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Fatica dei materiali Tensione media Danneggiamento - Ipotesi di Miner

Corso di Costruzione di macchine Corso di laurea magistrale in Ingegneria meccanica

Antonio Gugliotta

Effetto della tensione media La maggior parte delle prove Deformazione - Durata sono con ciclo alterno simmetrico

)a z zeip mA ( elatot enoi za mro feD

1.E-01

1.E-02

1.E-03 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

Durata (Alternanze 2Nf)

Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

2

Effetto della tensione media I carichi di servizio possono causare una tensione media

(V0)

3

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Effetto della tensione media Effetto della tensione media sul comportamento Deformazione -Durata

'H

Tensione media di compressione Tensione media nulla

2 Tensione media di trazione

2Nf

Per durate elevate una tensione media di compressione migliora il comportamento a fatica Per durate elevate una tensione media di trazione peggiora il comportamento a fatica Per durate brevi la tensione media ha scarso effetto sul comportamento a fatica Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Effetto della tensione media Rilassamento della tensione media Cicli di deformazione plastica elevata causano il rilassamento della tensione media (la tensione media

V0

tende

a zero)

NOTA: Sebbene la storia delle deformazioni ha un valor medio alto di trazione il ciclo di isteresi è quasi simmetrico (alterno simmetrico). Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Effetto della tensione media Rilassamento della tensione media Il grado di rilassamento dipende dal materiale e dalla deformazione plastica

NOTA: Rilassamento della tensione e “softening” ciclico sono fenomeni diversi. La tensione media è spesso trascurata nell’analisi Deformazione - Durata:

1. L’ampiezza della Deformazione (non la tensione media) è il termine più importante per il danneggiamento 2. Deformazioni elevate generano cicli di isteresi quasi simmetrici 3. Rilassamento della tensione media Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Effetto della tensione media

H-N

Modifica dell’equazione Equazione di Morrow

Originariamente proposta per modificare l’equazione Tensione-Durata

Va Se



Vm Vf

1

V f N f 

SN

b

Combinando e usando la notazione Deformazione-Durata

'V 2

V cf  V 0 2N f



b

7

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Effetto della tensione media

H-N

Modifica dell’equazione Equazione di Morrow

Il termine della tensione media è applicato solo al termine della deformazione elastica dell’equazione

'H 2

V fc  V 0 E

2N 

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b

f

H- N

 H cf 2N f 

c

8

Effetto della tensione media

H-N 'H/2

Modifica dell’equazione Equazione di Morrow

V'f/E

'H 2

V cf  V 0 E

 2N 

b

f

 H cf  2N f 

c

Tensione media nulla

Vo/E Tensione media di trazione

Rappresentazione grafica (Tensione media di trazione)

2N f

'V 2

V cf 2N f 

Nota: questo metodo causa una discrepanza tra le relazioni V-H e H-N

'H 2

b

'H p 2

H cf 2N f 

c

' V 'H p  2E 2 9

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Effetto della tensione media Modifica dell’equazione

H-N

Equazione di Morrow

Questo metodo predice che il rapporto tra la deformazione elastica e quella plastica è dipendente dalla tensione media, cosa non vera. I cicli di isteresi hanno la stessa forma, sono solo spostati nel piano V-H

(NOTA: In figura la parte plastica del ciclo di isteresi piccolo è esagerata per chiarezza di rappresentazione.) Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Effetto della tensione media Modifica dell’equazione

H-N

Equazione di Smith-Watson-Topper

Questo metodo usa la tensione massima (VMAX) del ciclo di isteresi invece della tensione media (V0) Per un carico alterno simmetrico b 'V V MAX V cf  2N f  2 Moltiplicando l’equazione H-N (per un ciclo alterno simmetrico) per questo termine b c ' H V cf 2N f   H cf  2N f   2 E 11

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Effetto della tensione media Modifica dell’equazione

H-N

Equazione di Smith-Watson-Topper

V MAX

'H 2

V c 

2

f

E

 b c 

 2N f   V cf H cf  2N f  2b

Parametri di carico: VMAX e 'H/2 Parametri del Materiale (V഻f, b, H഻f, c) Il termine VMAX può essere valutato come:

VMAX

'V  V0 2

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Effetto della tensione media Modifica dell’equazione

H-N

Equazione di Smith-Watson-Topper L’equazione ha la forma generale:

V MAX' H v N f indefinita quando VMAX è negativa. L’interpretazione fisica è che non si ha danneggiamento da fatica quando VMAX < 0. NOTA: Le equazioni di Morrow e di SWT danno lo stesso risultato per deformazioni alterne simmetriche (V0 = 0) se: V cf b c Kc n nc c  H cf  Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Carico ad ampiezza variabile 1. Storia di carico (in servizio) Blocco di carico (Tempo di servizio, evento tipico, ciclo di servizio, etc.)

