC e A−1 for transposta de A ent˜ ao: A−1 (AB) = A−1 (AC) Usando a associatividade (A−1 A)B = (A−1 A)C IB = IC B=C

6

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12. Explique por que, (A+B)2 6= A2 + 2AB + B2 e (A + B)(A – B) 6= A2 – B2 . Solu¸ c˜ ao: As equa¸co˜es n˜ ao s˜ao verdadeiras pois, n˜ao s˜ao satisfeitas para qualquer matriz.

14. Se A =



3 −2 −4 3

 , ache B, de modo que B2 = A.





ent˜ ao:



x z

Solu¸ c˜ ao: Tomando B =

x z

y w

y w

  x · z

y w



=



3 −4

−2 3



A equa¸c˜ao acima resulta no seguinte sistema:    

x2 + yz = 3 (1) zy + w2 = 3 (2) xy + yw = −2 (3)    zx + wz = −4 (4)

Das equa¸co˜es (1) e (2) obtemos que x = ±w. Vamos tomar (arbitrariamente), x = w. Se x = w ent˜ ao a equa¸c˜ao (3) pode ser escrita como: wy + yw = −2 Como y e W s˜ao n´ umeros reais e portanto vale a comutatividade ent˜ ao: wy + yw = −2 2(wy) = −2 ⇒ wy = −1 (5) Ainda supondo que x = w podemos escrever a equa¸c˜ao (4) como: zx + wz = −4 z(x + w) = −4 z(w + w) = −4 7

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2 (6) z Colocando (6) em (5) chegamos a uma nova rela¸ca˜o. ⇒w=−

wy = −1 2 − y = −1 ⇒ z = 2y (7) z Agora tome a equa¸ca˜o (1) x2 + yz = 3 Usando novamente que x = w ent˜ ao: w2 + yz = 3 Usando a equa¸ca˜o (7) w2 + y(2y) = 3 Usando agora a equa¸ca˜o (5) w2 + 2y 2 = 3  2 1 =3 w +2 − w 2

w2 +

2 − 3 = 0 ⇒ w = −1 ou w = 1 w2

Tomando (arbitrariamente) w = 1 ent˜ ao por (5) y = −1 e por (7) z = −2. Como hav´ıamos suposto de in´ıcio que x = w ent˜ ao x = 1   1 −1 Logo B = −2 1

8

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15. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrˆaneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa ´e dada pela matriz:

Ferro

Madeira

Vidro

Tinta

Tijolo

Moderno

5

20

16

7

17

Mediterrˆaneo

7

18

12

9

21

Colˆonial

6

25

8

5

13

(Qualquer semelhan¸ca dos n´ umeros com a realidade ´e mera coincidˆencia).

a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆaneo e colonial respectivamente, quantas unidades de casa material ser˜ ao empregadas? b) Suponha agora que os pre¸cos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinita e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual ´e o pre¸co unit´ario de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? Solu¸ c˜ ao de A: Pela matriz a quantidade de materiais de uma casa moderna ´e igual a 65 (soma dos elementos da primeira linha). De uma casa mediterrˆanea 67 (soma dos elementos da segunda linha) e de uma casa colonial 57(soma dos elementos da terceira linha). Logo ser˜ao utilizadas 1478 unidades de materiais. 5 · 65 + 7 · 67 + 12 · 57 = 1478 Solu¸ c˜ ao de B: O pre¸co da casa moderno ser´a: 5(15) + 20(8) + 16(5) + 7(1) + 17(10) = 492 Analogamente se calcula para as demais casas.

16. Uma rede de comunica¸c˜ao tem cinco locais com transmissores de potˆencias distintas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a esta¸c˜ao i pode transmitir diretamente a` esta¸c˜ao j, aij = 0 o que significa que a transmiss˜ao da esta¸c˜ao i n˜ao alcan¸ca a esta¸c˜ao j . Observe que a diagonal principal ´e nula significando que uma esta¸ca˜o n˜ao transmite diretamente para si mesma.

