Fase 4 - Ecuaciones diferenciales de segundo orden Grupo 5 PDF

Preview

Summary

UNIDAD 2. FASE 4– ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN YORDEN SUPERIORECUACIONES DIFERENCIALESUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD5 de noviembre del 2021INTRODUCCIÓNA continuación, se establece un documento mediante el cual se resuelven un conjunto deejercicios de ecuaciones diferen...

Description

UNIDAD 2. FASE 4– ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD 5 de noviembre del 2021

INTRODUCCIÓN

A continuación, se establece un documento mediante el cual se resuelven un conjunto de ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior y segundo orden, a través de los cuales se demuestran el domino por parte del estudiante de la presente unidad de estudio y la aplicación que ella puede tener en los diferentes capos de construcción e ingeniería. Las ecuaciones diferenciales se establecen como una ecuación que involucra derivadas o diferenciales de una función desconocida de una o más variables. Por tanto, si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Dicho todo esto, las ecuaciones diferenciales son de especial utilidad en la ingeniería electrónica para la creación de circuitos, en la química para establecer las velocidades de reacciones de los compuestos, en la mecánica para determinar las vibraciones mecánicas y en la economía para establecer modelos económicos.

UNIDAD 2. FASE 4– ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

❖ Ejercicio 1. Desde la revisión en las referencias bibliográficas Consultar el modelado de las ecuaciones diferenciales en los siguientes temas:

✓ SISTEMAS MASA RESORTE. • Movimiento libre no amortiguado. Ley de Hooke Suponga que un resorte flexible está suspendido verticalmente de un soporte rígido y después una masa m se sujeta a su extremo libre. La cantidad de estiramiento o elongación del resorte dependerá, por supuesto, de la masa; las masas con diferentes pesos estiran el resorte en diferentes cantidades. De acuerdo con la ley de Hooke, el propio resorte ejerce una fuerza de recuperación F que es contraria a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de elongación s. Expresado de manera sencilla, F = ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.

La Ecuación diferencial para un sistema masa resorte es: 𝑚 𝑑𝑡 2 + 𝑑2 𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝛽 + 𝑘𝑥 = 0

Ecuación diferencial de movimiento libre no amortiguado. Como se indica el movimiento no es amortiguado entonces el valor de 𝑐 = 0 y la ecuación se reduce a 𝑚 𝑑𝑡 2 + 𝑘𝑥 = 0 𝑑2 𝑥

Se divide entre la masa “m”: 𝑘 𝑑2 𝑥 + 𝑚𝑥 𝑑𝑡 2

=0

Donde: 𝑘

𝑚

= 𝜔2

𝑑2 𝑥 + 𝑑𝑡 2

𝜔2 𝑥 = 0

La ecuación describe el movimiento armónico simple no amortiguado. La solución general para esta ecuación es: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 𝜔𝑡 + 𝐶2 sen 𝜔𝑡

Las soluciones auxiliares: 𝑚2 + 𝜔2 = 0 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 Periodo: 𝑇 = 2𝜋/𝜔

Frecuencia: 𝑓 = 1/𝑇

Forma alternativa de 𝑥(𝑡) cuando 𝐶1 ≠ 0 𝑦 𝐶2 ≠ 0. La amplitud real de A de las vibraciones no es evidente por simple inspección 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + ∅)

Donde 𝐴 = √𝐶12 + 𝐶22 y ∅ es el ángulo de fase definido

sen ∅ = 1 𝐶1 𝐴 { 𝐶2 } tan ∅ = 𝐶 2 cos ∅ = 𝐴 𝐶

• Movimiento amortiguado. El concepto de movimiento armónico libre es un tanto irreal, dado que el movimiento descrito por la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre la masa puesta en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto habrá al menos una fuerza resistente debida al medio circundante.

