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PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(x + y) 2

=

Quadrado da soma de dois termos

x2

+

2xy

Duas vezes o produto do 1º pelo 2º

Quadrado do 1º termo

y2

+

Quadrado do 2º termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Exemplo 1: a) (x + 3y)2= x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2. b) (7x + 1)2= c) (a5+2bc)2= 2

3⎞ ⎛ d) ⎜ 2m + ⎟ = 4⎠ ⎝ QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS = x2 – 2xy (x – y) 2 Quadrado da diferença de dois termos

Quadrado do 1º termo

Duas vezes o produto do 1º pelo 2º

y2

+

Quadrado do 2º termo

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo 2: 1) (7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 42 = 49x2 – 56x + 16. 2) (6a – b)2= 3) (x3 – xy)2= 2

⎛1 ⎞ 4) ⎜ p − 2h⎟ = ⎝5 ⎠ PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(x + y) Soma dos termos

.

(x – y) Diferença dos termos

=

x2 Quadrado do 1º termo

–

y2 Quadrado do 2º termo

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

1

Exemplo 3: 1) (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2. 2) (x2 + 5p) . (x2 – 5p)= 3) (10 – ab4) . (10 + ab4)= 3 ⎞ 3 ⎞ ⎛ ⎛ 4) ⎜ b 3 + c ⎟ .⎜ b 3 − c ⎟ = 5 ⎠ 5 ⎠ ⎝ ⎝ Exercícios. 1) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule:

a) (x + 3)2 b) (a + b)2 c) (5y – 1)2 d) (x2 – 6)2 e) (2x + 7)2 f) (9x + 1) . (9x – 1) g) (a2 – xy)2 2

1 ⎞ ⎛ h) ⎜ 3x − y ⎟ 6 ⎠ ⎝

i) (2x2 + 3xy)2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛1 2 j) ⎜ x y + 1⎟ . ⎜ x y −1⎟ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 3 3 2 k) (x y – xy ) l) (3y – 5)2 m)

(5 + 8b)2

n) (ab + a2) . (ab – a2) 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ o) ⎜b 3 − a 2 ⎟ . ⎜ b3 + a 2 ⎟ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ p) (10x2 – ab)2 q) (2a3 + 3a)2 r) (a4x2 + a2x4) . (a4x2 – a2x4) 1⎞ ⎛ s) ⎜6 x + ⎟ 6⎠ ⎝

2

⎛ y2⎞ t) ⎜⎜3 x 8 − ⎟⎟ 6 ⎠ ⎝

2

2

3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ u) ⎜2 x 2 − ⎟.⎜ 2 x 2 + ⎟ 5⎠ 5⎠ ⎝ ⎝ 3 2 3 v) (2x + 3y ). (2x – 3y2)

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(x + y) 3 Cubo da soma de dois termos

=

x3

+

Cubo do 1º termo

3x 2 y

+

Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo 2º

3xy 2

+

Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do 2º

y3 Cubo do 2º termo

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Exemplo 4: Efetue: a) (a + b)3 = b) (x + 4)3 = c) (2a + y)3 =

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(x + y)3 Cubo da diferença de dois termos

=

x3

Cubo do 1º termo

–

3x 2 y Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo 2º

+

3xy 2 Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do 2º

–

y3 Cubo do 2º termo

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Exemplo 5: Efetue: a) (a – b)3 = b) (x – 4)3 = c) (2a – y)3 =

3

FATORAÇÃO Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números.

Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocálo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Diferença de Quadrados Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença

de quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto, x2 – y2 = (x + y).(x – y). Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima. Exemplo 6: Fatore x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).

Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque

tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou seja,

é

o

resultado

de

(x

+

y)2.

Outro

trinômio

quadrado

perfeito

é

x2 – 2xy + y2, que é o resultado de (x – y)2. Assim, temos mais dois polinômios que sabemos fatorar: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.

