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Raimundo Sánchez A. Héctor A. Rojas S.Formulario de Ecuaciones DiferencialesI. Ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er grado Forma general: F(x, y, y') = 0 Como es de primer grado en y’, puede escribirse: y' = (x, y)  )y,x(Q 'y −= )y,x(P  P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 Casos particulares de las ...

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Formulario de Ecuaciones Diferenciales

FIUNA/2018

Formulario de Ecuaciones Diferenciales I.

Ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er grado Forma general: F(x, y, y') = 0 Como es de primer grado en y’, puede escribirse: y' = (x, y)



y' = −

P ( x, y) Q( x, y)

 P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 Casos particulares de las E.D. completas de 1er orden y 1er grado 1er Caso: variables separadas Forma general: P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0  P (x , y) = f1 (x ) ⇒ resulta f1(x)dx + f2 (y)dy = 0 si   Q(x , y) = f 2 ( y) integrando resulta:

 f (x )dx +  f 1

2

( y)dy = C I.G. de la E.D. dada

F1(x) + F2(y) = C 2do Caso: variables separables

 P( x , y ) = f 1 ( x ) g 1 ( y ) ⇒ resulta sí   Q( x , y) = f2 ( x )g2 ( y) dividiendo por

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

f2(x) g1(y)  0 se tiene:

f1 ( x ) f 2 ( x)  

dx +

1 ( x )

integrando resulta:

g 1( y )  

dy = 0

 2 (y)

  (x )dx +   (y)dy = C 1

2

I.G. de la E.D. dada

F1(x) + F2(y) = C 3er

g 2( y )

Caso: E.D. homogéneas Observación: F(x, y) es homogénea de grado “n” de homogeneidad si F(x , y) = n F(x, y) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. () , es homogéneo si P(x,y) y Q (x,y) son funciones homogéneas del mismo grado de homogeneidad, entonces y =z x separables

Con

o

x =z y

se transforma en una ecuación diferencial con variables

Raimundo Sánchez A.

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4to Caso: E.D. reducibles a homogéneas: (a1x + b1y + c1) dx +(a2x + b2y + c2) dy = 0 a) sí a1 b2 – a2 b1  0, es reducible a homogénea, con la traslación del sistema

x = X +  ; dx = dX  y = Y +  ; dy = dY

 a 1 + b 1 + c 1 = 0 Donde  y  se obtienen de:   a 2  + b 2 + c 2 = 0

Se transforma en (a1X + b1Y) dX + (a2X + b2Y) dY= 0 b) si a1 b2 – a2 b1 = 0, es reducible a variables separables, como sigue: a1 b 1 a 1 = ka 2 = =k a2 b 2  b1 = kb 2 Con el cambio de variable: z = a1x + b1y se transforma en una con var. Separables) Observación: Las ecuaciones diferenciales de la forma : y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0 con: z = xy se transforma en una con variables separables



5to Caso: E.D. exactas P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 x

F( x, y) =

condición: Py (x,y) = Qx (x,y), entonces: y

 P(x, y)dx +  Q(x , y)dy = 0 0

x0

y0

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6to Caso: Factor integrante de una E.D. de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, en la que P’y  Q’x z = z (x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial Pdx + Qdy = 0, si (Pz)y = (Qz)x Entonces: Pzdx + Qzdy = 0 es una E.D. exacta Determinación de los factores integrantes (F.I.)

P' y − Q' x

1) z = z(x);

condición :

2) z = z (y);

condición : −

3) z = z (x + y);

condición : −

4) z = z (xy);

condición : −

Q P ' y −Q ' x P P' y − Q' x

= f ( x ) entonces z = e 

f ( x ) dx

= g( y ) entonces z = e 

= h ( x + y) = h ( t )  z = e 

P−Q P'y −Q' x

=  ( xy) =  (u )  z = e 

g ( y ) dy

h ( t )dt

 ( u )du

P.x − Q.y 5) Sí P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0, puede escribirse: y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0, y sí 1 1 z= = Px – Qy  0, admite un F.I. de la forma: P x − Q y x y [f (xy) − g (xy)] 1 6) Si P (x, y)dx + Q (x, y) dy = 0 es homogénea y Px + Qy  0, entonces z = Px + Qy 7) Si P (x, y)dx + Q (x, y)dy = 0 puede escribirse de la forma

x r y s (mydx + nx dy) + x  y  (y dx + x dy) = 0 .....(*) siendo : r, s, m, n, , ,  y  constantes, y sí m – n  0 entonces

z = x  y  es un F.I. de (*)

donde  y  se a determinan considerando que al multiplicar por z = x  y  la ecuación diferencial obtenida es una diferencial es exacta.