Ecuación diferencial de movimiento libre amortiguado En el estudio de la mecánica, las fuerzas amortiguadoras que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a la potencia de la velocidad instantánea. En particular, a lo largo del siguiente análisis supondremos que esta

fuerza está determinada por un múltiplo constante de 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Cuando no se aplican otras fuerzas externas al sistema, de la segunda ley de Newton se deduce que: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

+𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡

+ 𝜔2 𝑥 = 0

Donde 𝛽 es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia de que la fuerza de amortiguamiento actúa en dirección opuesta al movimiento. 2𝜆 =

𝛽

𝑚

b. CIRCUITOS. Otra aplicación importante de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes está en los circuitos eléctricos en serie, llamados también circuitos eléctricos en serie RLC, que se encuentran frecuentemente en la ingeniería eléctrica. Un circuito así usualmente incluye un resistor, cuya resistencia es R ohmnios (V), un capacitor, cuya capacitancia es C faradios (F), y un inductor (o bobina), cuya inductancia es L henrios (H). El voltaje E(t) llega al circuito mediante una batería, un generador, señales de radio o de TV o, simplemente, la electricidad doméstica. Una batería suministra un voltaje constante de magnitud E0, mientras que un generador suministra un voltaje periódico que puede expresarse como E0 cos 𝑣𝑡, o E0 sen 𝑣𝑡, donde la constante E0 es la amplitud del voltaje en voltios (V) y v es su frecuencia (circular). La cantidad que interesa principalmente en este circuito eléctrico es la corriente, que se define como la cantidad de carga eléctrica Q que fluye por unidad de tiempo. 𝐼=

𝑑𝑄 𝑑𝑡

𝐼𝑑𝑡 = 𝑑𝑄

Símbolos y unidad de medida: Resistencia R Ohmnios Capacitor C faradios Inductancia L henrio I corriente Q carga eléctrica dQ dt razón de cambio de carga en el tiempo la corriente. La corriente I que fluye por un circuito está determinada por la ley de Kirchhoff: la suma de las caídas de voltaje en un circuito de un solo lazo es igual al voltaje aplicado.

c. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. Si una función es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, un múltiplo constante de esa función también es una solución. Si dos funciones son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, una combinación lineal de ellas también es una solución de esa ecuación diferencial. Esto se conoce como principio de superposición; el cual es aplicable sólo a ecuaciones lineales homogéneas. No es aplicable a ecuaciones no homogéneas, aun cuando sean lineales. Teorema

Si 𝑉1 𝑉2 son soluciones del EDP 𝐿[𝑈] = 0

𝐶1 𝑉1 + 𝐶2 𝑉2 son soluciones para cualquier constante 𝐶1 , 𝐶2

𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉𝑛 soluciones 𝐿[𝑈] = 0 𝐶1 𝑉1 + 𝐶2 𝑉2 + 𝐶𝑛 𝑉𝑛

Demostración.

𝐿(𝑉1 ) = 0

𝐿(𝑉2 ) = 0

𝐿(𝑉𝑛 ) = 0

𝐿(𝐶1 𝑉1 + 𝐶2 𝑉2 + 𝐶𝑛 𝑉𝑛 ) = 𝐿(𝐶1 𝑉1 ) + 𝐿(𝐶2 𝑉2 ) + ⋯ + 𝐿(𝐶𝑛 𝑉𝑛 ) 𝐶1 𝐿(𝑉1 ) + 𝐶2 𝐿(𝑉2 ) + 𝐶𝑛 𝐿(𝑉𝑛 ) = 0 𝐶1 (0) + 𝐶2 (0) + 𝐶𝑛 (0)

Sea Up solución particular de la EPD lineal no homogénea 𝐿(𝑉) = 𝑓 (La solución general de la 𝐿(𝑉) = 𝑓

𝑈 = 𝑈𝑃 + 𝑈𝐻 (una solución general de la ecuación homogénea 𝐿[𝐶𝑉] = 0 Principio de la superposición

Si L es un operador diferencial lineal y 𝑉1 , 𝑉2 , … . . 𝑉𝑘 𝐿(𝑉1 ) = 𝑓1

𝐿(𝑉2 ) = 𝑓2

𝐿(𝑉𝑘 ) = 𝑓𝑘

𝐶1 𝑉1 + 𝐶2 𝑉2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑉𝑘 solución de 𝐿(𝑉) = 𝑓

Donde: 𝑓 = 𝐶1 𝑓1 + 𝐶2 𝑓2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑓𝑘

❖ Ejercicio 2. Determinar si las funciones son linealmente independientes en los intervalos:

𝒂. 𝒑𝟏(𝒙) = 𝒙𝒆𝒙 , 𝒑𝟐(𝒙) = 𝒆𝒙 , 𝑰 = (−∞, ∞).