9

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

  A=  

0 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 0 1 0

     

Qual seria o significado da matriz A2 = A · A? Seja A2 = [c ij ]. Calculemos o elemento c 42 =

5 X

a4k ak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1

k=1

Note que a u ´ nica parcela n˜ao nula veio de a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que a esta¸c˜ao 4 transmite para a esta¸c˜ao 2 atrav´es de uma transmiss˜ao pela esta¸ca˜o 3, embora n˜ao exista uma transmiss˜ao direta de 4 para 2.

a) Calcule A2 . b) Qual o significado de c 13 = 2? c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirma¸c˜ao: “A matriz A2 representa o n´ umero de caminhos dispon´ıveis para se ir de uma esta¸c˜ao a outra com uma u ´ nica retransmiss˜ao”. d) Qual o significado das matrizes A + A2 , A3 e A + A2 + A3 ? e) Se A fosse sim´etrica, o que significaria?

Solu¸ c˜ ao de A: (Solu¸ca˜o retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)).      

0 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 0 1 0

       ·    

0 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 0 1 0





     =    

1 0 1 0 0

1 2 0 1 0

2 2 2 0 1

3 2 1 2 0

1 2 1 1 1

     

Solu¸ c˜ ao de B: (Solu¸ca˜o retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). c 13 = 2 e significa que a esta¸c˜ao 1 transmite para esta¸ca˜o 3 atrav´es de uma terceira de dois modos (atrav´es da esta¸c˜ao 2 e da esta¸c˜ao 4). Solu¸ c˜ ao de C: (Solu¸ca˜o retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). Cada elemento de A2 representa o n´ umero de modos que uma esta¸c˜ao trans mite para uma outra atrav´es de uma terceira esta¸c˜ao. 10

´ Algebra Moderna

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Solu¸ c˜ ao de D: (Solu¸ca˜o retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). Cada elemento de A + A2 representa a soma do n´ umero de modos que uma esta¸c˜ao transmite para outra, diretamente e atrav´es de uma terceira para uma outra. 

  A+A =    2

1 1 1 0 0

2 2 1 1 0

3 3 2 1 1

4 3 2 2 1

2 2 1 1 1

     

Veja: O elemento 14 indica que h´ a 4 maneiras de se transmitir da esta¸c˜ao 1 `a esta¸c˜ao 4: Diretamente: 1→5→4, 1→2→4 e 1→3→4. Cada elemento de A3 representa o n´ umero de modos que uma esta¸c˜ao transmite para uma outra atrav´es de uma quarta esta¸c˜ao. 

  A =   3

1 2 0 1 0

3 2 3 0 1

5 4 2 3 0

5 6 5 1 3

4 2 2 2 0

     

Veja: O elemento 25 indica que h´ a 2 maneiras de se transmitir da esta¸c˜ao 1 para a esta¸c˜ao 2 atrav´es de uma quarta esta¸c˜ao: 2→3→4→5 e 2→1→4→5. Cada elemento de A + A2 + A3 representa a soma do n´ umero de modos que uma esta¸c˜ao transmite para outra esta¸c˜ao, diretamente, atrav´es de uma terceira e de uma quarta. 

  A + A2 + A3 =   

2 3 1 1 0

5 4 4 1 1

8 7 4 4 1

9 9 6 3 3

6 4 3 3 1

     

Veja: Experimente listar as maneiras de se transmitir da esta¸c˜ao 3 para a esta¸c˜ao 5 considerando transmiss˜oes diretas, atrav´es de uma terceira e atrav´es de uma quarta. Solu¸ c˜ ao de E: (Solu¸ca˜o retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). Se A fosse sim´etrica, isto ´e, aij = aji , isso significaria que a esta¸c˜ao i transmite para a esta¸c˜ao j sempre que a esta¸c˜ao j transmitir para a i. 11

´ Algebra Moderna

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Existem trˆes marcas de autom´oveis dispon´ıveis no mercado: o Jacar´e, o Piranha e o Urubu. O termo aij da matriz A abaixo ´e a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. Para

De

J

P

U

J

0.7

0.2

0.1

P

0.3

0.5

0.2

U

0.4

0.4

0.2

Os termos da diagonal de d˜ao a probabilidade aii de se comprar um carro novo da mesma marca. A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras. Vocˆe pode verificar isto a partir dos conceitos b´asicos de probabilidade (consulte 1.5) e produto de matrizes. Calcule A2 e interprete. Solu¸ c˜ ao: 59  100    11 2 A =  25    12

7 25



39 100 9 25

25

 13 100    17   100    4  25

Os termos de A2 , aij , significam mudar da marca i para a marca j depois de duas compras.