Storia di carico ad ampiezza variabile

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Carico ad ampiezza variabile 2. Dati del materiale di base Generalmente ad ampiezza costante

Vf

S-N

S1000 Sa

Se

102

100

104

106

Nf

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Carico ad ampiezza variabile 2. Dati del materiale di base Generalmente ad ampiezza costante

H’f 'H

H-N

2

V’f

c Elastica

E

Totale = Elastica + Plastica

b

Plastica 2Nt 1.0E+00

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2Nf

1.0E+07

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Come collegare la storia di carico e i dati del materiale di base?

A. Definizione di danneggiamento. B. Metodo per riconoscere l’evento di danneggiamento in una storia variabile di carico e quindi estrarre eventi ad ampiezza costante dalla storia reale (Metodo di Conteggio dei Cicli): Tensione-Durata: Va, Vm Deformazione-Durata: 'H/2, V0 o VMAX

C. Metodo per sommare il danneggiamento. (Metodo Lineare)

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Definizione del Danneggiamento a fatica

Dimensione “a” della cricca

Frattura finale

Nucleazione della cricca

Durata (N)

Crescita della cricca

Innesco della cricca

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Propagazione della cricca

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Propagazione (NP) Danneggiamento = Lunghezza della cricca Il Danneggiamento può essere misurato direttamente L’analisi della durata può essere combinata con metodi di ispezione (Ultrasuoni, Raggi X, Liquidi Penetranti) Si possono fare Predizioni per gli intervalli di Ispezione, per il ritiro dei componenti danneggiati, …

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Innesco (Ni) Danneggiamento = Effetti Microscopici (Dislocazioni, Slip bands, Microcricche) Danneggiamento difficile da misurare Richiede un’assunzione: Danneggiamento = “Frazione di vita usata”

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Innesco (Ni) Danneggiamento = “Frazione di vita usata” dove: Durata = Collasso di un provino caricato in controllo di tensione o di deformazione

Sa SN

ASU  N f 

B

'H 2

'H 2

V cf E

Nf

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 2N  f

b

 H fc  2Nf



c

2Nf

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Danneggiamento Lineare Palmgren (Sweden, 1924) Miner (USA, 1945) Si definisce il rapporto tra i cicli: rapporto tra i cicli = n/ N dove:

n

= # dei cicli applicati al livello di carico (S)

N = # di cicli a rottura al livello di carico (S)

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Danneggiamento Lineare Definita la frazione di danneggiamento (D), la rottura si ha quando:

D  Nel caso di ipotesi lineare di danneggiamento:

Di = ni/Ni al livello di carico (Si) IPOTESI DI BASE: Un dato carico causa lo stesso danneggiamento indipendentemente dalla sua posizione nella storia del carico – Nessun effetto della Sequenza

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Ipotesi di Miner

Si ha collasso quando:

ni ¦ N t Costante i

C

Da numerose prove sperimentali Miner trovò che la costante C variava da 0.5 a 2 Per una storia di carico “pseudo-random´&§

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Ipotesi di Miner

COMMENTI: La regola del danneggiamento lineare è semplice, ma funziona per storie di carico random Ove necessario l’effetto della sequenza del carico può essere tenuto in conto usando altri metodi Un valore conservativo della costante (0.2 - 0.3) può essere usata a scopo progettuale

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Dato un tipico blocco di carico

Si assuma che può essere ridotto in una serie di eventi ad ampiezza costante (Conteggio dei Cicli)

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner Lo Spettro di Carico può essere combinato con la regola di

Miner e il modello Carico-Durata (H-N o

V-N)

per calcolare

la durata a Fatica

Blocco Ampiezza di Numero di sollecitazione Cicli (ksi) 70 3 58 8 45 50 39 350 32 1000 27

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola di Miner e Tensione-Durata

Un componente in acciaio ha un limite di fatica (a 106 cicli) di 30 ksi e una tensione di 74 ksi per una durata di a 103 cicli. Lo spettro di carico applicato al componente è indicato in tabella (è rappresentato un blocco di carico).

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Blocco Ampiezza di Numero di sollecitazione Cicli (ksi) 70 3 58 8 45 50 39 350 32 1000

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola di Miner e Tensione-Durata DETERMINARE la durata del componente (in numero di

Blocco Ampiezza di Numero di sollecitazione Cicli (ksi) 70 3 58 8 45 50 39 350 32 1000

blocchi, Bf) e quanto ciascun livello di tensione contribuisce al danneggiamento totale. Usare il metodo

V-N, la regola

del Danneggiamento Lineare e una Costante di Miner pari a 1.

