Finanzmathematische Formeln und Tabellen PDF

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Juni 2008

Dipl.-Betriebswirt

Riccardo Fischer

Finanzmathematische Formeln und Tabellen Arbeitshilfen für Ausbildung, Studium und Prüfung im Fach Finanz- und Investitionsrechnung Dieses Werk, einschließlich aller seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechts ist ohne vorherige schriftliche Zustimmung des Autors unzulässig und strafbar (§§ 97 ff UrheberrechtsGesetz). Dies gilt insbesondere für die fotomechanische oder elektronische Vervielfältigung, Übersetzung, Mikroverfilmung und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.Trotz gewissenhafter Recherche wird für die angegebenen Informationen bezüglich Vollständigkeit, Richtigkeit und Aktualität keine Haftung übernommen.

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer

Der Faktor Zeit in der Finanzmathematik Eine Rente ist aus Sicht der Finanzmathematik eine Zahlungsreihe, d.h. es gibt Zahlungen (Ein- und/oder Auszahlungen), die zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftreten und somit nicht einfach addiert werden dürfen!

Zu welchem Zeitpunkt innerhalb eines Zeitraumes tritt die Zahlung auf? Zeit 1.1.

15.1.

vorschüssig zu Beginn des Zeitraums, z.B. Miete

31.1.

mittelschüssig in der Mitte des Zeitraums z. B. Gehalt

nachschüssig am Ende des Zeitraums z. B. Kreditzinsen

Übertragung einer Zahlung AuF

AuF 1.000 €

1.500 €

1.200 € aufzinsen

aufzinsen

Zeit Vergangenheit

Gegenwart (Gegenwarts- oder Barwert AbF

Zukunft (Endwert)

AbF 1.500 € 1.200 €

1.000 € abzinsen

Vergangenheit

abzinsen

Gegenwart (Gegenwartsoder Barwert) Nur für Ausbildungszwecke!

Zukunft (Endwert)

Zeit

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer

Übertragung einer Zahlung aus der Gegenwart in die Zukunft 1.000 €

1. Jahr

1.628,90 €

2. Jahr 3. Jahr

Gegenwart

...... 10. Jahr

n Jahre

Zeit

Zukunft

Aufzinsungsfaktor (AuF) Zinst einen in der Gegenwart anfallenden Geldbetrag (Gegenwartswert) mit Zinsen und Zinseszinsen auf einen in der Zukunft fälligen Geldbetrag (Endwert) auf.

(1 + i )n oder

qn

z. B. Herr Max legt heute 1.000 € fest an und will wissen welchen Betrag er bei 5%iger Verzinsung p.a. in 10 Jahren zurück bekommt.

Übertragung einer Zahlung aus der Zukunft in die Gegenwart 3.069,57 €

1. Jahr Gegenwart

5.000 €

2. Jahr 3. Jahr

...... 10. Jahr

n Jahre

Zeit

Zukunft

Abzinsungsfaktor (AbF) Zinst einen in der Zukunft fälligen Geldbetrag mit Zinsen und Zinseszinsen auf einen in der Gegenwart anfallenden Geldbetrag (Barwert) ab.

(1 + i )−n oder

q −n

z. B. Herr Max legt will in 10 Jahren 5.000 € erhalten und will wissen welchen Betrag er bei 5%iger Verzinsung p.a. jetzt anlegen muss. Nur für Ausbildungszwecke!

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Zerlegung einer Zahlung der Gegenwart in mehrere zukünftige Teilbeträge (Zahlungsreihe)

1.000 € ?

0

1

?

2

Gegenwart

?

?

...

n

Zeit

Zukunft

Kapitalwiedergewinnungsfaktor (KWF) [Verrentungsfaktor oder Annuitätenfaktor] Eine Einmalzahlung in der Gegenwart wird in eine zukünftige Zahlungsreihe umgeformt. Ein in der Gegenwart anfallender Geldbetrag wird unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen in gleich große zukünftige Teilbeträge (Annuität) umgerechnet.

Z.B. wird ein Kredit in einer Summe ausgezahlt und es wird der pro Periode zu zahlende Kapitaldienst (Summe aus Zinsen und Tilgung) gesucht.

i(1 + i) (1 + i )n −1 n

oder

q n ( q −1) qn −1

Der Kapitalwiedergewinnungsfaktor ist der Kehrwert (reziproker Wert) des Barwertfaktors.