Raimundo Sánchez A.

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7mo Caso: Factor integrante por agrupación de términos: Grupo de términos

Factor integrante

Diferencial exacta

x dy – y dx

1 x2

x dy – y dx

1 y2

xdy − ydx  y = d  2  x x  x ydx − xdy − = d −  2 y  y

x dy – y dx

1 xy

x dy – y dx

1 x + y2

x dy – y dx

1 x x2 − y2

dy dx  y − = d ln   x x y xdy − ydx xdy − ydx y  x2 =  2 2 2 = d  arctg  x x +y  y 1+    x

2

  xdy + ydx −1 = d ; sí n  1 n n −1  ( xy ) ( n − 1)( xy)  xdy + ydx sí n = 1 = d ln (xy ); xy

1 ( xy ) n

x dy + y dx

xdy − ydx y = d arcsin  2 2 x x x −y 

 −1 =d 2 2 2(n − 1) x 2 + y 2 x +y xdx + ydy  1 = d ln x 2 + y 2  ; 2 2 x +y 2   xdx + ydy

x dx + y dy

(x

1 2

+y

)

2 n

(

)

(

xdx + ydy

1 x dx + y dy

x +y 2

(

n

2

x +y 2

2

)

n −1

 ; sí n  1 

)

=d

sí n = 1

 x +y  2

2

8mo Caso: E.D. lineales Forma general:

y’ + a (x) y = b (x) (*)

Solución:

− a(x)dx  a(x)dx y=e  b(x)e  dx + c  



Observación: Si la E.D. se escribe :

dx + a( y) x = b( y) , la solución es dy − a ( y ) dy  a ( y ) dy x=e  b( y) e  dy + c  



Raimundo Sánchez A.

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9vo Caso: E.D de Bernoulli y’ + a (x) y = b (x) y n ......(*)

Forma general :

Si n = 0 es una E.D. lineal Si n = 1 es una E.D. con variables separables Con la sustitución: y = z k  y’ = k z k – 1 z’, donde: z = z(x) ; 𝑘 = Se obtiene: z’ + (1 – n) az = (1 – n) b (Ecuación diferencial lineal) 𝑦 1−𝑛 = 𝑒 −(1−𝑛) ∫ 𝑎𝑑𝑥 [(1 − 𝑛 ) ∫ 𝑏𝑒 (1−𝑛) ∫ 𝑎𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶]

1

1−𝑛

10no Caso: E.D. de Riccati Forma general:

y’ = a(x) y 2 + b(x) y + c(x) .....(*)

Si se conoce una solución particular: y = y0 (x) con: y = y0 + z  y’ = y0’ + z’ se obtiene: z’ = (2ay0 + b)z + az 2 (Ecuación diferencial de Bernoulli) 11mo Caso: E.D. de Clairaut Forma general y = x y’ + f(y’) .....(*) Se hace: y’ = p y se obtiene: y = c x + f(c)

I.G. de la E.D. dada

 y = p x + f ( p)  también de :  eliminando p se tiene F(x, y) = 0 df x + dp = 0  Donde F(x, y) = 0 es una integral singular sí verifica la ecuación diferencial dada; y no puede obtenerse de la integral general, para valor alguno de la constante “c” 12mo Caso: E.D. de Lagrange Forma general:

y = x f(y’) + g(y’)

Con: y’ = p se tiene: y = x f(p) + g (p)

(Observ que si f(p) = p, es la E.D. de Clairaut)  df dg  dp  +  dp dp  dx

Derivando respecto a “x” se tiene: p = f (p) +  x diferencial lineal:

dx = a( p ) x + b( p ) dp

(2 ) , que resuelta da

Entonces, la Integral general, en forma paramétrica se escribe: Eliminando “p” se obtiene

que conduce a la ecuación x = F ( p, c )  y = x ( p) + g( p) .   x = F ( p, c )

G (x, y, c) = 0 I.G.