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola di Miner e Tensione-Durata SOLUZIONE: Relazione

b A

V-N: V N

§V · 1  log10 ¨ 1000 ¸ 3 © Ve ¹

V 1000 2 Ve

74 2 30

Relazione N-V:N

Z

log10  A 

2.261

AN 

b

1 § 74 ·  log10 ¨ ¸ 3 © 30 ¹ 182.53 A ' V N 

01307

ksi 1b

A'

10Z b

1.9839  1017

Regola Danneggiamento Lineare: D = n/N Costante di Miner: Collasso a

6D

= DTOT per Blocco = 1

(Danneggiamento per Blocco)x(Blocchi al Collasso) = 1 Blocchi al Collasso = Bf = 1/DTOT Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola di Miner e Tensione-Durata SOLUZIONE:

N Ampiezza di N D 1/b) Sollecitazione (N = A’( V ) (Cicli) (n/N) (ksi) (Cicli) 70 3 1530 0.00196 58 8 6449 0.00124 45 50 44951 0.00111 39 350 134348 0.00261 32 1000 610316 0.00164 Danneggiamento Totale per Blocco (6D) 0.00856 Blocchi al Collasso 117

% Dannegg. Totale 22.9 14.5 13.0 30.4 19.1 100

Durata Prevista: Bf = 117 Blocchi Notare la quota di danneggiamento causata da ciascun livello di tensione 32

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola di Miner e Tensione-Durata SOLUZIONE: Rappresentazione Grafica

V

i

ni

Ni Curva V-N

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola Danneggiamento Lineare Materiale: Alluminio 2024-T4 Provino: Piastra larga 12 in., spessa 1 in., foro diametro 2 in. Storia di Carico: Condurre prova a 0-20 ksi sino all’innesco della cricca (NI)

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola Danneggiamento Lineare

History Baseline History A History B

Crack Initiation Life Ni (Cycles) Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Average 90.700 113.000 123.000 141.000 117.000 233.000 269.000 696.000 1.010.000 552.000 61.800 62.000 62.800 65.400 63.000

La Regola del Danneggiamento Lineare spiega la differenza? Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola Danneggiamento Lineare Risposta approssimata

V- H

alla radice dell’intaglio.

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Danneggiamento – Ipotesi di Miner ESEMPIO – Regola Danneggiamento Lineare Risposta approssimata

V- H

alla radice dell’intaglio.

Notare la tensione media (V0) del ciclo di isteresi. Questo corrisponde alla tensione residua alla radice dell’intaglio a causa dei sovraccarichi precedenti. Il valore e il segno della tensione media dipende dalla

sequenza di Carico.

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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 1. Effetti della Tensione Media Locale Richiede la conoscenza della sequenza di carico Può essere tenuta in conto usando: Le Equazioni cicliche Tensione-Deformazione e di Isteresi 1/nc

V

§V · ¨ ¸ E ©Kc ¹

'H

'H

'V § 'V ·  2¨ ¸ E © 2Kc ¹

1/n c

Le Equazioni Deformazione-Durata + Tensione Media

'H 2

V MAX

V cf  V 0 E

'H 2

2N f   H cf 2N f 

V c  f

E

b

c

2

2N 

2b

f

 V fc H fc 2N f

b c 



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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 2. Effetti di Sovraccarico (deformazione) Sovraccarichi periodici causano la perdita del comportamento con il limite di fatica

S

Con ampiezza costante

Con sovraccarichi periodici

N Costruzione di macchine – fatica - v 2.0 - Antonio Gugliotta

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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 2. Effetti di Sovraccarico (deformazione) L’uso del limite di fatica (Se) per storie ad ampiezza variabile (con tensioni > Se) è problematico e può condurre a previsioni non conservative della durata. L’equazione Deformazione-Durata mostra un continuo decremento per durate elevate.

'H 2

H’f

V’ f

Elastica

E

c

Totale = Elastica + Plastica

'H

Vc

2

E

f

b

2N 

b

f

 Hc f

2N 

c

f

Plastica 2Nt 1.0E+00

2Nf

1.0E+07

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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 3. Accumulo del Danneggiamento

Normalmente avviene in storie di carico identificate chiaramente come Lo-Hi (basso – alto) o Hi-Lo (alto – basso) Questo avviene quando il carico su di un componente mostra un cambiamento a gradini durante la vita in servizio.

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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 3. Accumulo del Danneggiamento Si considerino le due storie. In quale caso il carico con ampiezza maggiore provoca maggior

danneggiamento? E

perché?

Hi-Lo

Lo-Hi

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Danneggiamento Effetti della sequenza di carico 3. Accumulo del Danneggiamento Metodi per tener conto degli effetti: Modelli di propagazione della cricca Regola del Danneggiamento Lineare + Costante di Miner appropriata (Collasso a

6D = C)

Lo-Hi: C>1 Hi-Lo: C...