Exemplo 7: a) Fatore x2 + 12x + 36. Neste caso x2 e 36 são quadrados e suas bases são x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim, x2 + 12x + 36 = (x + 6)2. b) 9x2 – 12x + 25 é um quadrado perfeito? Ora, 9x2 = (3x)2 e 25 = 52. Mas, 2.(3x).5 = 30x. Logo, 9x2 – 12x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito. c) Fatore x6 – 2x3y + y2. Nesse caso, x6 = (x3)2 e y2 = (y)2 e 2.x3.y = 2x3y. Logo, x6 – 2x3y + y2 = (x3 – y)2.

4

Exercícios: 2) Fatore as seguintes expressões: a) x2 – 4

b) y2 – 36 c) 9x2 – 16 d) 81x2 – 64 e) y2 – 25x2 f) 4x2 – 25a2 g) x2 + 8x + 16 h) x2 – 8x + 16 i) 4x2 – 20x + 25 j) 9x2 – 12x + 4 k) x2 – 2x + 1 l) 121x2 + 22x + 1 m) 16y2 – x4 n) 25m2 + 20m + 4 o) 25x2 –

10 3

x+

1 9

3) Observe a fatoração seguinte: a4 – 1 = (a2 + 1)(a2 – 1) = (a2 + 1)(a + 1)(a – 1) Agora, decomponha num produto de três fatores. a) x4 – 1 c) x20 – 81 4 b) 81a – 1 d) 625 – x4 4) Efetue as divisões seguintes, fatorando o dividendo. 25 x2 − 10 x + 1 x 2 − 14 x + 49 a) c) x −7 (5 x − 1) 2 x 2 − 16 x 2 + 6x + 9 b) d) x +4 x+ 3 5) Simplifique e efetue

123456 2 − 12345 2 . 123456 + 12345

5

FATOR COMUM Vamos efetuar essa multiplicação: 3x(y + 3z + 2).

3x(y + 3z + 2) = 3xy + 9xz + 6x. Agora, queremos fatorar 3xy + 9xz + 6x. Observe que em 3xy + 9xz + 6x, o termo 3x está presente em todos os monômios, isto é, 3xy + 9xz + 6x = (3x)y + (3x).3z + (3x).2, ou seja, 3xy + 9xz + 6x = 3x.(y + 3z + 2). Ao fazer isso, dizemos que 3x foi colocado em evidência. Quando todos os termos de uma expressão algébrica têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Exemplo 8: a) Fatore 6x3 + 8x2. O fator comum é 2x2. Assim, colocando 2x2 em evidência, temos: 6x3 + 8x2= 2x2(3x + 4). b) 14xy – 21xz c) 33xy2 – 44x2y + 22x2y2 d) 4ax2 + 6a2x2 + 4a3x2 FATORANDO POR AGRUPAMENTO Vamos fatorar ax + ay + bx + by. Neste caso, não temos um fator comum a

todas as parcelas. No entanto, a é o fator comum às duas primeiras parcelas e b é o fator comum às duas últimas. Por isso, podemos separar a expressão em dois grupos e, colocar em evidência o fator comum de cada grupo: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) Agora, cada parcela do 2° membro tem o fator comum (x + y). Colocando (x + y) em evidência, obtemos: ax + ay + bx + by =(x + y).(a + b) Fatoração por Agrupamento Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento • formamos grupos com os termos da expressão; • em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência; • colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).

6

Exemplo 9: a) Vamos fatorar x2 – ay + xy – ax. x2 – ay + xy – ax = x2 + xy – ay – ax = x(x + y) – a(y + x) = (x + y)(x – a) b) y 3 – 5y2 + y – 5 c) 2x + ay + 2y + ax d) y 3 – 3y2 + 4y – 12 e) ax 2 – bx2 + 3a – 3b Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos seguintes polinômios: a) 6x2 + 6y2 a a2 a 3 + j) + b) a3 + 3a2b 2 2 2 2 3 c) 4x – x 1 1 2 1 d) 15ab + 10bc l) ab + a b − ab 2 8 4 2 e) y2 – xy + 2y 9 6 4 3 5 f) x + x – x m) x2 y + xy 2 4 4 g) 35a4m3 + 14a3m4 3 2 n) 120ay + 200ay2 – 40ay h) 2a – 20a + 50 o) 18mn + 30m2n + 54mn2 i) x2y + y3 Exercícios: 6) Fatore os seguintes polinômios: a) cy – y + cx – x c) 2x2 – x + 4xy – 2y e) x3 + xy2 + ax2 + ay2 g) y12 – y8 + y4 – 1 i) a2b + b – 9a2 – 9 ax a k) 3x – 3 + − 2 2

