Fiche 4 matrices PDF

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Cours mathématique L1 biologie - matrices...

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L1S1 - SV et ST - Universite´ de Tours - 2017/2018

F I C H E 4 : Matrices Le calcul matriciel et les repr´esentations vestorielles s’appliquent a` de nombreux domaines de la biologie : la dynamique des populations (matrices de Leslie), la biochimie, l’analyse des donn´ees statistiques, la r´esolution des syst`emes diff´erentiels lin´eaires. . . ⋆ D´ efinition Une matrice A de format (de taille ou de type) (m, n) a` coefficients dans R est un tableau de nombres a` m lignes et n colonnes :   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A= . .. .  . . . .  . . . .  am1 am2 . . . amn

Les aij s’appellent les termes ou les coefficients de la matrice A. Chaque terme de A y est rep´er´e par son indice de ligne (toujours donn´e en premier) et son indice de colonne : aij est le coefficient situ´e a` l’intersection de la i-` eme ligne et de la j-` eme colonne du tableau. On d´esigne par M(m, n) l’ensemble des matrices de format (m, n). m = 1 ⇐⇒ matrice ligne n = 1 ⇐⇒ matrice colonne m = n ⇐⇒ matrice carr´ee d’ordre n

La matrice nulle, not´ee O, est celle dont tous les coefficients sont nuls. Une matrice carr´ ee A = (aij ) d’ordre n est dite matrice diagonale si les ´el´ements qui sont en dehors de la diagonale principale sont nuls : aij = 0 si i 6= j . La matrice carr´ee d’ordre n donn´ee par : 

s’appelle matrice unit´ e d’ordre n.

  In =  

1 0 .. .

0 ... 1 ... .. . . . . 0 0 ...

0 0 .. . 1

    

Une matrice triangulaire sup´ erieure (resp. triangulaire inf´ erieure) d’ordre n est une matrice dont tous les coefficients ≪ au-dessous ≫ (resp. ≪ au-dessus ≫ ) de sa diagonale sont nuls : aij = 0 si i > j (resp. si i < j). ⋆ Op´ erations sur les matrices

´ • Egalit´ e Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont e´gales (A = B) si, et seulement si, elles sont de mˆ eme format et leurs coefficients sont ´ egaux : A = B ⇐⇒ (aij ) = (bij ) ,

∀i = 1, · · · , m ,

1

∀j = 1, · · · , n

• Addition Soient A = (aij ) et B = (bij ) des matrices de mˆ eme format (m, n). La matrice somme de A et B est la matrice S = (si,j ) de format (m, n) d´efinie par : si,j = aij + bij , ∀i = 1, · · · , m et ∀j = 1, · · · , n . On ´ecrit : S = A + B . La somme matricielle A + B n’existe que si A et B ont la mˆ eme taille. Dans M(m, n) (l’ensemble des matrices de format (m, n)), l’addition poss`ede les mˆemes propri´et´es que dans R : 1. Associativit´e : A + (B + C) = (A + B) + C . 2. Commutativit´e : A + B = B + A. 3. La matrice O est l’´el´ement neutre : A+O = O+A= A ` toute matrice A = (aij ) correspond une matrice oppos´ee d´efinie par −A = (−aij ) telle que : 4. A A + (−A) = −A + A = O • Multiplication par un scalaire Soient A = (aij ) ∈ M(m, n) et λ ∈ R. La matrice not´ee λ.A ou λA est la matrice de M(m, n) d´efinie par : λA = (λ aij ). En particulier : −1.A = −A ; 0.A = O et 1.A = A. Exemple 

 −2 0 Soit A =  1 3  ∈ M(3, 2) 4 −1

et

D´eterminons 3A − 2B .





 2 1 B =  −2 2  ∈ M(3, 2). 1 0

 −6 0 9  3A =  3 12 −3   −10 −2  D’o`u 3A − 2B = 7 5  10 −3

et



 −4 −2 − 2B =  4 −4  −2 0

• Multiplication des matrices Soient A = (aik ) ∈ M(m, n) et B = (bkj ) ∈ M(n, p) deux matrices. La matrice produit de A et B (pris dans cet ordre) est la matrice C = (cij ) de format (m, p) o`u : cij =

n X

aik bkj ,

∀i = 1, · · · , m ,

k=1

On ´ecrit : C = A × B ou C = A.B ou C = AB . 2

∀j = 1, · · · , p .

Aide-m´ emoire : cij est le

≪

produit scalaire ≫ de la i-i`eme ligne de A par la j-i`eme colonne de B : (m, n) × (n, p) = (m, p)

Le produit AB n’existe que si le nombre de colonnes de A est ´ egal au nombre de lignes de B Le produit matriciel v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. Associativit´e : (AB)D = A(BD),

∀A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p) et D ∈ M(p, ℓ).

2. Distributivit´e a` gauche : A(B + D) = AB + AD,

∀A ∈ M(m, n), B et D ∈ M(n, p).

3. Distributivit´e a` droite : (A + B)D = AD + BD,

∀A, B ∈ M(m, n), et D ∈ M(n, p).

Le produit matriciel n’est pas commutatif : Si AB est défini, BA ne l’est pas forcément. Si AB et BA sont définis, en général AB 6= BA. Remarques. 1. cij =produit de la ligne i de A par la colonne j de B :  b1j  ..  .      b ×  kj   .   ..  bnj 

cij =



ai1 . . . aik . . . ain

2. Quelle que soit la matrice carr´ee A d’ordre n, on a : A.In = In .A = A. Exemple Consid´erons les deux matrices :   −1 0 1 A= ∈ M(2, 3) 2 1 0 Le produit A.B n’est pas d´efini. Par contre B.A est d´efini et B.A =



7 4 1 4 3 2

et



B=



1 4 2 3



∈ M(2, 2)

∈ M(2, 3)

Pour les calculs, on peut sch´ematiser le produit matriciel de la fa¸con suivante :  

B  1 4 2 3



A  −1 0 1 2 1 0 7 4 1 4 3 2 B.A



Par exemple, l’´el´ement 7 de la matrice B.A est le produit de la mˆeme ligne dans B et de la mˆeme colonne dans A, soit 1 × (−1) + 4 × 2 = 7. 3

Exercice. Soient les deux matrices A = D´eterminer A.B et B.A.



3 −1 6 −2



et B =



−2 1 −6 3

 .

• Transposition On appelle transpos´ee d’une matrice A la matrice, not´ee tA, obtenue a` partir de A en ´echangeant les lignes et les colonnes. Ainsi, si la matrice A a m lignes et n colonnes, la matrice tA a n lignes et m colonnes.

Exemple     −1 2 −1 0 1 =⇒ t A =  0 1  A= 2 1 0 1 0 • Matrice inverse Une matrice carr´ee A d’ordre n est dite inversible s’il existe une matrice carr´ee B d’ordre n telle que AB = BA = In . Dans ce cas, B est appel´ee matrice inverse de A et on la note A−1 .

4...