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Julio Largo...

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Física Básica Experimental I: Julio Largo 9 de octubre de 2015

Índice 1. Dinámica de una partícula 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Principios de la Dinámica: Sistemas inerciales . . . . . Sistemas no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación: estudio del movimiento circular uniforme . Aplicaciones de las leyes de Newton . . . . . . . . . .

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1.6.1. Determinación de la trayectoria conocida la fuerza . . . . . . . . . . . 1.6.2. Conocida la trayectoria determinación de la fuerza que actúa . . . . . . 1.7. Estática de la partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.8. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Frenar con asfalto seco o mojado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Fuerza de arrastre en un fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Caída libre de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.9.2. Tenis: ¿Es importante el rozamiento de la bola con el aire? . . 1.9.3. Fórmula 1, o cuando los ingenieros tienen que estudiar física. Ejercicio 1 Coche trazando una curva . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 2 Calleja en desafío (casi) extremo . . . . . . . . . . . . .

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Ejercicio 3 El paracaidista . . . . . Ejercicio 4 Elevando carga . . . . . Ejercicio 5 Masa inmóvil . . . . . . Ejercicio 6 Rampa con muelle . . .

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Ejercicio 7 Dos bloques colgados

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Este documento pretende ser un apunte de lo explicado en clase, se debe entender como una guía 1

de estudio que debe ser complementada con los libros recomendados en la Bibliografía.

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1. Dinámica de una partícula 1.1.

Introducción

La Dinámica es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento atendiendo a las causas que lo producen. En principio, la Dinámica trata de cualquier sistema, formado por un número arbitrario de partículas, interactuando entre sí y con fuerzas externas. En este tema nos limitaremos a considerar la dinámica de una sola partícula (o punto material), considerada como cuerpo sin dimensiones y con una masa finita. La Dinámica se basa en tres leyes fundamentales, conocidas como Principios de la Dinámica, o leyes de Newton. Estas leyes no son producto de deducciones matemáticas, sino una síntesis que los físicos han descubierto al realizar un sinnúmero de experimentos con cuerpos en movimiento. (Newton usó las ideas y las observaciones que muchos científicos hicieron antes que él, como Copérnico, Brahe, Kepler y especialmente Galileo Galilei, quien murió el mismo año en que nació Newton). Dichas leyes son verdaderamente fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de otros principios. Las leyes de Newton son la base de la mecánica clásica (también llamada mecánica newtoniana); al usarlas seremos capaces de comprender los tipos de movimiento más conocidos. Las leyes de Newton requieren modificación sólo en situaciones que implican velocidades muy altas (cercanas a la rapidez de la luz) o para tamaños muy pequeños (dentro del átomo).

1.2.

Fuerzas

Una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. Cuando una fuerza implica contacto directo entre dos cuerpos, la llamamos fuerza de contacto. Tipos de fuerzas de contacto: La fuerza normal es ejercida sobre un objeto por cualquier superficie con la que esté en contacto. El adjetivo normal significa que la fuerza siempre actúa perpendicular a la superficie de contacto, sin importar el ángulo de esa superficie. En cambio, la fuerza de fricción ejercida sobre un objeto por una superficie, actúa paralela a la superficie, en la dirección opuesta al deslizamiento. La fuerza de tensión esta asociada a fuerzas aplicadas mediante una cuerda o similar.

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Además de las fuerzas de contacto, también hay fuerzas de largo alcance que actúan aunque los cuerpos estén separados, como la fuerza electromagnética o la gravitatoria. ~ debemos indicar su dirección de acción y su magnitud. La unidad Para describir una fuerza F, en el SI de magnitud de fuerza es el newton, que se abrevia N.

1.3.