b) 15 + 5x + 6a + 2ax d) am + m + a +1 f) a3x + a3y – a2x – a2y h) a3 + 10a2 + 2a + 20 j) 6an + n + 12a + 2 2 2 1 1 l) m + mn + p + pn 5 5 4 4

7) Fatore x3 – ax2 – 3bx + 3ab. x3 – ax2 – 3bx + 3ab = x2(x – a) + 3b(a – x) Observe que a expressão (a – x) é a oposta de (x – a), isto é, a – x = – (x – a). Então: x2(x – a) + 3b(a – x) = x2(x – a) – 3b(x – a) = (x – a)(x2 – 3b) 8) Fatore: a) ax + ay – bx – by c) x2 – bx – 2ax + 2ab 9) Simplifique as seguintes expressões: x 3 + x 2 − 4x − 4 a) 2 x −4

b) ax – 4a + 6x - 24 d) a2y – a3 + 3ab – 3by

b)

5( x + 2)2 − 3 y( x + 2)2 2 x + 4x + 4

7

10) Vamos ver outro caso de fatoração. Primeiro observe:

(x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10 Então, para fatorar x2 + 7x + 10 procuramos dois números de soma 7 e produto 10. Por tentativas, vemos que esses números são 2 e 5. Portanto, x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) Agora, vamos fatorar: a) x2 + 8x + 12 b) x2 + 12x + 20 c) x2 – 7x + 10

d) x2 + 11x + 30 e) x2 + 13x + 12 f) x2 – x – 6

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:

⎧ x + y = 81 Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema ⎨ . ⎩ x − y = 35 Resolução: 1° passo: Isolar uma incógnita.

Vamos isolar a incógnita x na primeira equação. (você pode escolher qualquer equação e isolar qualquer incógnita) x + y = 81 ⇒ x = 81 – y 2° passo: Substituir a incógnita isolada.

Na segunda equação substituímos a incógnita x por 81 – y. x – y = 35 ⇒ (81 – y) – y = 35 3° passo: Resolver a equação numa só incógnita.

Resolvemos a equação obtida: (81 – y) – y = 35 81 – y – y = 35 ⇒ 81 – 2y = 35 ⇒ – 2y = 35 – 81 ⇒ y =

− 46 = 23 −2

8

4 passo: Encontrar o valor da incógnita isolada no início.

Ao isolarmos x, vimos que x = 81 – y. Substituindo o valor de y = 3 em x = 81 – y, obtemos o valor de x: x = 81 – y ⇒ x = 81 – 23 ⇒ x = 58 A única solução do sistema é S = {(58,23)}. ⎧5 x + 3 y = 2 Exemplo 2: Resolver o sistema ⎨ . ⎩4 x − 2 y = 6 Resolução: Isolando uma incógnita: y =

2 − 5x . 3

Substituindo a incógnita isolada em outra equação: 4x – 2y = 6 ⇒ 4x – 2.

4 − 10 x 2 − 5x = 6 ⇒ 12x – 4 + 10x = 18 ⇒ = 6 ⇒ 4x – 3 3 ⇒ 22x = 22 ⇒ x = 1.

Calculando a incógnita isolada no início: y =

2 − 5x 2 − 5 .1 ⇒y= ⇒ y = –1. 3 3

A única solução do sistema é S = {(1, –1)}.