13mo Caso: Otras E.D. de 1er. Orden y grado superior. Se resuelven previa derivación respecto de x, como la de Lagrange o Clairaut. Resueltas en y. Forma general: 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦′) = 𝑓(𝑥, 𝑝)

Resueltas en x. Forma general: 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑦′) = 𝑓(𝑦, 𝑝) Se resuelve cada factor. La solución general es el producto de dichas S.G.

Raimundo Sánchez A.

Resueltas en p. Forma general: (𝑝 − 𝑓1 (𝑥, 𝑦))(𝑝 − 𝑓2 (𝑥, 𝑦)) ⋯ (𝑝 − 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑦)) = 0

Héctor A. Rojas S.

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II.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Incompletas 1) Ecuaciones Diferenciales de la forma F(y, y') = 0 Se despeja y':

dy = dx f ( y)

y' = f(y) ;



x=

dy

 f ( y) + C

I.G.

2) Ecuaciones Diferenciales de la forma F(x, y(n)) = 0 Se supone que puede escribirse: dy ( n− 1) = f (x ) y(n) = (x)  dx

dy ( n −1) = ( x ) dx y ( n− k ) =





y( n −1) = ( x )dx + c

 ..... f (x) dxdx.....dx + c x

k−1

1

+ c 2 x k− 2 +  + c k

k veces

 y(0) =

..... f (x) dx dx.....dx + A x 0

n −1

+ A 1x n − 2 + ..... +A n −1

3) Ecuaciones Diferenciales de la forma: F[y(n-1), y(n)] = 0 Sea:

y (n – 1) = z.....(*)  y(n) = z

que se puede escribir:

z =(z),

 F(z, z) = 0 dz = dx  (z)



 z = (x,c1) .....en (*) que resuelta da  y =





y(n – 1) = (x, c1)

..... dx + A x    ..... ( x,c )dxdx 1



dz = g (z) = x + c1 (z)

0

n− 2

+ A1x

n−3

+ + An−2

( n −1 ) veces

4) E.D.de la forma f (x, y’, y”) = 0: Con y’ = p, se transforma en: 5) E.D.de la forma f (y, y’, y”) = 0 :

𝑑𝑝

𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥, 𝑝)

Con y’ = p, se transforma en: 𝑓 (𝑦, 𝑝, 𝑝

Raimundo Sánchez A.

𝑑𝑝

𝑑𝑦

)=0

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Aplicaciones geométricas Coordenadas rectangulares

y, Y

y, Y

normal tangente

normal

P( x , y )

b

P( x , y )

x, X

x, X

a a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j) k) l) m) n)

p)

dy dx dx – dy

subtangente subnormal

pendiente de la recta tangente a la curva en P(x, y) pendiente de la recta normal a la curva en P(x, y)

dy (X – x) ecuación de la recta tangente a la curva en P(x, y) dx dx Y– y = – (X – x) ecuación de la recta normal a la curva en P(x, y) dy dy dx a=x–y ;b=y–x segmentos determinados en los ejes x e y por la recta dx dy tangente dy dx ;y+x segmentos determinados en los ejes x e y por la recta normal x+y dx dy y longitud del segmento tangente 1 + y' 2 ; y'

Y– y =

y 1 + y '2 ;

longitud del segmento normal

𝑦 ; 𝑦′

𝑦𝑦′

longitudes de los segmentos subtangente y subnormal

𝜅=

𝑦" (1+𝑦′2 )3/2

𝑅=

ds = 1 + y ' 2 dx y dx; x dy correspondiente.

elemento de arco de la curva elemento de área entre la curva y el eje de coordenada 3/2

(1+𝑦′2 ) 𝑦"

curvatura y radio de curvatura

Distancia d del punto P(x0 , y0) a la recta y = mx + b

𝑑=

𝑦0 −𝑚𝑥0 −𝑏 √1+𝑚2

Las trayectorias  a la familia de curvas f(x, y, y’) = 0 se obtiene resolviendo:  y' − tg   f  x, y, = 0 1+ y' tg   Las trayectorias ortogonales a la familia de curvas f(x, y, y’) = 0, se obtiene resolviendo  1 f  x, y, −  = 0 y'  

Raimundo Sánchez A.