Principios de la Dinámica: Sistemas inerciales

Los principios de la dinámica o Leyes de Newton son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus Principia Mathematica. Primer principio: Principio de inercia El primer principio de la dinámica, también conocido como Primera Ley de Newton puede formularse como: “Toda partícula libre de interacciones permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.” Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo. Es importante señalar que lo que importa en la primera ley de Newton es que la fuerza resultante1 se anule. Y que el sistema de referencia sea inercial. El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los sistemas de referencia en inerciales (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y no inerciales (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia). Marcos de referencia inerciales Un marco de referencia en el que es válida la primera ley de Newton es un marco de referencia inercial. Si un marco es inercial, todos los que se muevan con velocidad constante relativa a él serán inerciales. Desde esta perspectiva, el estado de reposo y el de movimiento con velocidad constante no son muy diferentes; ambos se dan cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. 1 la

suma vectorial de todas las fuerzas que se aplican sobre la partícula.

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Un sistema será no inercial cuando se encuentre acelerado con respecto a un inercial, posteriormente veremos algún ejemplo. Como usamos la primera ley de Newton para definir lo que es un marco de referencia inercial, se le conoce como ley de inercia.

El segundo principio de la dinámica requiere previamente la definición de la cantidad de movimiento ~p de una partícula ~p = m~v que mide la combinación de masa (cuanto mayor masa, más cantidad de movimiento) y de velocidad (a mayor velocidad, mayor cantidad de movimiento). Segundo principio: Segunda Ley de Newton “La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre ella.”

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d~p = ~p˙ = ∑ ~Fi = ~F dt i donde ~F es la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma vectorial de ellas. Como caso particular, si la masa de una partícula es una constante la derivada de la cantidad de movimiento =0 z}|{ d~p dm d~v = = m~a ~v + m dt dt dt que es la forma habitual de expresar la segunda ley de Newton (aunque se pierde generalidad). ~F = m~a La segunda ley de Newton implica que la aceleración que adquiere una partícula es proporcional ~ la fuerza neta aplicada sobre ella, siendo la constante de proporcionalidad, m, una propiedad aF de cada partícula, conocida como masa inercial. La masa es una medida cuantitativa de la inercia, cuanto mayor sea su masa, más se “resiste” un cuerpo a ser acelerado. La unidad de masa en el SI es el kilogramo. Un newton es la cantidad de fuerza neta que proporciona una aceleración de 1 metro por segundo al cuadrado a un cuerpo con masa de 1 kilogramo. Principio de superposición Si sobre un mismo punto material actúan varias fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las fuerzas por separado. La aplicación de la segunda ley requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran: La ley de Hooke, para el oscilador armónico ~F = −k~r

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La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra m m (~r −~r1 ) ~F = −G 1 2 2 |~r2 −~r1 |3 Esta ley contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre F~ = m~g. La ley de Lorentz, para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético   ~ ~ +~v × B ~F = q E Un caso particular de esta ley es la ley de Coulomb, para la fuerza producida por una carga en reposo 1 q1 q2 (~r2 −~r1 ) ~F = 4πε0 |~r2 −~r1 |3 Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas. Tercer principio: ley de acción y reacción “Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.” ~FA→B = −~FB→A 7

Estas dos fuerzas actúan simultáneamente, tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos. Hay que destacar que estas dos fuerzas no se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Hay que señalar que el nombre de “acción y reacción”, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción, ambas fuerzas actúan simultáneamente. .

1.4.

Sistemas no inerciales

Pensemos una partícula que obedece la segunda ley de Newton en un sistema inercial ~F = m a~1 ~ es una fuerza externa, o la resultante de varias no es relevante. donde F Imaginemos que tenemos ahora otro sistema de referencia no inercial, por lo tanto desplazándose este sistema con alguna clase de aceleración a~0 , con respecto al sistema de referencia inercial. En este sistema la partícula tendrá una aceleración ~a diferente. Logicamente, se debe verificar: ~a + a~0 = a~1 ~F = m a~1 = m (~a + a~0 ) Esta ecuación no coincide con la ley de Newton, si por aceleración entendemos la observada en el sistema no inercial (acelerado). Tenemos dos alternativas en un sistema no inercial: No usar las leyes de Newton. Imaginar que F0 = −m a~0 es una fuerza extra que actúa sobre el cuerpo y escribir: ~0 m~a = ~F + F ~0 es una fuerza aparente y ficticia, cuya introducción es el precio que En este segundo caso, F debemos pagar por poder usar la segunda ley de Newton en un sistema no inercial. Lógicamente no es una fuerza real.2 Ejemplos: Un ascensor en caída libre, o la fuerza centrífuga... de la que hablaremos a continuación. 2 Para

saber más: Dinámica Clásica, Antonio Rañada. Aunque no entra dentro de los objetivos del curso.