MÉTODO DA ADIÇÃO

⎧ x + y = 81 Exemplo 3: Resolver o seguinte sistema ⎨ . ⎩ x − y = 35 Resolução: Observe que a primeira equação tem o termo +y e a segunda equação tem o termo simétrico –y. Esse fato permite-nos obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro. x + y = 81 x – y = 35 2x + 0 = 116 2x + 0 = 116 ⇒ x = 58. Agora, é só substituir o valor de x numa das equações do sistema: x + y = 81 ⇒ 58 + y = 81 ⇒ y = 81 – 58 ⇒ y = 23 A única solução do sistema é S = {(58,23)}

9

⎧5 x + 3 y = 2 Exemplo 4: Resolver o sistema ⎨ . ⎩4 x − 2 y = 6 Neste caso, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não há termos simétricos, nenhuma incógnita desaparece. Mas, podemos obter termos simétricos. Para isso, basta multiplicar ambos os membros da primeira equação por 2 e multiplicar ambos os membros da segunda equação por 3. ⎧10 x + 6 y = 4 ⎧5 x + 3 y = 2 ⇒⎨ ⎨ ⎩ 12 x − 6 y = 18 ⎩4 x − 2y = 6 Agora temos os termos simétricos +6y e –6y. Por isso, vamos somar as duas equações, membro a membro. 10x + 6y = 4 12x – 6y = 18 22x + 0 = 22 22x + 0 = 22 ⇒ x = 1. Agora, é só substituir o valor de x numa das equações do sistema: 5x + 3y = 2 ⇒ 5.1 + 3y = 2 ⇒ 3y = 2 – 5 ⇒ y = –3/3 ⇒ y = –1. A única solução do sistema é S = {(1, –1)}

Exercícios. 1) Usando o método algébrico da substituição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:

⎧ x + y = 17 a) ⎨ ⎩ x− y= 5 ⎧2 x + 5 y = 18 b) ⎨ ⎩ x = 60 − y ⎧ y = 5 + 3x c) ⎨ ⎩2 x − 3 y = −8

1 ⎧x ⎪4 + y = 2 d) ⎨ y ⎪x − = 2 3 ⎩

x −y ⎧⎪ x + 2= e) ⎨ 2 10 ⎪⎩ x = 2( y + 2) ⎧⎪3( x + y ) − 5( x − y ) = 0 3x f) ⎨ = 5y + 2 ⎪⎩ 2

10

2) Usando o método algébrico da adição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:

⎧ x + y = 21 a) ⎨ ⎩ x− y=3

⎧x ⎪ + e) ⎨ 2 x ⎪ − ⎩6

⎧5 x + 4y = 13 b) ⎨ ⎩ 5 x − 2y = 1

y =2 3 y 7 = 4 4

⎧⎪2( x + 1) − 3( y + 2) = x f) ⎨ x y −1 − = −2 ⎪⎩ 4 2

⎧ 2x − 3y = 3 c) ⎨ ⎩3 x + 2 y = 37 ⎧5 x + 7 y = 12 d) ⎨ ⎩ 3 x + 2y = 5

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Uma equação do 2° grau na variável x é toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a ≠ 0. Considere a resolução das seguintes equações do 2° grau: 1) x2 – 7x = 0. x(x – 7) = 0 ⇒ x = 0 ou x – 7 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 7. S = {x ε ℜ| x = 0 ou x = 7}. 2) x2 – 25 = 0. x2 = 25 ⇒ x = ± 5. S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = -5}. 3) x2 – 10x + 25 = 0. (x – 5)2 = 0 ⇒ x = 5. S = {x ε ℜ| x = 5}. 4) x2 – 6x + 5 = 0. x2 – 6x + 5 + 4 = 0 + 4 ⇒ x2 – 6x + 9 = 4 ⇒ (x – 3)2 = 4 ⇒ x – 3 = ± 2 ⇒ x = 5 ou x = 1 S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = 1}. 5) 3x2 – 30x + 27 = 0. x2 – 10x + 9 = 0 ⇒ x2 – 10x + 9 + 16 = 16 ⇒ x2 – 10x + 25 = 16 ⇒ (x – 5)2 = 16 ⇒ x – 5 = ± 4 ⇒ x = 9 ou x = 1. S = {x ε ℜ| x = 9 ou x = 1}.