Solución:

𝑥𝑒 𝑥 𝑊(𝑝1 (𝑥), 𝑝2 (𝑥 )) = |(𝑥 + 1)𝑒 𝑥

𝑒𝑥 | = ((𝑥𝑒 𝑥 ) ∙ (𝑒 𝑥 )) − [((𝑥 + 1)𝑒 𝑥 ) ∙ (𝑒 𝑥 )] 𝑒𝑥

𝑊(𝑝1 (𝑥), 𝑝2 (𝑥 )) = 𝑥𝑒 2𝑥 − (𝑥 + 1)𝑒 2𝑥 𝑊(𝑝1 (𝑥), 𝑝2 (𝑥 )) = 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥

𝑾 = −𝒆𝟐𝒙

Por lo tanto, determinamos que estas funciones son linealmente independientes.

b. Determinar si las funciones son linealmente independientes en los intervalos:

𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 , 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙 , 𝒇𝟑 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 Solución: Tomamos como ecuación base 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 = 0 Reemplazamos valores

𝑐1 (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) + 𝑐2 𝑒 2𝑥 + 𝑐3 cos ℎ𝑥 = 0

𝑐1 𝑒 𝑥 − 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 + 𝑐3 cos ℎ𝑥 = 0

No se puede factorizar ya que no tienen términos en común, así que el resultado de la ecuación será cero solo cuando sus constantes sean igual a cero. En otras palabras, estas funciones son linealmente independientes.

c. Probar que las funciones:

𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒆𝒓𝟏𝒙 , 𝒗𝒇𝟐 (𝒙) = 𝒆𝒓𝟐𝒙 , 𝒇𝟑 (𝒙) = 𝒆𝒓𝟑𝒙 Solución: Tienen el wronskiano: 𝑤[𝑓1 𝑓2 𝑓3 ](𝑥) =

𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥

1 | 𝑟1 𝑟12

1 𝑟2 𝑟22

1 𝑟3 | = 𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 (𝑟3 − 𝑟1 )(𝑟3 − 𝑟2 )(𝑟2 − 𝑟1 ) 𝑟32

Entonces determinar las condiciones de 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 tales que {𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 } es linealmente

independiente en cada intervalo. ¿Qué conclusión se puede proponer acerca los resultados obtenidos? Primero debemos hallar los valores de la primera y la segunda derivada 𝑓1 (𝑥) = 𝑒 𝑟1𝑥 ; 𝑓 ′1 (𝑥) = 𝑟1 𝑒 𝑟1𝑥 ; 𝑓 ′′1 (𝑥) = 𝑟1 2 𝑒 𝑟1𝑥

𝑓2 (𝑥) = 𝑒 𝑟2𝑥 ; 𝑓 ′ 2 (𝑥) = 𝑟2 𝑒 𝑟2𝑥 ; 𝑓 ′′2 (𝑥) = 𝑟2 2 𝑒 𝑟2𝑥

𝑓3 (𝑥) = 𝑒 𝑟3𝑥 ; 𝑓 ′ 3 (𝑥) = 𝑟3 𝑒 𝑟3𝑥 ; 𝑓 ′′3 (𝑥) = 𝑟3 2 𝑒 𝑟3𝑥

Ahora, determinemos si estas funciones tienen el siguiente wronskiano: 1 𝑤[𝑓1 𝑓2 𝑓3 ](𝑥) = 𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 | 𝑟1 𝑟12

1 𝑤[𝑓1 𝑓2 𝑓3 ](𝑥) = 𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 | 𝑟1 𝑟12

𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 ∗ 1 |

𝑟1 𝑟2 𝑟3 2| ∗ 1 | 2 2 𝑟1 𝑟2 𝑟3

1 𝑟2 𝑟22

1 𝑟2 𝑟22

1 𝑟3 | = 𝑒(𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 (𝑟3 − 𝑟1 )(𝑟3 − 𝑟2 )(𝑟2 − 𝑟1 ) 𝑟32 1 𝑟3 | 𝑟32

𝑟1 𝑟3 2| ∗ 1 | 2 𝑟3 𝑟1

𝑟2 | 𝑟22

𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 ∗ [(𝑟2 𝑟32 − 𝑟3 𝑟22 ) ∗ (𝑟1 𝑟32 − 𝑟3 𝑟12 ) ∗ (𝑟1 𝑟22 − 𝑟2 𝑟12 )] 𝑒 (𝑟1 +𝑟2 +𝑟3 )𝑥 ∗ [𝑟22 𝑟32 (𝑟3 − 𝑟2 ) ∗ 𝑟12 (𝑟3 − 𝑟1 ) ∗ (𝑟2 − 𝑟1 )] Determinamos entonces que el wronskiano de las funciones es:

𝒘[𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑](𝒙) = 𝒆(𝒓𝟏 +𝒓𝟐 +𝒓𝟑 )𝒙 ∗ [𝒓𝟐𝟐𝒓𝟑𝟐(𝒓𝟑 − 𝒓𝟐) ∗ 𝒓𝟐𝟏(𝒓𝟑 − 𝒓𝟏) ∗ (𝒓𝟐 − 𝒓𝟏)] d. Determinar el wronskiano de las soluciones dadas para la ecuación diferencial dada en el intervalo 𝒙 > 𝟎. Solución:

i) Con la fórmula del worskiano, ii) Usando el teorema de identidad de Abel, iii) ¿Qué conclusión se puede establecer? Para poder determinar el wronskiano, es necesario recordar los valores de 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐, para poder obtener 𝒚′𝟏 y 𝒚′𝟐. Así: 𝑦1 = 𝑥 3 ; 𝑦′1 𝑥 3 1

𝑦2 = 𝑥

2

1 2

3

; 𝑦′2 = −2𝑥 −2

Planteamos un determinante 2x2 para poder determinar el Wronskiano:

𝑦1 𝑤(𝑦1 , 𝑦2 ) = [ 𝑦′1

𝑦2 𝑦′2 ]

Reemplazamos el determinante por los valores 𝑦1, 𝑦2, 𝑦′1 y 𝑦′2: 1

𝑥3

𝑤(𝑦1 , 𝑦2 ) = [1 3

−2𝑥 −3 − 𝑥 −3 3 5

−

4

5

𝑥

2 3

2

𝑥

−2𝑥

−2

] = (𝑥 3 −2𝑥 −2 ) − ( 𝑥 − 3 ∗ 𝑥) 1

1

3

2

2

𝟏𝟎 𝟑

El wronskiano es −

𝟏𝟎 𝟑

≠ 𝟎, así que la ecuación es linealmente independiente.

❖ Ejercicio 3. Para las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden, sean 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 soluciones de la ecuación diferencial. Determine por inspección si 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 también es una solución de esa ecuación:

𝒂. 𝒚´´ + 𝟑𝒚´ − 𝒚 = 𝟎 Solución: Reescribimos la ecuación:

𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥

𝑦´´ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 Ahora reemplazamos la ecuación diferencial: 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 − 3𝑚𝑒 𝑚𝑥 − 𝑒 𝑚𝑥 = 0 Hallamos el factor común: 𝑒 𝑚𝑥 (𝑚2 − 3𝑚 − 1) = 0 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0

Hallamos las raíces por medio de la ecuación cuadrática:

𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = −1 𝑚=

𝑚=

𝑚=

−(−3)±√(−3)2 −4(1)(−1) 3±√9+4 2

3±√13 2

𝑚1 =

𝑚2 =

2(1)