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1.5.

Aplicación: estudio del movimiento circular uniforme

Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, el vector de aceleración es normal a la trayectoria ya que la componente de aceleración tangente a la trayectoria es nula ya que sino la rapidez cambiaría y sólo cambia la dirección de la velocidad .

La magnitud de la aceleración instantánea ~a en el punto P1 a=

v2 R

En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la magnitud a de la aceleración instantánea es igual al cuadrado de la velocidad v dividido entre el radio R del círculo; su dirección es perpendicular a ~v y hacia adentro sobre el radio. Puesto que la aceleración siempre apunta al centro del círculo, en ocasiones se le llama aceleración centrípeta. La palabra “centrípeta” significa “que busca el centro” en griego.

También podemos expresar la magnitud de la aceleración en un movimiento circular uniforme en términos del periodo T del movimiento, el tiempo de una revolución (una vuelta completa al 9

círculo). En un tiempo T , la partícula recorre una distancia igual a la circunferencia 2πR así que su rapidez es 2πR v= T a=

v2 4π 2 R = R T2

“fuerza centrífuga”: evítelo (a no ser que interese trabajar con un sistema no inercial solidario con el cuerpo) Cuando estudiamos el movimiento circular uniforme, hablamos de la aceleración centrípeta que habitualmente se ha tendido a contrarrestar, equivocadamente con la “fuerza centrífuga”: evítarlo. La figura muestra tanto un diagrama de cuerpo libre correcto para el movimiento circular

uniforme como un diagrama común incorrecto. 2

La figura b es incorrecta porque incluye una fuerza adicional hacia afuera de magnitud mRv para “mantener el cuerpo en equilibrio”. Hay tres razones para no incluir tal fuerza hacia fuera, que se suele denominar fuerza centrífuga. 1. El cuerpo no está en equilibrio; está en movimiento constante con trayectoria circular. Puesto que su velocidad está cambiando constantemente de dirección, el cuerpo está acelerado. 2. Si hubiera una fuerza adicional hacia afuera para equilibrar la fuerza hacia adentro, no habría fuerza neta y el cuerpo se movería en línea recta, no en un círculo. ~ = m~a, y 3. La cantidad mv2 /R no es una fuerza; corresponde al lado m~a de la ecuación ∑F ~ no aparece en ∑ F.

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Es cierto que un pasajero en un automóvil que sigue una curva en un camino horizontal tiende a deslizarse hacia fuera de la curva, como si respondiera a una “fuerza centrífuga” pero lo que realmente sucede es que el pasajero tiende a seguir moviéndose en línea recta, y el costado del auto “choca” contra el pasajero cuando el auto gira. En un marco de referencia inercial no existe ninguna “fuerza centrífuga”. La utilidad de utilizar fuerzas virtuales como la centrífuga, se debe al interés en algunos casos en utilizar sistemas no inerciales.

1.6.

Aplicaciones de las leyes de Newton

La segunda ley de Newton relaciona la segunda derivada de la posición con la fuerza que actúa sobre la partícula, la cuál es a su vez una función de la posición, la velocidad y el tiempo; ˙ m~r¨ = ~F(~r,~r,t) La solución de esta ecuación constituye el problema fundamental de la dinámica. Dependiendo de cuáles sean nuestros datos y nuestras incógnitas, podemos tener diferentes clases de problemas, por ejemplo: 1. Si conocemos la expresión de la fuerza, junto con las condiciones iniciales del problema (posición y velocidad iniciales de la partícula), podemos emplearla para determinar la posición de la partícula en t > 0. Como ejemplos típicos tenemos la caída libre, el oscilador armónico o el movimiento planetario. 2. Si conocemos completamente el estado de movimiento de la partícula, podemos emplear la segunda ley de Newton para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula. Este es el principio de los dinamómetros, tanto estáticos (con la partícula en equilibrio), como dinámicos (partícula en movimiento).