Nur für Ausbildungszwecke!

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer

Fasst mehrere zukünftige Teilbeträge (Zahlungsreihe) in eine Zahlung in der Gegenwart zusammen

??? 50 €

50 €

50 €

50 €

Zeit 0 Gegenwart

1

2

... Zukunft

n

Barwertfaktor (BWF) [Rentenbarwertfaktor oder Diskontierungssummenfaktor oder Kapitalisierungsfaktor oder Abzinsungssummenfaktor] Eine zukünftige Zahlungsreihe wird in eine Einmalzahlung in der Gegenwart umgeformt. Zinst die Glieder eine Zahlungsreihe unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen ab und summiert gleichzeitig die Barwerte zu einem Einmalbetrag auf Z.B. Ermittlung des Kapitalwerts einer Investition bei jährlich gleichbleibenden Zahlungsüberschüssen.

(1+ i)n − 1 n i (1 + i )

oder

qn − 1 qn (q − 1 )

Der Barwertfaktor ist der Kehrwert (reziproker Wert) des Kapitalwiedergewinnungsfaktors.

Nur für Ausbildungszwecke!

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer

Verwandelt eine Einmalzahlung, die in der Zukunft anfällt in mehrere zukünftige Teilbeträge (Zahlungsreihe) um

1.000 €

?

0

1

?

?

2

?

...

Gegenwart

n Zukunft

Restwertverteilungsfaktor (RVF) [Rückwärtsverteilungsfaktor] Eine Einmalzahlung in der Zukunft wird in eine Zahlungsreihe umgeformt. Ein in der Zukunft als Einmalzahlung anfallender Geldbetrag wird unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen in gleich große Teilbeträge einer Zahlungsreihe umgerechnet.

i

(1 + i )n − 1

oder

q −1 q n −1

Der Restwertfaktor ist der Kehrwert (reziproker Wert) des Endwertfaktors.

Nur für Ausbildungszwecke!

Zeit

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Verwandelt mehrere zukünftige Teilbeträge (Zahlungsreihe) in eine in der Zukunft anfallende Einmalzahlung um

??? €

50 €

0

1

50 €

50 €

2

50 €

...

Gegenwart

n

Zeit

Zukunft

Endwertfaktor (EWF) [Aufzinsungssummenfaktor oder Rentenendwertfaktor] Eine zukünftige Zahlungsreihe wird in eine Einmalzahlung in der Zukunft umgeformt. Zinst die Glieder eine Zahlungsreihe unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen auf und summiert gleichzeitig die Endwerte zu einem Einmalbetrag auf

(1 + i )n − 1 i

oder

q n −1 q −1

Der Endwertfaktor ist der Kehrwert (reziproker Wert) des Restwertfaktors.

Nur für Ausbildungszwecke!

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer

Finanzmathematische Grundformeln qn

(1 + i )n

Aufzinsungsfaktor (AuF)

1 qn

1 (1+ i)n

Abzinsungsfaktor (AbF)

q −n

(1 + i)−n

Aufzinsungsfaktor (AbF)

i (1 + i) n − 1

Restwertverteilungsfaktor (RVF)

q −1 qn − 1 q n (q − 1) q n −1

i(1+ i)n (1+ i)n − 1

qn −1 q −1

(1 + i)n − 1

qn − 1 q n (q − 1)

(1+ i)n − 1 n i(1 + i)

Es gilt: q = 1 + i

AuF =

AbF =

1 AbF

1 AuF

i

Kapitalwiedergewinnungsfaktor (KWF) Entwertfaktor (EWF)

Barwertfaktor (BWF)

wobei i = Zinssatz und n = Laufzeit (Jahre)

RVF =

1 EWF

KWF =

EWF =

1 RVF

BWF =

Nur für Ausbildungszwecke!

1 BWF

1 KWF

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Zinsformeln Berechnung von Tageszinsen Z =

C *i *t 36000

Z = Zinsen C = Kapital i = Zinssatz (p.a.) t = Bindung in Tage (Laufzeittage)

Zinseszinsformel für Berechnung des Endkapitals Leibniz’sche Endwertformel (geometrische Verzinsung) Dem Kapital werden die Zinsen am Ende des Jahres hinzugeschlagen und tragen so im nächsten Jahr ihrerseits Zinsen.