3+√13 2

3−√13 2

= 3,30

= −0,30

Obtenemos que las soluciones son: 𝑦1 = 𝑒 𝑚1 𝑥

𝑦1 = 𝑒 3,30𝑥

∧

∧

𝑦2 = 𝑒 𝑚2 𝑥

𝑦2 = 𝑒 −0,30𝑥

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑚2 𝑥

𝒚(𝒙) = 𝑪𝟏𝒆𝟑,𝟑𝟎𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟎,𝟑𝟎𝒙 𝒃. 𝒚´´ + 𝟓𝒚𝟐 = 𝟎 Solución: No es una ecuación diferencial ordinaria, que la ecuación diferencial ordinaria es de la forma: 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0

Por lo tanto, al presentar 𝑦 2 no se cumple la condición de ser una ecuación diferencial. Ejercicio 4. Verificar la solución de las ecuaciones diferenciales y determinar la solución particular:

𝒂. 𝒚´´ − 𝒚 = 𝟎; 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙 ; 𝒚𝟐 = 𝒆−𝒙 ; 𝒚(𝟎) = 𝟎; 𝒚´(𝟎) = 𝟓 Solución: Reescribimos la ecuación:

𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥

𝑦´´ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 Ahora reemplazamos la ecuación diferencial: 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 − 𝑒 𝑚𝑥 = 0

Hallamos el factor común: 𝑒 𝑚𝑥 (𝑚2 − 1) = 0

𝑚2 − 1 = 0

(𝑚 − 1)(𝑚 + 1) = 0 Hallamos los valores de m: 𝑚1 − 1 = 0 ⟹ 𝑚1 = 1

𝑚2 + 1 = 0 ⟹ 𝑚2 = −1 De acuerdo a las raíces distintas homogéneas, obtenemos la solución: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥

𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 1𝑥 + 𝐶2 𝑒 −1𝑥 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

Aplicamos las condiciones iníciales de la ecuación: 𝑦´(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥

Procedemos a hallar el sistema de ecuaciones: 𝑦(0) = 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 −0

0 = 𝐶1 ∗ 1 + 𝐶2 ∗ 1 0 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶1 = −𝐶2

𝑦´(0) = 𝐶1 𝑒 0 − 𝐶2 𝑒 −0

5 = 𝐶1 ∗ 1 − 𝐶2 ∗ 1 5 = 𝐶1 − 𝐶2 𝐶1 = 5 + 𝐶2

Igualamos las ecuaciones y así hallamos el valor de 𝐶2 :

𝐶1 = 𝐶1

−𝐶2 = 5 + 𝐶2

−𝐶2 − 𝐶2 = 5

−2𝐶2 = 5

𝐶2 = −

5

2

Procedemos a hallar el valor de 𝐶1 :

𝐶1 = − (− 2) 5

𝐶1 =

5

2

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑥 + (− ) 𝑒 −𝑥 2 2 5

5

𝒚(𝒙) = 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 𝟐 𝟐 𝟓

𝟓

𝒃. 𝒚´´ + 𝟒𝒚 = 𝟎; 𝒚𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 ; 𝒚𝟐 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 ; 𝒚(𝟎) = 𝟑; 𝒚´(𝟎) = 𝟖 Solución: Reescribimos la ecuación:

𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥

𝑦´´ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 Ahora reemplazamos la ecuación diferencial: 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 4𝑒 𝑚𝑥 = 0

Hallamos el factor común: 𝑒 𝑚𝑥 (𝑚2 + 4) = 0

𝑚2 + 4 = 0

Hallamos las raíces por medio de la ecuación cuadrática:

𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 4 𝑚=

𝑚= 𝑚=

𝑚=

−0±√(0)2 −4(1)(4) 2(1) −0±√0−16 2

−0±√−16 2 ±√16𝑖

𝑚1 =

𝑚2 =

2

√16𝑖 2

= 𝑖 2 = 2𝑖

−√−16𝑖 2

4

= −𝑖 2 = −2𝑖 4

De acuerdo a las raíces complejas homogéneas, obtenemos la solución: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥)) 𝑦 = 𝑒 0 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥))

𝑦 = 1 ∗ (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥))

𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sen 2𝑥

Aplicamos las condiciones iníciales de la ecuación: 𝑦´(𝑥) = −2𝐶1 sen 2𝑥 + 2𝐶2 cos 2𝑥

Procedemos a hallar el sistema de ecuaciones:

𝑦(0) = 𝐶1 < cos 2𝑥 + 𝐶2 sen 2𝑥 3 = 𝐶1 cos 2(0) + 𝐶2 sen 2(0) 3 = 𝐶1 cos 0 + 𝐶2 sen 0 3 = 𝐶1 ∗ 1 + 𝐶2 ∗ 0 3 = 𝐶1

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: 𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sen 2𝑥 𝒚 = 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝟒 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙

Ejercicio 5. Hallar la solución a las ecuaciones diferenciales: 𝒂. 𝒚´´ + 𝟑𝒚´ + 𝟒𝒚 = 𝟎

Solución: Ecuación cartesiana

𝑒 𝑚𝑥 (𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 ) = 0 𝑚2 + 3𝑚 + 4 = 0

Hallamos las raíces por medio de la ecuación cuadrática:

𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 4 𝑚=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

𝑚=

−3±√(3)2 −4(1)(4)

𝑚=

−3±√−7 2

2(1)

𝑚=

−3±√9−16 2

𝑚=

−3±√7𝑖

𝑚1 =

𝑚2 =

2

−3+√7𝑖 2

−3−√7𝑖 2

= −2 + 𝑖 3

√7

= −2− 𝑖

√7 2

3

2

La solución general para raíces imaginarias es:

𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥)) Reemplazamos las raíces: 𝑥 √ 𝑦 = 𝑒 −2 (𝐶1 cos ( 2 𝑥) + 𝐶2 sen ( 3

7

√7 2

𝑥))

Simplificamos: 𝒚 = 𝒆− 𝟐 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟑𝒙

√𝟕 𝟐

𝒙) + 𝑪𝟐 𝐬𝐞𝐧 (

√𝟕 𝟐

𝒙))

𝒃. 𝒚´´ + 𝟓𝒚´ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎 Solución: A esta ecuación se le asocia una ecuación auxiliar de la forma: 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0. Al resolver esta ecuación cuadrática se obtienen dos raíces y la solución de la ecuación diferencial depende de la clase de raíces obtenidas

𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 ≠ 0

𝑎𝑚2 + 5𝑚 + 25 = 0

La fórmula general dice 𝑚 =

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

. Donde 𝑎 = 1; 𝑏 = 5 𝑦 𝑐 = 25, procedemos a

reemplazar valores 𝑚=

𝑚=

𝑚=

−5±√(5)2 −4(1)(25) 2(1)

−5±√25−100 2 −5±√−75 2

𝑚=

−5±5√−3

𝑚=

−5±𝑖5√3

𝑚=

2

−5±5√𝑖 2 −3∗1 2 2

𝑦= −2 +𝑖 5

, 𝑦 = −2 −𝑖

5√3

5

2

5√3 2

Tenemos dos raíces complejas conjugadas 𝑦1 = 𝑎 + 𝑖𝛽,

𝑦2 = 𝑎 − 𝑖𝛽

La solución general toma la forma de 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑡 (𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡))

𝑒 −2 (𝐶1 cos ( 5

𝑡

5√3 2

𝑡) + 𝐶2 sin (

𝒚 = 𝒆−𝟐 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟓

𝒕

𝟓√𝟑𝒕 𝟐

5√3 2

𝑡))

) + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 (

𝟓√𝟑𝒕 𝟐

))

c. 𝒚´´´ + 𝟔𝒚´´ + 𝟗𝒚´ = 𝟎 Solución:

Una ecuación diferencial de tercer orden homogénea con coeficientes constantes y tiene la siguiente forma: Para una ecuación 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1 𝑦´ + 0𝑦 = 0 Reescribimos la ecuación ((𝑒 𝑟𝑥 ))´´´ + 6((𝑒 𝑟𝑥 ))´´ + 9((𝑒 𝑟𝑥 ))´ = 0 𝑟 3 + 6𝑟 2 + 9𝑟 = 0