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1.6.1.

Determinación de la trayectoria conocida la fuerza

Si conocemos las fuerzas que actúan sobre una partícula (así como su posición y velocidad iniciales) podemos describir su movimiento resolviendo la ecuación diferencial: 1 ˙ ~r¨ = ~F(~r,~r,t) m junto con las condiciones iniciales~r(t = 0) =~r0 y~v(t = 0) =~v0 . En el caso de que conozcamos la fuerza como función exclusivamente del tiempo solamente, para obtener la trayectoria basta con integrar dos veces respecto al tiempo ~v(t) =~v0 +

Z t ~ F(t)

~r(t) =~r0 +

m

0

dt

Z t

~v(t) dt

0

Lo normal, sin embargo, es que la fuerza no se conozca como función del tiempo, sino que sea función de la posición (como en el caso de la ley de la Gravitación Universal), de la velocidad (por ejemplo, la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es proporcional a la velocidad) y en ocasiones del tiempo. La segunda ley de Newton puede descomponerse en un sistema de ecuaciones para las coordenadas cartesianas de la partícula m x¨ = Fx

m y¨ = Fy

m z¨ = Fz

siendo Fx , Fy y Fz las componentes cartesianas de la fuerza Fx = ~F ·~i

~ · ~j Fy = F

Fz = ~F ·~k

Estas ecuaciones no son independientes porque cada componente de la fuerza dependerá en general de las tres coordenadas, es decir, Fx (x, y, z). 1.6.2.

Conocida la trayectoria determinación de la fuerza que actúa

En ocasiones, conocemos completamente el estado de movimiento o de reposo de una partícula. En ese caso, la segunda ley de Newton nos sirve como herramienta para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula. ~F = m~a

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Caso estático En el caso de una partícula en reposo (caso estático) la aceleración es nula, por lo que la resultante de las fuerzas aplicadas debe anularse. Si conocemos el valor de todas las fuerzas salvo una, podemos usar esta ecuación para hallar la fuerza desconocida. Caso dinámico Si tenemos una partícula en un movimiento conocido, podemos determinar la aceleración y a partir de ella determinar la fuerza neta que está actuando sobre la partícula. Por ejemplo, la tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital de los planetas es proporcional al cubo de los radios de las órbitas. T 2 = k R3 Si suponemos órbitas circulares y que la fuerza es central (apunta permanentemente hacia el sol y sólo depende de la distancia al sol), entonces el movimiento es circular uniforme. En un tiempo T , la partícula recorre una distancia igual a la circunferencia 2πR así que su rapidez es v=

2πR T

por lo que F = ma = m

v2 m = R R



2π R T

2

=

4π 2 mR 4π 2 m 1 = k R2 T2

Por tanto, la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol debe ir como la inversa del cuadrado de la distancia, tal como afirma la ley de la Gravitación Universal.

1.7.

Estática de la partícula

La estática es la parte de la mecánica que trata de las situaciones de equilibrio de los cuerpos. Un estado de equilibrio es aquél en el que el sistema se encuentra en reposo, permaneciendo en él indefinidamente. El análisis del equilibrio de un sistema se compone de dos elementos: Establecer las condiciones en las que se produce el estado del equilibrio. Establecer la estabilidad del equilibrio, esto es, determinar si el sistema, separado de su estado de equilibrio, vuelve a él o por el contrario se aleja de él.

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La condición de equilibrio de una partícula es que se anule la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella. ~F = m~a = 0 Cuando ...