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Coordenadas polares

 P( , )



a)

b)

  2



 siendo  es el ángulo que forman la semirrecta que contiene el radio ' vector y la recta tangente en P(, ), en sentido positivo tg  =

𝜌

𝜌′

√𝜌2 + 𝜌′2

longitud del segmento tangente polar en P(, )

c) √𝜌2 + 𝜌′2

longitud del segmento normal polar en P(, )  d d)  tg  = 2 longitud del segmento subtangente polar en P(, ) d d e)  cotg  = longitud del segmento subnormal polar en P(, ) d d f)  sen  =  2 distancia del polo a la recta tangente en P(, ) ds 2

 d   d  2  = d   +  elemento de arco en P(, )   d  d 

2 g) ds = ( d) +  ( d) = d 1 + 2  2

2

h)

1 2  d 2

i)

Las trayectorias ortogonales a la familia de curvas

2

elemento de área comprendido entre  ,  + d y ds en P(, ) d   f   , ,  = 0 se obtiene resolviendo d  

d   f  , , − 2 =0 d  

Raimundo Sánchez A.

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III Ecuación diferencial de 2do orden

Forma general: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′) = 0.

La integral general depende de dos constantes arbitrarias: 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶1 , 𝐶2 ) = 0

Puede plantearse dos problemas:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦") = 0 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 𝑃𝑉𝐼 {

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦") = 0 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 𝑃𝑉𝐶 { 𝑦(𝑥𝑛 ) = 𝑦𝑛 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦′0 𝑦" = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) Existe el teorema de existencia para el problema: { 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ; 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦′0;

Ecuación diferencial lineal de segundo 2do. Orden:

A(x) y’’+ B(x) y’+ C(x) y + D(x) = 0; definido x a  x  b. Si A (x)  0, x[a; b], puede escribirse: y" + p (x )y' +q (x )y = f (x ) C( x) B (x ) D(x ) , q( x) = , y f (x ) = − A (x ) A( x) A(x ) y donde f (x), se denomina función perturbadora

con: p (x ) =

a) Ecuaciones diferenciales lineales sin segundo miembro (homogéneas): y” + p y’+ q y = 0 .....(*) Observaciones: - Si y = y0 (x) es solución de (*) , también y = c y0 (x) verifica la E. D donde c es una constante arbitraria - Si y = y1(x), e y = y2 (x) son dos soluciones particulares de (*) y = c1 y1(x) + c2 y2(x) también verifica (*) - Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones particulares , linealmente independientes de (*) Entonces: y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) es solución general, siendo: c1 y c2 constantes arbitrarias - Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones particulares , linealmente independientes de (*) − p ( x ) dx (Identidad de Liouville) Entonces: verifican y ' y − y y ' = e  1

2

1 2

Si y = y1(x) es una integral particular, con el cambio de variable y = vy1 se obtiene:

y 2 = y1



e−  dx y12 pdx

con lo cual:

Raimundo Sánchez A.

y = C1y1 + C 2 y 2

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b) Ecuaciones diferenciales lineales con segundo miembro. (no homogéneas) y”+ p y’+ q y = f Si y = y1(x) es una integral particular de la ecuación diferencial homogénea asociada, con del cambio de variable y = vy1 se obtiene: v=

Luego :

− pdx e    pdx  y 21   f y 1e dx + C2  dx + C1

− pdx − pdx pdx e   e f y 1 e  dx dx dx + y1  y = C1 y1 + C2 y1   2 2   y1  y1

Como alternativa se tiene: Si y = y1 (x) es una integral particular (I.P.) conocida de y”+ p y’+ q y = 0

e−  dx y12 Entonces: y0 = c1 y1 + c2 y2 es la integral complementaria de (1) 2) La solución general, con y = u1 y1 + u2 y2; se obtiene (método de Lagrange) con y 2 f dx y1 f dx u1 = − + A = g 1( x ) + A ; u2 = + B = g2 ( x) + B y1 y2 '− y1' y2 y1 y 2' − y1' y 2 Con lo cual y = g1 y1 + A y1 + g2 y2 + B y2 = A y1 + B y2 + g1 y1 + g2 y2 = y0 + yp