Ahora factorizamos 𝑟 𝑟(𝑟 2 + 6𝑟 + 9) = 0

𝑟(𝑟 + 3)(𝑟 + 3) = 0 𝑟=0

(𝑟 + 3) = 0

𝑟=0

𝑟+3= 0

𝑟 = −3

𝑦1 = 𝑒 0𝑥 = 0

𝑟 = −3,

𝑦2 = 𝑒 −3𝑥

𝑦3 = 𝑒 −3𝑥

Hallamos la solución general 𝒚 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒆−𝟑𝒙 + 𝒄𝟑 𝒆−𝟑𝒙 d. 𝒚´´ + 𝟐𝒚´ + 𝒚 = 𝟎; 𝒚(𝟎) = 𝒚´(𝟐) = 𝟔 Solución:

Se reescribe la ecuación 𝑦 = 𝑒𝛾𝑡

(𝑒 𝛾𝑡 )´´ + 2(𝑒 𝛾𝑡 )´ + 𝑒 𝛾𝑡 = 0 Simplificamos

𝑒 𝑦𝑡 (𝛾 2 + 2𝛾 + 1) = 0

𝛾 = −1 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 2

Para la raíz 𝛾, toma forma la solución 𝑦1 = 𝑐1 𝑒 𝛾𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 𝛾𝑡

𝑦2 = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 −𝑡

Aplicamos las condiciones iniciales 𝒚 = −𝟔𝒆𝟐−𝒕 𝒕 Ejercicio 6. Usando el Teorema de identidad de Abel, determinar el wronskiano y el intervalo de solución de la ecuación diferencial:

𝒙𝟐𝒚´´ − 𝒙(𝒙 + 𝟐)𝒚´ + (𝒙 + 𝟐)𝒚 = 𝟎 Solución:

Planteamos la forma estándar de la ecuación 𝑦´ + 𝑝(𝑥)𝑦´ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦´´ −

𝑦´´ −

𝑥(𝑥+2) 𝑥2

(𝑥+2) 𝑥

𝑦´ +

𝑦´ +

(𝑥+2) 𝑥2

(𝑥+2) 𝑥2

=0

=0

Usamos el teorema de identidad de Abel: 𝑦2 = 𝑦1 ∫

𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑦12

𝑝(𝑥) = −

(𝑥+2)

Tomamos 𝑦1 = 𝑥

𝑑𝑥

𝑥

Aplicamos el teorema 𝑦2 = 𝑥 ∫

(𝑥+2) 𝑑𝑥 𝑥

− − 𝑒 ∫

𝑥2

𝑑𝑥

𝑦2 = 𝑥 ∫

𝑦2 = 𝑥 ∫

𝑒 𝑥+2ln (|𝑥|) 𝑥2

𝑑𝑥

𝑥2 𝑒 𝑥 𝑥2

𝑑𝑥

Eliminamos 𝑥 2

𝑦2 = 𝑥 ∫

𝑒 𝑥 𝑑𝑥;

𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥

Se determina el wornskiano lo definimos como un determinante 2x2 𝑤(𝑦2 , 𝑦1 ) = [𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 ] Tenemos que 𝑦1 = 𝑥

𝑦´1 = 1

𝑦´2 = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥

𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 Remplazamos

𝑤(𝑦2 , 𝑦1 ) = [𝑥 𝑥𝑒 𝑥 1 𝑥𝑒 𝑥 ]

Hallamos el intervalo de solución 𝑞(𝑥) 𝑦 𝑝(𝑥) 𝑝(𝑥) =

(𝑥+2)

𝑞(𝑥) =

(𝑥+2)

𝑥

,𝑥 ≠ 0

Continua (−∞, 0)𝑢 (0, ∞) y para 𝑥2

,𝑥 ≠ 0

Continua (−∞, 0)𝑢 (0, ∞) y para

Definimos el intervalo de solución para

𝒙𝟐𝒚´´ − 𝒙(𝒙 + 𝟐)𝒚𝟏 + (𝒙 + 𝟐)𝒚 = 𝟎

(−∞, 𝟎)𝒖 (𝟎

Ejercicio 7....