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Teoría de la medida: Obtención del número π

TP N°1

Docentes: Ferrini Adrián, Viñales Daniel.

Curso: 02

Fecha de la práctica: 26-05-2020

Fecha límite entrega: 2-05-2020 Nombre y apellido alumno/a Britos, Zoe Adela

E-mail [email protected]

Resumen y objetivo: El presente trabajo tiene como objetivo determinar el valor de π mediante diez mediciones directas del diámetro y la longitud de una taza con objetos tales como hilo y cinta métrica. Con los valores obtenidos se llevó a cabo una medición indirecta utilizando la fórmula del perímetro de un círculo (𝑃 = 𝜋𝑑 ) para finalmente hallar 𝜋 con su correspondiente error absoluto y porcentual.

Desarrollo práctico:

Mediciones directas: longitud, diámetro. Instrumental de medida: hilo, cinta métrica. Objeto a medir: taza (1)

(1) Ilustración de taza y mediciones (longitud, diámetro)



Medición del diámetro: Se colocó la cinta métrica en un punto del borde de la taza y luego se llevó ortogonalmente hacia el otro extremo del diámetro superior (2) repitiendo el proceso diez veces.

(2) Medición del diámetro vista desde arriba



Medición de la longitud: Se situó un extremo del hilo en un punto de la taza para rodear el diámetro superior de la misma hasta bordearlo en su totalidad (3) para finalmente quitarlo y medir la longitud obtenida del hilo (4) reiterando el procedimiento diez veces.

(3) Medición de la longitud de la taza rodeando el diámetro superior.

(4) Medición de longitud del hilo obtenida al bordear la taza.

Tabla de mediciones directas (diámetro-longitud)

Medición Número (N) 1

d (diámetro) [mm] 87±1

l (longitud) [mm] 275±1

2

85±1

279±1

3

85±1

276±1

4

84±1

280±1

5

86±1

278±1

6

85±1

275±1

7

87±1

279±1

8

84±1

276±1

9

86±1

278±1

10

87±1

277±1

Cálculos

𝒍 = (𝒍𝟎 ± ∆𝒍)

𝒅 = (𝒅𝟎 ± ∆𝒅)

lo y do serán calculados mediante el promedio del valor de las medidas obtenidas: 𝒍𝟎 =

𝟏 𝑵 ∑ 𝒍 𝑵 𝒊=𝟏 𝒊

= 𝟐𝟕𝟕, 𝟑 𝒎𝒎

𝒅𝟎 =

𝟏 ∑𝑵 𝒅 𝑵 𝒊=𝟏 𝒊

= 𝟖𝟓, 𝟔 𝒎𝒎

∆𝑑 y ∆𝑙 serán obtenidos mediante su valor medio: ⟹ ∆𝒍 =

(𝒍𝟎𝒎á𝒙 +∆𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖)−(𝒍𝟎𝒎𝒊𝒏−∆𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖)

⟹ ∆𝒅 =

(𝒅𝟎𝒎á𝒙+∆𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖)−(𝒅𝟎𝒎𝒊𝒏−∆𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖)

𝟐

=

𝟐

(𝟐𝟖𝟎 𝒎𝒎+𝟏𝒎𝒎)−(𝟐𝟕𝟓 𝒎𝒎−𝟏𝒎𝒎)

=

𝟐

(𝟖𝟕 𝒎𝒎+𝟏𝒎𝒎)−(𝟖𝟒 𝒎𝒎−𝟏𝒎𝒎) 𝟐

= 𝟑, 𝟓 𝒎𝒎

= 𝟐, 𝟓 𝒎𝒎

Luego 𝒍 = (𝟐𝟕𝟕, 𝟑 ± 𝟑, 𝟓)𝒎𝒎

𝒅 = (𝟖𝟓, 𝟔 𝟐, 𝟓)𝒎𝒎

Por lo anteriormente mencionado, para calcular 𝜋 se sabe que 𝑷(𝒍) = 𝝅. 𝒅

⟹ 𝝅=

𝒍

𝒅

Se define 𝜋 y su error porcentual 𝜀𝜋% ; 𝜋0 corresponde al valor representativo y

∆𝜋 la incerteza del valor absoluto.

𝝅 = (𝝅𝟎 ± ∆𝝅) (𝒊) ∆𝝅

𝜺𝝅% = 𝝅 . 𝟏𝟎𝟎%(𝒊𝒊) 𝟎

Para calcular 𝜋0 se debe realizar una medida indirecta utilizando el perímetro de la taza:

𝑷𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒕𝒂𝒛𝒂 (𝒍𝟎 ) = 𝝅𝟎 . 𝒅𝟎 ⟹ 𝝅𝟎 =

𝒍𝟎 𝒅𝟎

Reemplazando con los valores obtenidos de l0 y d0:

𝝅𝟎 =

𝒍𝟎

𝒅𝒐

=

𝟐𝟕𝟕,𝟑 𝒎𝒎 𝟖𝟓,𝟔 𝒎𝒎

≅ 𝟑, 𝟐𝟑𝟗

El cálculo de la incerteza de πo será obtenido mediante la propagación de errores con el método de derivadas parciales: 𝝏𝝅

𝝏𝝅

𝟏

𝒍

𝟏

∆𝝅 = | 𝝏𝒍 𝒐 | ∆𝒍 + |𝝏𝒅 𝒐| ∆𝒅 = |𝒅 | ∆𝒍 + | 𝟎𝟐 | ∆𝒅 = 𝟖𝟓,𝟔𝒎𝒎 . 𝟑, 𝟓𝒎𝒎 + ( 𝟎

𝟎

𝒅𝟎

𝟎

≅0,135

𝟐𝟕𝟕,𝟑𝒎𝒎

𝟖𝟓,𝟔 𝒎𝒎)𝟐

. 2,5mm

Finalmente, utilizando un decimal y reemplazando en (𝒊) y (𝒊𝒊)

𝝅 = (𝟑, 𝟐 ± 𝟎, 𝟏) 𝟎,𝟏

𝜺𝝅% = 𝟑,𝟐 . 100% = 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝟏𝟎𝟎% = 𝟑%

Conclusión A partir de los resultados obtenidos con los métodos utilizados para medición del perímetro de la taza en la sección “Cálculos”, se puede observar que con un error porcentual del 3%, el valor alcanzado π=3,2 se encuentra dentro del margen de error del valor conocido comúnmente de π=3,141592654… esto se debe a que el error absoluto ∆π=0,1 es lo suficientemente pequeño para permitirnos acercarnos al valor real. La cinta métrica nos aporta la ventaja de ser lo necesariamente precisa para el estudio realizado; sin embargo, considero que existen diversas fuentes principales de incerteza tales como que la magnitud a medir no está exenta de incertezas y considerar “ideal” al modelo de taza ya que el diámetro a estudiar no es perfecto, sino que posee imperfecciones. A su vez, las herramientas de medida deberían ser más precisas, para obtener una óptima calidad de medición podrían utilizarse objetos tales como un calibre o una cinta métrica flexible reemplazando al hilo para la longitud. Asimismo, realizar una cantidad más extensa de medidas nos proporcionaría un valor promedio más próximo al verdadero ya que los errores aleatorios de cada medida se van compensando unos a otros. Por último, es posible encontrar errores humanos debido a que el experimentador puede no utilizar correctamente los objetos de medición y obtener datos con mayor error....