1) Puede obtenerse la otra I.P

y = y2 (x) de y 2 = y1



pdx





Donde : y0 = A y1 + B y2

e yp = g1 y1 + g 2y2

Algunos casos particulares para la obtención de y1 e y2 de y”+ py’+ qy = 0 a) y = xn

y’=nxn-1

y” = n(n – 1)xn-2

 n(n-1)xn-2 + npxn-1 + q  0

b) y = e mx

y’= me mx

y” = m2e mx

 m2 + p m + q  0

y” = -a2senax

 –a2senax + pacosax +qsenax  0

d) y = cosax y’ = -asenax y” = -a2cosax

 –a2cosax - pasenax +qcosax  0

c) y = senax y’ = acosax

IV Ecuación diferencial lineales homogéneas de orden “n” con coeficientes constantes i =n

a0 y

(n)

+ a1 y

(n – 1)

(n – 2)

+ a2 y

+  +a n – 1 y’ + a n y = f (x)

o

 a y( i

n− i)

= f (x)

i =o

donde ai  R , e i = 1, 2, 3, 4,  , n y f (x) es la función perturbadora d d ky Con el operador diferencial: D = , se tiene y ( k) = k = D k y puede escribirse dx dx (n) (n – 1) (n – 2) (a0 D + a1 D + a2 D +  +a n – 1 D + a n ) y = (x) Observación:

D(f1 + f2) = Df1 + Df2;

Raimundo Sánchez A.

D( f ) = Df

donde  = cte.

Héctor A. Rojas S. 10

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Caso a) f (x)  0 (a0 D (n) + a1 D (n – 1) + a2 D(n – 2) +  +a n – 1 D + a n ) y = 0 ..... (*) tomando como solución la función y = ekx , la ecuación característica de (*) es; a0 k (n) + a1 k (n – 1) + a2 k(n – 2) +  +a n – 1 k + a n = 0 (que resuelto permite obtener k1 , k2 , k3 , ..... , k n) Entonces::

a0 (k – k1 ) (k – k2 ) (k – k3 ) ..... (k – k n ) = 0

Y con el operador:

a0 (D – k1 ) (D – k2 ) (D – k3 ) ..... (D – k n -1 ) (D – k n )y = 0

Sea (D – ki ) yi = 0



n

y =  c iy i



y i = e k ix

i= 1

1) Sí k1  k2  k3  .....  k n ; entonces la I.G. de (*) se escribe y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 +  + cn yn Siendo

y i = e k ix

I.G.

para i = 1, 2, 3, 4 ,  , n

2) Si k1 = k2 = k3 = .....= k r  k r +1  .....  k n caso de raíces múltiples Si fuese r = r; y 1 = e k x ; y 2 = xe k x ; y3 = x 2 e k x ;  y r = x r−1e k x ; entonces y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ..... + cr yr + cr + 1 y r + 1 + ..... + c n yn y1 = e ( + i ) x 3) Si k1 =  + i es una raíz , también lo es  – i; dos I.P. de (*) son:  y 2 = e (  −i ) x El término de la integral general (I.G.) correspondiente es : y = c1e( +  i) + c2e( -  i) 1

1

1

1

eia = cos a + isena   formulas de Euler e− ia = cos a − isena 

que desarrollando y recordando que

y = e αx Acos (βx )+ Bsen (βx )

se obtienen

Observación: Si las raíces complejas son repetidas ; por ejemplo están repetidas dos veces, entonces tenemos y = ex C1 cos(  x ) + C2 sen(  x ) + xex C3 cos( x ) + C4 sen( x ) + ... Caso B) f (x)  0. (con función perturbadora) (a0 D (n) + a1 D (n – 1) + a2 D(n – 2) +  +a n – 1 D + a n ) y = f .....(*) a) Se considera:

(a0 D

(n)

cuya integral general es:

+ a1 D

(n – 1)

+ a2 D

(n – 2)

con f = f (x)

+  +a...