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Agora, considere a equação geral do 2° grau na forma normal ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Dividindo por a, tem-se: ax 2 + bx + c 0 = a a

ou: ax 2 bx c 0 + + = a a a a

ou, ainda: x2 +

O termo do meio,

c b .x + = 0 . a a

b b .x , pode ser escrito como 2.x. . Assim, a equação ficará: 2a a b c x 2 + 2.x. + =0 2a a 2

⎛ b ⎞ ⎟ em ambos os lados da ⎝ 2a ⎠

Para completar o quadrado, deve ser adicionado ⎜ equação. Assim, ela fica: 2

x 2 + 2.x.

2

b ⎛ b ⎞ c ⎛ b ⎞ +⎜ ⎟ + =⎜ ⎟ 2a ⎝ 2a ⎠ a ⎝ 2a ⎠

ou, ainda, pode ser escrita como: 2

2

x + 2.x.

2

b ⎛ b ⎞ c ⎛ b ⎞ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − 2a ⎝ 2a ⎠ a ⎝ 2a ⎠

ou, 2

2

b ⎞ ⎛ b ⎞ c ⎛ ⎟ − ⎟ =⎜ ⎜x + 2 a 2 a a ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

ou, 2

b⎞ b2 c b2 − 4ac ⎛ ⎜ x+ ⎟ = − = 2a ⎠ 4a 2 a 4a2 ⎝

ou, x+

ou,

b b2 − 4ac =± 2a 2a

x= −

b b2 − 4ac ± 2a 2a

ou, x=

− b ± b 2 − 4.a.c 2a

12

A fórmula de Bhaskara Na equação do 2° grau, ax2 + bx + c = 0, indica-se b2 – 4ac por Δ. Quando Δ < 0, a equação não tem soluções reais.

Quando Δ ≥ 0, as soluções são obtidas pela fórmula: x =

− b ± b 2 − 4.a.c . 2a

Exercícios: 1) Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau:

a) 2x2 – 1 = 0 b) x2 + x= 0 c) 10x2 – 15x = 0 d) 2x2 – 50 = 0 2) Resolva as seguintes equações do 2º grau, extraindo raiz quadrada:

a) (x – 10)2 = 36 b) (x + 5)2 = 4 c) ( d) (

x – 3)2 = 49 2 x 3

+ 5)2 = 16

e) (x – 3)2 = –16 f) x2 – 8x + 16 = 4 g) x2 + 2x + 1 = 81 3) Resolva as seguintes equações, usando a mesma metodologia do exercício 2,

transformando uma parte delas em um trinômio quadrado perfeito. a) x2 – 2x – 15 = 0 b) x2 – 7x + 12 = 0 c) x2 + 12x + 27 = 0 d) x2 – 6x = 40 e) 3x2 – 27x + 60 = 0

13

f) 7x2 – 14x – 105 = 0 g) 9x2 + 45x + 54 = 0 h) 4x2 – 36x + 65 = 0 i) 100x2 – 100x + 25 = 0 4) Resolva equações do 2° grau, usando fórmula de Bhaskara:

a) 5x2 + 9x + 4 = 0 b) 3x2 + 4x + 1 = 0 c) 4x2 – 6x + 2 = 0 d) (x + 4)(x – 1) + x2 = 5(x – 1) e) (3x – 1)2 + (2x – 5)2 = 6(2x2 + 3) f) (x – 3)(x + 4) – 10 = (1 – x)(x + 2) 5) O número real x somado com o dobro de seu inverso é igual a 3. Escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com os dados desse problema. n( n − 3) 6)O número de diagonais de um polígono pode ser obtido pela fórmula d = . Se 2 d = 5, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau na incógnita n que se pode obter. 7)Dividindo o número 105 por um certo número positivo y, o quociente obtido é exato e supera o número y em 8 unidades. Escreva a equação na forma normal que se pode formar com os dados desse problema. 8)Em um retângulo de área 9 m2, a medida do comprimento é expressa por (x + 2)m enquanto a medida da largura é expressa por (x – 6)m. Nessas condições, escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com esses dados. 9) Um quadrado cuja medida do lado é expressa por (2x – 1)cm tem a mesma área de um retângulo cujos lados medem (x + 2)cm e (x + 3)cm. Nessas condições, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau que se pode obter com esses dados.

FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO 2º GRAU

Alguns tipos de expressões algébricas tais como diferença de quadrados da forma x2 – 49 ou trinômio quadrado perfeito, x2 + 10x + 25 podem ser decompostos como (x – 7)(x + 7) ou (x + 5)2. Agora, veremos como as expressões do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, que são chamadas de trinômios do 2º grau são fatoradas. Para isso, consideremos o seguinte exemplo. 14

Exemplo 1: Consideremos a multiplicação de (x – 3) por (x – 5). (x – 3)(x – 5) = x2 – 3x – 5x + 15 = x2 – 8x + 15. O lado esquerdo da igualdade pode ser visto como forma fatorada e o lado direito a forma não-fatorada. Assim, (x – 3)(x – 5) e x2 – 8x + 15 são expressões iguais. Na expressão (x – 3)(x – 5), é fácil ver o que acontece quando substituímos x = 3 ou x = 5: obtém-se o resultado zero. Por isso dizemos que 3 e 5 são os anuladores de (x – 3)(x – 5). Logo, 3 e 5 são também anuladores de x2 – 8x + 15. Ou seja, para esses valores de x, deve-se ter x2 – 8x + 15 = 0. Então, os números 3 e 5 podem ser encontrados com a fórmula de Bhaskara: −( −8) ± 4 8 ± 2 Δ = (–8)2 – 4.1.15 = 64 – 60 = 4; x = = , isto é, x = 3 ou x = 5. 2 2 Observe então a fatoração de x2 – 8x + 15: x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5). Logo, generalizando, tem-se:

Todo trinômio do 2º grau ax2 + bx + c = 0, com Δ ≥ 0, pode ser fatorado assim: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) em que x1 e x2 são as soluções de ax2 + bx + c = 0. OBS.: O trinômio de 2º grau ax2 + bx + c = 0, com Δ ≤ 0, não pode ser fatorado. Exemplo 2: Fatore o trinômio do 2º grau x2 – 6x + 8. Solução: Inicialmente determinam-se os anuladores de x2 – 6x + 8. Usando a fórmula de Bhaskara, temos: −( −6) ± 4 6 ±2 = , isto é, x = 4 ou x =2. Δ = (–6)2 – 4.1.8 = 36 – 32 = 4; x = 2 2 Então, x2 – 6x + 8 = a(x – x1)(x – x2) = 1(x – 4)(x – 2) = (x – 4)(x – 2). Você pode conferir, efetuando (x – 4)(x – 2) e verificando se obtém x2 – 6x + 8.

Exemplo 3: Fatore o trinômio do 2º grau 3x2 – 6x + 3. Solução: Inicialmente determinam-se os anuladores de 3x2 – 6x + 3. Usando a fórmula de Bhaskara, temos: −( −6) ± 0 6 ±0 = , isto é, x1 = x2 = 1. Δ = (–6)2 – 4.3.3 = 36 – 36 = 0; x = 2.3 6 Então, x2 – 6x + 8 = a(x – x1)(x – x2) = 3(x – 1)(x – 1) = (x – 1)2. Você pode conferir, efetuando 3(x – 1)2 e verificando se obtém 3x2 – 6x + 3. Exercícios. 1) Fatore, quando for possível:

a) x2 + 10x + 21 b) x2 – 3x – 10 c) 2x2 + 5x – 3 d) 4x2 + 7x + 3

e) –x2 – x + 6 f) 5x2 – 15x + 10 g) –x2 – 4x – 4 h) –4x2 + 16x – 15

i) 2x2 – 1 j) x2 + x + 1 k) 3x2 + 7x + 5 l) x2 – 8x

15

2) Simplifique a expressão: 2 x + x− 6 a) 2 x − 5x + 6 x− 4 b) 2 x − 5x + 4

x − 3x − 4 3 x +3 2 x −1 e) 2 x − 2x + 1

x − 7x c) 2 x + 3x − 70

−x + 6 x − 9 f) 2 x + x − 12

2

d)

2

2

x − 7 x+ 12 para x = 98? 2 x − 2x − 8 2

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