Cn = Co * (1 + i) n Cn = Endkapital (Kapital am Ende der Laufzeit) C o = Anfangskapital i = Zinssatz (p.a.) n = Laufzeit (in Jahren)

Zinseszinsformel für die Berechnung des Anfangskapitals

Cn = Co * (1 + i) n

Nur für Ausbildungszwecke!

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Zinssatz (Zinsrate) bei gegebenen Anfangs- und Endkapital und gegebener Laufzeit  c  i =  n n  − 1  co 

Laufzeitberechnung bei gegebenen Anfangs- und Endkapital und gegebenem Zinssatz n=

ln Cn − ln Co ln(1 + i)

Näherungswert für eine Kapitalverdopplung n≈

69,3 i *100

Nur für Ausbildungszwecke!

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Barwertfaktoren a) bei nachschüssigen Zahlungen

(1 + p )n − 1 (1 + p) n * p b) bei vorschüssigen Zahlungen

(1 + p )n − 1 ∗ (1 + p) (1 + p)n * p Kapitalwert bei gleichbleibenden Überschüssen qn −1 L Cw = ü * n + n −a q (q − 1) q Cw = Kapitalwert ü

= Einzahlungsüberschuss

L

= Liquidationserlös

a = Anfangsauszahlungen (Investitionssumme)

Nur für Ausbildungszwecke!

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Interner Zinsfuß (Internal Rate of Return) Der Interne Zinsfuß gehört zu den dynamischen Investitions-Rechenverfahren. Der Interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Investition genau 0 ist. Mathematisch gesehen ist er der Schnittpunkt der Kapitalwertfunktion mit der xAchse (Abzisse). Zur Berechnung des Internen Zinsfuß sind zwei Kapitalwerte für die Investition erforderlich. Diese Kapitalwerte wurden mit Hilfe von zwei verschiedenen Versuchszinssätzen berechnet. Anschließend kann folgender Formel verwendet werden:

C1 r = i1 + (i2 - i1) *  * 100 C1 - C2 r = interner Zinsfuß i 1 = Zinssatz der ersten Berechnung (1. Versuchszins) i 2 = Zinssatz der zweiten Berechnung (2. Versuchszins) C 1 = Kapitalwert der ersten Berechnung C2 = Kapitalwert der zweiten Berechnung

Mit Hilfe der Formel kann nur eine lineare Annäherung ermittelt werden, mit der man sich in der Praxis auch begnügt. Der berechnete Wert (auch wenn er rechentechnisch richtig ist) ist i.d.R. etwas höher als der tatsächliche interne Zinsfuß. Kapitalwertfunktion 80.000,00

60.000,00

40.000,00 int erner Zinsf uß der linearen Näherung ( For mel ) r =16 %

20.000,00

-

-20.000,00

-40.000,00 exakt er int er ner Zinsf uß der Kapit alwert f unkt ion r =10,1% -60.000,00 Kapi t alwert f unkt ion -80.000,00 Z i n ssa t z ( i n %)

Die lineare Näherung sollte so gewählt werden, dass die beiden Versuchszinssätze möglichst einen positiven und einen negativen Kapitalwert zur Folge haben. Beide Kapitalwerte sollen außerdem nahe bei Null liegen. Ist dies nicht im ersten Anlauf der Fall, so kann mit einem vorläufigen internen Zinsfuß die Bereichnung eines weiteren Kapitalwerts erfolgen (Regula-Falsi-Verfahren). Nur für Ausbildungszwecke!

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Effektiver Jahreszins für Lieferantenkredit (Skonto) Für Barzahlung bzw. beschleunigte Überweisung eines Rechnungsbetrages vor Erreichen der Fälligkeit, wird ein prozentualer Abzug (in der Praxis zwischen 2 bis 5 %) vom Rechnungsendbetrag eingeräumt.

is =

s ∗ 360 f −a

is = effektiver Jahreszins des Lieferantenkredits s = Skonto (in Prozent) f = Anzahl der Tage bis zur Fälligkeit a = Skontofrist

Beispiel:

Eine Rechnung kann unter Abzug von 3 % Skonto binnen 10 Tagen oder netto (ohne) Abzug von 30 Tagen bezahlt werden. a

10 Tage Zeit f

30 Tage

is =

3 * 360 ≈ 54 % 30 − 10

Nur für Ausbildungszwecke!

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Effektivzins nach der Preisangabenverordnung (PAngV1985)

ieff =

100 - CE inom +  n  * 100 CE

CE = Ausschüttungsprozentsatz inom = Nominalzins ieff = Effektivzins n = Laufzeit

Nur für Ausbildungszwecke!