12

´ Algebra Moderna

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Quer saber quando sair´a a pr´oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:

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13

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1.2

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Exerc´ıcios da p´ agina 26

Suponha que um corretor da Bolsa de Valores fa¸ca um pedido para comprar a¸c˜oes na segundafeira, como segue: 400 quotas de a¸c˜ao A, 500 quotas da a¸c˜ao B e 600 quotas da a¸c˜ao C. As a¸c˜oes A, B e C custam por quota Cr$ 500,00 Cr$ 400,00 e Cr$ 250,00 respectivamente. a) Encontre o custo total das a¸c˜oes, usando multiplica¸c˜oes de matrizes. b)Qual ser´a o ganho ou a perda quando as a¸c˜oes forem vendidas seis meses mais tarde se as a¸c˜oes A, B e C custam Cr$ 600,00 Cr$ 350,00 e Cr$ 300,00 por quota, respectivamente? Solu¸ c˜ ao de A: A resposta deve ser uma matriz 1×1, assim uma matriz deve ser da ordem 1×a e outra a×1. Como temos trˆes quantidades de quotas (A, B e C) e trˆes valores (um para cada quota), ent˜ ao a = 3. Ou seja, demos ter uma matriz 1×3 e outra 3x1. A primeira matriz ser´a a de quantidade: Q = (400, 500, 600) Enquanto a segunda ser´ a de pre¸co  500 P =  400  250 

Fazendo P·Q chegamos a´ matriz de custo total igual a 550 mil. P · Q = [550.000] Solu¸ c˜ ao de B: Nesse caso basta trocar os valores da matriz P e em seguida realizar a multiplica¸ca˜o. 

 600 Q·P = (400, 500, 600) ·  350  300 = [595.000]

Ou seja, houve um ganho de 45 mil.

´ observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar, perder e empatar 2. E uma partida depois de conseguir uma vit´oria s˜ao 1/2, 1/5 e 3/10 respectivamente; e depois de ser derrotado s˜ao 3/10, 3/10 e 2/5, respectivamente; e depois de empatar s˜ao 1/5, 2/5 e 2/5,

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´ Algebra Moderna

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respectivamente. Se o time n˜ao melhor nem piorar, conseguira mais vit´orias ou derrotas a longo prazo? Solu¸ c˜ ao: Primeiro vamos considerar as probabilidades ap´os Ganhar uma partida. G 1/2 1/5 3/10

G P E

Agora as probabilidades ap´os Perder um jogo. G P E

G 1/2 1/5 3/10

P 3/10 3/10 2/5

E finalmente as probabilidades ap´ os Empatar. G P E

G 1/2 1/5 3/10

P 3/10 3/10 2/5

E 1/5 2/5 2/5

Observe que esta ultima matriz ´e regular (quadrada e com possibilidade de invers˜ ao). Assim podemos aplicar o teorema 1.5.4.   pG 0.5  pP  =  0.2 0.3 pE 

0.3 0.3 0.4

   pG 0.2 0.4  ·  pP  0.4 pE

   pG 0.5pG + 0.3pP + 0.2pE  pP  =  0.2pG + 0.3pP + 0.4pE  pE 0.3pG + 0.4pP + 0.4pE 

Que resulta nas seguintes equa¸c˜oes. 0.5pG + 0.3pP + 0.2pE = pG 0.2pG + 0.3pP + 0.4pE = pP 0.3pG + 0.4pP + 0.4pE = pE e nos possibilita montar o seguinte sistema:   −0.5pG + 0.3pP + 0.2pE = 0 0.5pG − 0.7pP + 0.2pE = 0  0.5pG + 0.3pP − 0.6pE = 0

15

´ Algebra Moderna

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Al´em disso, sabemos que as somas das probabilidades ´e igual a um (pG + pP + pE = 1). Da´ı, 29 24 26 e pE = . pG = , pP = 79 79 79

...