Fórmulas de Derivación PDF

Preview

Summary

Formulas de derivación....

Description

La Derivada Derivadas Laterales Sea 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑐 , definimos las derivadas laterales de 𝑓, así: 1. 𝑓 −( 𝑐− ) = lim− { 𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) } 𝑥−𝑐

2. 𝑓 +( 𝑐+ ) = lim+ { 𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) } 𝑥−𝑐

Si 𝑓 ′ ( 𝑐− ) = 𝑓′(𝑐 +), se dice que 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑐 y se escribe: 𝑓 ′(𝑐) = lim { 𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) } 𝑥−𝑐

____________________________________________________________

1ra y 2da Derivada 1. La primera derivada de 𝑓 es otra función 𝑓′, definida como: 𝑓 ′ (𝑥) = lim { ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) } ℎ

2. La Segunda derivada es una función 𝑓′′, definida como: 𝑓 ′′(𝑥) = lim { ℎ→0

𝑓 ′(𝑥 + ℎ) + 𝑓′(𝑥) } ℎ

____________________________________________________________

Fórmulas de Derivación Fórmulas Elementales 1. 2. 3.

𝑑 {𝑐}=0 𝑑𝑥

; (𝑐 ′ = 0)

𝑑 { 𝑥 𝑟 } = 𝑟𝑥 𝑟−1 𝑑𝑥

4.

; (𝑥 𝑟 )′

𝑑 { 𝑒𝑥 } = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

5. 6.

𝑑 1 { ln(𝑥) } = 𝑥 𝑑𝑥

; 𝑥>0

𝑑 { sin(𝑥) } = cos(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 { cos(𝑥) } = − sin(𝑥) 𝑑𝑥

____________________________________________________________

Reglas de Derivación 1. ( 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) )′ = 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥) 2. (

′

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥) ) = 2 𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥))

3. (𝑓 𝑜

𝑔)′ (𝑥)

=

𝑓′

(𝑔(𝑥)) ∙

𝑔′ (𝑥)

Usando la Regla del Cociente: 4. 5.

𝑑 { tan(𝑥) } = sec 2(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 { cot(𝑥) } = − csc 2(𝑥) 𝑑𝑥

6.

𝑑

𝑑𝑥

𝑑 { csc(𝑥) } = − csc(𝑥) ∙ cot(𝑥) { sec(𝑥) ____________________________________________________________ } = sec(𝑥) ∙ tan(𝑥) 7. 𝑑𝑥

Fórmulas de Derivación con la Cadena 1. 2. 3. 4.

𝑑 {𝑐}=0 𝑑𝑥

7.

𝑑 { 𝑢𝑟 } = 𝑟𝑢𝑟−1 ∙ 𝑢′ (𝑥) 𝑑𝑥

8.

𝑑 { 𝑒 𝑢 } = 𝑒 𝑢 ∙ 𝑢′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑

{ ln(𝑢) } =

9.

𝑢′ (𝑥) ;𝑢 > 0 𝑢

10.

𝑑𝑥 𝑑 5. { sin(𝑧) } = cos(𝑧) ∙ 𝑧′ (𝑥) 𝑑𝑥 6.

11.

𝑑 { cos(𝑡) } = − sin(𝑡) ∙ 𝑡 ′ (𝑥) 𝑑𝑥

12.

𝑑 { tan(𝑥) } = sec2(𝑥) ∙ 𝑥 ′ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑑 { cot(𝑧) } = − csc 2(𝑧) ∙ 𝑧 ′ (𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 { sec(𝑢) } = sec(𝑢) ∙ tan(𝑢) ∙ 𝑢′ (𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 { csc(𝑤) } = − csc(𝑤) ∙ cot(𝑤) ∙ 𝑤 ′ (𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 { 𝑏 𝑢 } = 𝑏𝑢 ∙ ln(𝑏) ∙ 𝑢′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑

𝑑𝑥

{ log 𝑏 (𝑢) } =

𝑢′ (𝑥) 𝑢 ∙ ln(𝑏)

____________________________________________________________

Funciones Trigonométricas Inversas •

Si usamos la regla de cadena se tiene que:

Función Seno Inversa

−𝑢′ (𝑥) 𝑑 { cos−1(𝑢) } = 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2

La función sin−1(𝑥) es creciente en todo su dominio y por lo tanto su Derivada es positiva. 𝑑 1 { sin−1(𝑥) } = 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2

; |𝑥| < 1

Si usamos la regla de cadena se tiene que: 𝑢′ (𝑥)

𝑑 { sin−1(𝑢) } = 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2

•

; |𝑢| < 1

•

Función Tangente Inversa

La función tan−1(𝑥) debe ser positiva en su dominio. 1 𝑑 { tan−1 (𝑥) } = 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 Si usamos la regla de cadena se tiene que:

Función Coseno Inversa

La función cos−1(𝑥) es decreciente y por lo tanto su Derivada es negativa.

𝑑 𝑢′(𝑥) { tan−1(𝑢) } = 1 + 𝑢2 𝑑𝑥

1 𝑑 { cos−1(𝑥) } = − ; |𝑥| < 1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 ____________________________________________________________

Identidades Trigonométricas Relaciones Trigonométricas Básicas •

Identidad Fundamental de la Trigonometría

sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1

; |𝑢| < 1

; −∞ < 𝑢 < ∞

•

Relación entre Tan y Sec

tan2 𝛼 + 1 = sec 2 𝛼 •

Relación entre Csc y Cot cot 2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼

•

Relación entre Sin, Cos y Tan, Cot, Sec, Csc

tan 𝛼 = cot 𝛼 =

sin 𝛼 cos 𝛼

1 cos 𝛼

sec 𝛼 =

cos 𝛼 sin 𝛼

1 sin 𝛼

csc 𝛼 =

____________________________________________________________

Razones Trigonométricas del Ángulo Suma •

Seno

•

sin(𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 + cos 𝛼 ∙ sin 𝛽 •

Tangente

tan(𝛼 + 𝛽) =

Coseno

cos(𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 − sin 𝛼 ∙ sin 𝛽

tan 𝛼 + tan 𝛽 1 − tan 𝛼 ∙ tan 𝛽

____________________________________________________________

Tabla de Valores del Sin, Cos y Tan 𝜶 Grados 0° 30° 45° 60° 90° 135° 180° 225° 270° 315°

Radianes 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 3𝜋 4 𝜋 5𝜋 4 3𝜋 2 7𝜋 4

𝒔𝒊𝒏(𝜶) 0 1 2 √2 2 √3 2

Función

𝒄𝒐𝒔(𝜶) 𝒕𝒂𝒏(𝜶) 1 0 √3 √3 2 3 √2 1 2 1 √3 2

1

√2 2 0 √2 − 2 -1

−

√2 2

0

+∞

√2 2 -1 √2 − 2

0

−

0

√2 2

−∞ -1...