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Finanzmathematische Formeln und Tabellen © Juni 2008 Dipl.-Betriebswirt R.Fischer 1

Berechnung einer Annuität Ann = C * KWF i (1 + i) n KWF =  (1+i) n - 1

C = Kapital Ann = Annuität KWF = Kapitalwiedergewinnungsfaktor i = Zinssatz n = Laufzeit

1

Jährlich gleichbleibende Zahlung, bestehend aus Zinsen und Tilgung

Nur für Ausbildungszwecke!

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Die Leverage-Formel Herleitung:

Kapitalgewinn

=

RGK * (EK + FK)

(ROI umgestellt)

Nettogewinn

=

REK * EK

(Eigenkapitalrentabilität)

Zinsaufwand

=

RFK * FK

Nettogewinn REK * EK

= =

Kapitalgewinn ./. Zinsaufwand RGK * (EK + FK) ./. RFK * FK

REK =

+ EK

REK =

RFK * FK

RGK * FK

R GK * EK

RGK + (RGK - RFK) *

EK

EK

FK EK

FK EK

= VK VK = Verschuldungskoeffizient

REK = RGK + (RGK - RFK) * VK

Nur für Ausbildungszwecke!

Finanzmathematische Tabellen 1,00% Aufzinsungs- Abzinsungsfaktor

faktor

Restwertverteilungsfaktor

Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Endwertfaktor

Barwertfaktor

Jahre

AuF

AbF

RVF

KWF

EWF

BWF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30

1,010000

0,990099

1,000000

1,010000

1,000000

0,990099

1,020100

0,980296

0,497512

0,507512

2,010000

1,970395

1,030301

0,970590

0,330022

0,340022

3,030100

2,940985

1,040604

0,960980

0,246281

0,256281

4,060401

3,901966

1,051010

0,951466

0,196040

0,206040

5,101005

4,853431

1,061520

0,942045

0,162548

0,172548

6,152015

5,795476

1,072135

0,932718

0,138628

0,148628

7,213535

6,728195

1,082857

0,923483

0,120690

0,130690

8,285671

7,651678

1,093685

0,914340

0,106740

0,116740

9,368527

8,566018

1,104622

0,905287

0,095582

0,105582

10,462213

9,471305

1,115668

0,896324

0,086454

0,096454

11,566835

10,367628

1,126825

0,887449

0,078849

0,088849

12,682503

11,255077

1,138093

0,878663

0,072415

0,082415

13,809328

12,133740

1,149474

0,869963

0,066901

0,076901

14,947421

13,003703

1,160969

0,861349

0,062124

0,072124

16,096896

13,865053

1,172579

0,852821

0,057945

0,067945

17,257864

14,717874

1,184304

0,844377

0,054258

0,064258

18,430443

15,562251

1,196147

0,836017

0,050982

0,060982

19,614748

16,398269

1,208109

0,827740

0,048052

0,058052

20,810895

17,226008

1,220190

0,819544

0,045415

0,055415

22,019004

18,045553

1,282432

0,779768

0,035407

0,045407

28,243200

22,023156

1,347849

0,741923

0,028748

0,038748

34,784892

25,807708

Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Endwertfaktor

Barwertfaktor

1,50% Aufzinsungs- Abzinsungsfaktor

faktor

Restwertverteilungsfaktor

Jahre

AuF

AbF

RVF

KWF

EWF

BWF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30

1,015000

0,985222

1,000000

1,015000

1,000000

0,985222

1,030225

0,970662

0,496278

0,511278

2,015000

1,955883

1,045678

0,956317

0,328383

0,343383

3,045225

2,912200

1,061364

0,942184

0,244445

0,259445

4,090903

3,854385

1,077284

0,928260

0,194089

0,209089

5,152267

4,782645

1,093443

0,914542

0,160525

0,175525

6,229551

5,697187

1,109845

0,901027

0,136556

0,151556

7,322994

6,598214

1,126493

0,887711

0,118584

0,133584

8,432839

7,485925

1,143390

0,874592

0,104610

0,119610

9,559332

8,360517

1,160541

0,861667

0,093434

0,108434

10,702722

9,222185

1,177949

0,848933

0,084294

0,099294

11,863262

10,071118

1,195618

0,836387

0,076680

0,091680